三角函数

高中数学三角函数，以思维导图的形式全面而系统地概述了高中数学中三角函数的相关知识，包括基本概念、性质、公式、极值和对称性、图像特征以及应用等方面。可以作为学习笔记和复习资料，帮助大家系统地回顾和巩固所学知识，学生更好地理解和记忆知识。

三角函数

• 定义
  • 正弦函数（sinx）
    • 对边比斜边
    • 值域[-1，1]
    • 定义域x∈R
  • 余弦函数（cosx）
    • 邻边比斜边
    • 值域[-1，1]
    • 定义域x∈R
  • 正切函数（tanx）
    • 对边比邻边
    • 定义域{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}
    • 值域x∈R
• 性质
  • 周期性
    • 正弦和余弦函数周期为2kπ，k∈Z
    • 正切和余切函数周期为kπ，k∈Z
  • 奇偶性
    • 正弦和正切函数为奇函数
    • 余弦函数为偶函数
  • 极值
    • 正弦和余弦函数在±π/2+2kπ，k∈Z处取极值±1
    • 正切函数无极值
  • 对称性
    • 正弦函数
      • 对称轴x＝±π/2＋kπ，k∈Z
      • 对称中心（kπ，0），k∈Z
    • 余弦函数
      • 对称轴x＝kπ，k∈Z
      • 对称中心（π12＋kπ，0），k∈Z
    • 正切函数
      • 无对称轴
      • 对称中心（kπ/2+π/2,0)，k∈Z
• 图像
  • 正弦函数图像
    • 零点x＝kπ，k∈Z
    • 单调递增区间[-π/2＋2kπ，π/2＋2kπ]，k∈Z
    • 单调递减区间[π/2+2kπ, 3π/2+2kπ]，k∈Z
  • 余弦函数图像
    • 零点x＝π/2＋kπ，k∈Z
    • 单调递增区间[−π+2kπ,2kπ]，k∈Z
    • 单调递减区间[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z
  • 正切函数图像
    • 零点x＝kπ，k∈Z
    • 单调递增区间（kπ-π/2, kπ+π/2)，k∈Z
• 公式
  • 基本恒等式
    • sin²θ + cos²θ = 1
  • 二倍角公式
    • sin2θ＝2sinθcosθ
    • cos2θ＝cos²θ－sin²θ＝1-2sin²θ＝2cos²θ-1
    • tan2θ＝2tanθ/1-tan²θ
  • 半角公式
    • sin(θ/2)＝±√（1-cosθ）/2
    • cos(θ/2)＝±√（1+cosθ）/2
    • tan(θ/2)＝±√（1-cosθ）/（1+cosθ）＝sinθ/（1＋cosθ）＝（1-cosθ）/sinθ
  • 降幂公式
    • cos²θ＝（1+cos2θ）/2
    • sin²θ＝（1-cos2θ）/2
  • 辅助角公式
    • 已知asinθ＋bcosθ
    • 得√（a＋b）×[a/√（a＋b）sinθ＋b/√（a＋b）cosθ]
    • 即√（a＋b）sin（θ＋φ），cosφ＝a/√（a＋b），sinφ＝b/√（a＋b）
• 应用
  • 解三角形
    • 正弦定理
      • cosA＝（b²＋c²－a²）/2bc
      • cosB（a²＋c²－b²）/2ac
      • cosC＝（a²＋b²－c²）/2ab
    • 余弦定理
      • a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝k
      • 求三角形面积
        • S＝1/2×absinC＝1/2×bcsinA＝1/2×acsinB