4.定积分及其应用

这是一篇关于4.定积分及其应用的思维导图，将知识点进行了归纳和整理，帮助学习者理解和记忆。直击重点，可以作为学习笔记和复习资料，帮助大家系统地回顾和巩固所学知识，知识点系统且全面，希望对大家有所帮助！

定积分及其应用

• 定积分定义与性质
  • 【考点1】定积分的定义
    • 1.利用定积分定义求数列极限
      • 【体系思路】数列极限，求和形式→首选：定积分定义求极限→次之：夹逼准则
      • 1.三个公式（左、右、中）
      • 2.一和二提三找项
    • 2.定积分的几何意义【f(x)与x=a, x=b所围成的图形面积】
      • 1.【绝对面积】 x轴上方的积分是面积，下方的积分是面积的相反数 （注意: 定积分≠面积）
      • 2.【黄金重点公式】（2种圆）
        • 圆心在原点
        • 圆心在x/y轴的偏心圆
      • 3.【速算面积】在积分限【0，π】上，对sinx、cosx积分的结果是2
  • 【考点2】定积分性质
    • 【考题】1.定积分是一个数
      • step1.先把定积分设为A
      • step2.两边同取积分
    • 2.定积分与积分变量字母选取无关
    • 3.对1积分的结果=上限-下限
    • 4. 积分的可加性
    • 【考题】定积分的奇偶性
      • 【标志】对称区间
        • 【解题思路】1. 展开式子，扔负号进去，先判断奇偶性 2. 对称区间下，奇函数=0；偶函数=2×区间的一半
        • 【黄金重点】点火公式
    • 【考题】比较定理
      • 【破题方法】
        • 1.积分限相同，被积函数不同，考比较定理 2.比较两个被积函数的大小（a＜x＜b）只需比较函数在开区间内的大小
          • VS：被积函数相同，但积分限不同的定积分的比较（常用定积分的几何意义）；y=f(x)与x=a, x=b所围成的平面图形的代数和（x轴上方为正，下方为负）
      • 前提：（a≤b）
    • 【考题】周期性
      • 奇数次方的周期是2π；偶数次方的周期是π；T=2π/ω
        • 【tip】上下限的长度是周期的倍数，就可以写成: 倍数×周期
    • 【考题】积分中值定理
      • 【前提】被积函数在开区间连续（a＜x＜b）
      • 【最大作用】去积分限
      • 【平均值】=总面积/长度=定积分/积分限
• 定积分计算
  • 一、直接法计算（牛-莱公式）
    • 1.凑微分法【tip】凑微分不会改变上下限的所属关系
      • 【tip】有关sinx和cosx的高次幂问题→结合运用【点火公式】
    • 2.第二类换元法→【三换:换被积函数、换积分变量、换上下限】
    • 3.分部积分法
      • tip【”补一下“思想】∫㏑（1+x）dx²型 →∫㏑（1+x）d（x²-1）
    • 【定势思维】1±cosx；1±sinx 的化简
  • 二、技巧法计算
    • 1.利用定积分的几何意义——求面积（绝对面积）【2圆、sinx、cosx】
    • 2.奇偶性
    • 3.周期性
    • 【黄金重点】4.区间再现公式
    • 5.点火公式一家人
    • 【记】6.三个重点结论公式
      • 1.【0，π/2】积分区间上，且只有sinx、cosx时→sinx与cosx有轮换对称性
      • 2. 积分限是【0，π】，且x乘以一个sinx 的函数【这里你知道是个sinx的函数就行】→ 去掉x,前面补上π/2
    • 【tip】对称区间的定积分的计算问题
      • 1.奇偶性or周期性
      • 2.一半区间公式 P205
      • 3.硬着做——牛莱公式
• 变限函数
  • 【考点1】变限函数的定义 (变上限函数；变下限函数）
    • x是自变量【想对函数求导→对自变量x】；t是积分变量【积分】
  • 【考点2】变限函数求导法则（必考）
    • 需满足:1. 被积分函数f(x)连续; 2.【标准型】被积分函数中，没有自变量x
  • 【考点3】非标准型的处理
    • 1.能提出去就提出去: 在对t积分时，x视为常数，可以移出去
    • 2.提不出去就换元: 换元换的是积分元t，把x视为常数来变上下限
      • 【定势思维】负号用来变换上下限
      • 【step】1.换上下限 2.换被积函数 3.换dt
  • 【考题】极限计算、无穷小比阶...
  • 【定势思维】看到变限函数→立即想求导
    • 比如：参数方程 混合 变限函数→方程两边求导
    • 1.变限函数求极限→首选洛必达 2.导数、微分→直接求
  • 【定势思维】被积分函数连续，变限函数一定可导
• 【考题总结】涉及分段函数考点
  • 1.分段函数求导
    • 外：直接求
    • 上：用定义
  • 2.分段函数的不定积分
    • 外：直接积
    • 上：用连续
  • 3.分段函数的定积分
    • 起点→终点【不同区间分开积】
  • 4.分段函数的变限积分
    • x在动，拉条线，x动在不同情况分开看
    • 【PS】注意是对 t 积，写成关于 t 的函数
• 反常积分
  • 1.定义（两种）
    • 1.无穷区间的反常积分【标志:上下限中有∞】
    • 2.瑕积分——瑕点
      • 瑕点的判断
        • 1.先看是否为积分函数f(x)的无定义点x₀
        • 2.再看lim趋向于该点x₀的极限结果是否=∞
  • 2.反常积分计算思路
    • 看中间有无瑕点（瑕点在端点不用管）
      • 中间有瑕点→按照可加性拆开
        • 1个发散就发散
        • 2个都收敛才收敛
      • 中间无瑕点→先求定积分+再求极限
        • 1.±∞处
        • 2.瑕点处
  • 【大招】Q: 若反常积分四则运算（发散）不能拆怎么办？【积分后趋近于∞】
    • 那就不拆！1.按照整体求出原函数（求不定积分） 2.再统一代值（求极限）
  • 3.反常积分的奇偶性【注意与定积分做区分】
    • 【前提】一定要保证对称区间的一半区间是收敛的
      • 奇函数→0
      • 偶函数→2倍
  • 4.【五星级⭐黄金重点】反常积分的比较审敛法【396核心】
    • 1.先找影响收敛发散的方向【正负无穷、瑕点】
      • 如果两个方向都影响发散性→拆开【随便找，一般找1】
    • 2.找影响收敛发散的方向上被积分函数的等价函数【它收敛就收敛，它发散就发散】
    • 【常用于比较的反常积分】P积分
      • 大的喜欢大的；小的喜欢小的
      • =1时永远发散
  • 5.【五星级⭐黄金重点】伽马函数推论
    • P223【tip】e的x次方，“尾巴”面积=1
    • 【对比】VS. 高斯积分（收敛）
• 定积分应用
  • 【考点1】定积分求平面图形面积 （套公式+定积分计算）
    • 1.求直角坐标系下图形面积
      • X型：对x积分【上大-下小】
      • Y型：对y积分【右大-左小】
    • 2.求极坐标系下图形面积
      • 公式:
      • 极直转换（极坐标和直角坐标): x=rcosθ, y=rsinθ
      • 常见的极坐标系下曲线（重点曲线） 【出题角度】求面积
        • 1.心形线 r=a(1+cosθ)（夹角π）
        • 2.双纽线 r^2=a^2cos2θ（夹角45⁰）
    • 3.参数方程确定的曲线求面积
      • 【破题步骤】1.写直角坐标（被积函数是y）2.把x换元为关于t的函数 3.换限
  • 【考点2】【必考】求旋转体体积
    • 1.绕x轴旋转:圆饼模型
    • 2.绕y轴旋转:薄壁空心筒
    • 3.一般轴线（垂直于x，y轴）
      • 绕x=c转一周：2π(c-x) f(x)dx
  • 【考点3】求曲线弧长
    • 1.直角坐标
    • 2.参数方程
    • 3.极坐标
  • 可能考【考点4】求旋转侧表面积
  • 了解【考点5】闭区间连续函数性质（有界、最值、介值、零点：保证端点值异号）
    • 【注】 这四个定理的前提都是闭区间连续
  • 【考点6】积分中值定理
    • 设： f(x)在[a,b]上连续，则存在ξ∈[a,b],使得
    • 最大作用：去积分限
  • 【考点8】拉格朗日中值定理
    • 【定势思维】相同对应法则的两函数作差，立即想拉格朗日
      • 该公式可将：两函数作差→导函数
    • 【记/考】不等式：