数学分析

数学分析基础知识点总结思维导图，包含实数系基本定理、数列极限、函数极限、函数连续性、导函数、微分中值定理、不定积分、反常积分、数项级数、函数项级数。

数学分析上

• 实数
  • 产生
    • 有理数系的扩充
      • 扩充方式
        • 戴德金分割
        • 柯西序列
      • 扩充原则
        • 域公理
        • 有序性
        • 阿基米德性
        • 阿基米德有序域
  • 完备性
    • 确界原理
    • 单调有界定理
    • 致密性定理
    • 聚点定理
    • 柯西收敛准则
    • 闭区间套定理
    • 有限覆盖定理
    • 戴德金定理
• 数列极限
  • 数列定义
    • 定义域在正整数集上的映射（函数）
  • 收敛定义
    • 直观表述
      • 当n无限增大时，aₙ能无限接近某一常数
    • ε-N语言：
      • ∀ε＞0，∀N＞0，当n＞N时，|aₙ-a|＜ε
    • ε-N语言的精髓在于用一个常量来刻画一个变量aₙ与一个常量a的极限接触程度
  • 数列收敛的性质
    • 唯一性
    • 有界性
    • 保号性
    • 保不等式性
    • 迫敛性
    • 四则运算
    • 可数点集上的归结原则
    • ε-N型证明
  • 收敛相关定理
    • 单调有界定理
    • 致密性定理
    • 柯西收敛准则
    • 实数系基本定理
• 函数极限
  • 收敛定义
    • ∀ε＞0，∃G＞0，当x＞G时，|f(x)-A|＜ε
    • ∀ε＞0，∃δ＞0，当x∈Uº(x；δ)时，|f(x)-A|＜ε
  • 函数收敛的性质
    • 唯一性
    • 局部有界性
    • 局部保号性
    • 保不等式性
    • 迫敛性
    • 四则运算
    • 归结原则
    • ε-δ型证明
  • 收敛相关定理
    • 广义单调有界定理
      • Ⅰ
      • Ⅱ
    • 柯西收敛准则
    • 同数列相比少了离散状态下的辅助定理：致密性定理
• 函数的连续性
  • 连续
    • ∀x₀∈[a，b]，∀ε＞0，∃δ＞0，x∈U(x₀；δ)时，|f(x)-f(x₀)|＜ε
  • 一致连续
    • ∀ε＞0，∃δ＞0，对∀x，y∈[a，b]，|x-y|＜ε时， |f(x)-f(y)|＜ε
  • 间断点
    • 第一类间断点
      • 可去间断点
      • 跳跃间断点
    • 第二类间断点
  • 性质
    • 局部有界性
    • 局部保号性
    • 四则运算
    • 复合运算
    • 最大最小值定理
    • 介值性定理（根的存在性定理）
    • 反函数连续性定理
    • 一致连续性定理
    • （一致连续性归结原则）
    • ε-δ型证明
• 差商极限
  • 定义
    • ①
    • ②
  • 一阶差商的多重角度
    • 几何角度：x沿图像趋于x₀，它与x₀处切线之间距离是x₀高阶无穷小量
    • 微分角度：当x趋于x₀时，dy=kdx+o(1)，其中k为x₀处的导数值
    • 泰勒角度：当x趋于x₀时的泰勒展式是对原函数图像的多项式曲线逼近，其逼近程度是xⁿ的高阶无穷小量。而一阶导函数是泰勒公式的特殊情况，
    • 运算角度：差商的极限，建立在+、-、×、÷、lim五中运算皆封闭的实数集合之上极限运算
  • 性质
    • 可导必连续
    • 单侧导数
    • 复合函数求导的链式法则
    • 类四则运算
• 微分中值定理
  • 费马定理
    • ε-δ型证明
  • 罗尔中值定理
  • 拉格朗日中值定理
  • 柯西中值定理
  • 函数构造证明
  • 导数介值定理
  • 导数极限定理
  • 泰勒定理
  • 凸函数理论
  • 概要：该部分内容是建立在导数理论之上的定理，基于差商极限已经成熟的情况下，从研究集聚状态与汇聚程度的问题转变到研究函数的图像问题上来，所以理论与题的证明会比较脱离ε-δ语言(只有涉及集聚状态的情况下略有涉及）
• 不定积分
  • 求导的逆运算
• 定积分
  • 定义
    • 分割、近似求和、取极限
  • 性质
    • 牛顿莱布尼茨公式
    • 线型性质
    • 区间可加性
    • 乘积可积性
    • 绝对可积性
    • 关于近似求和的极限与某一常数接近程度的问题，对于这部分性质的证明自然离不开ε-δ语言型描述与刻画
    • 积分第一中值定理
    • 积分第二中值定理
    • 关于函数值与函数积分之间的等量联系式，建立在牛顿莱布尼茨公式等上述性质之上，证明过程开始脱离ε-δ语言
    • 原函数存在性定理
    • 可积的充分条件
      • ①连续
      • ②单调
      • ③有限间断点的有界函数
      • 集聚型证明（ε-δ型证明）
    • 可积的充要条件
      • 第一充要条件
      • 第二充要条件
      • 第三充要条件
      • 集聚型证明（ε-δ型证明）
• 反常积分
  • 瑕积分
    • 定义
      • 暇点收敛点变限积分
    • 性质
      • 柯西收敛准则
      • 比较原则
      • 线性性质
      • 区间可加性
      • 绝对收敛
      • 柯西判别法
      • 狄利克雷判别法
      • 阿贝尔判别法
    • 性质
      • 柯西收敛准则
      • 比较原则
      • 线性性质
      • 区间可加性
      • 绝对收敛
      • 柯西判别法
      • 狄利克雷判别法
      • 阿贝尔判别法
  • 反常积分
    • 定义
      • 无穷区间上收敛的变限积分
    • 性质
      • 柯西收敛准则
      • 比较原则
      • 线性性质
      • 区间可加性
      • 绝对收敛
      • 柯西判别法
      • 狄利克雷判别法
      • 阿贝尔判别法
• 概要：这部分理论从数列通项的汇聚，有限空间内无穷点集的汇聚，函数某邻域内无穷多函数值的汇聚，函数图像上某点附近与切线之间的汇聚程度，建立的极限理论，而描述一个动态量与一个静态量之间的接近的程度自然绕不开ε- δ(ε-N)语言