《线性代数》下半章

将线性代数四五六七章节部分的知识点做了系统性概述，希望对大家有所帮助。深度解析了向量空间、线性变换、特征值与特征向量、及线性方程组等核心概念。

《线性代数》下半章

• 第四章 线性方程组
  • 4-1 矩阵的秩
    • 1.子式
      • 矩阵(mxn)中任意取k（k<=min{m,n}）行或列的元素按照原排列顺序列出的具有k^2个元素的行列式
    • 2.秩
      • 定义
        • 当mxn矩阵A中k阶子式有不等于零而k+1阶子式全为零时，k为矩阵的秩，记为R（A）=k
      • 性质
        • 矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B ,则R(A)=R(B)
        • 矩阵A经行初等变换化为行阶梯阵，则行阶梯阵中非零行个数r=矩阵的秩。
        • 行阶梯阵B中非零首元所在的r列对应A中的r列向量是A 的列向量所组成的向量组的一个最大无关组
      • 满秩矩阵
        • 矩阵A R（A）=k=min{m,n}
        • 特别
          • 可逆矩阵为满秩矩阵
          • 零矩阵的秩为0
  • 4-2 行列式求解方程组
    • 1.非齐次线性方程组
      • 前提
      • 克莱姆法则
        • 若
        • 解
    • 2.齐次线性方程组
      • 前提
      • 克莱姆法则
        • • 只有充分性
        • 反之则有非零解
  • 4-3 消元法求解方程组——进行方程系数的初等变换
  • 4-4 矩阵初等变换求解方程组
    • 1.非齐次线性方程组
      • 前提
        • • 增广矩阵
          • 系数矩阵
      • 求解步骤
        • a.对增广矩阵进行初等变换得到行阶梯型
        • b.判断解的个数
          • 无解
            • 系数矩阵的非零行<增广矩阵的非零行
              • R（系数矩阵）<R（增广矩阵）
          • 有解
            • 系数矩阵的非零行=增广矩阵的非零行
              • R（系数矩阵）=R（增广矩阵）
        • c.
          • 无解
            • 直接得出结论
          • 有解
            • 将行阶梯型进行初等矩阵得到最简型
              • 唯一解
                • 增广矩阵的非零行行数=矩阵行数
                  • R（系数矩阵/增广矩阵）=未知量个数
              • 无穷多解
                • 其自由未知数个数=矩阵行数-增广矩阵（系数矩阵）的非零行行数
                • 增广矩阵的非零行行数<矩阵行数
                  • R（系数矩阵/增广矩阵）<未知量个数
        • d.解出未知数
    • 2.齐次线性方程组
      • 一定有解
      • 前提
      • 求解步骤
        • a.对系数矩阵进行初等变换得到最简型
        • b.判断解的个数
          • 零解
            • 系数矩阵的非零行行数=矩阵行数
          • 无穷多解（非零解）
            • 其自由未知数个数=矩阵行数-增广矩阵的非零行行数
            • 系数矩阵的非零行行数<矩阵行数
              • R（系数矩阵）<未知量个数
        • d.解出未知数
      • 定理
        • 方程个数<未知量个数的齐次线性方程组一定有非零解
  • 4-5 线性关系求解方程组
    • 1.非齐次线性方程组
    • 2.齐次线性方程组
      • 零解
        • 系数矩阵的列向量线性无关
      • 有非零解
        • 系数矩阵的列向量线性相关
• 第五章 向量
  • 5-1 n维向量
    • 1.数域
      • 定义
        • 如果数的集合F包含0和1，数的加法和乘法满足交换律，结合律及分配律，并且F中任何两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F 中，那么称F是一个数域
      • 举例
        • 有理数域
        • 无理数域
        • 实数数域
        • 复数数域
      • 非数域
        • 自然数数域
        • 整数数域
      • 由数域定义可判断
    • 2.n维向量
      • 定义
        • 一个数域中n个数组成的有序数组
          • 数组中的每个数都是向量的一个坐标
      • 几何意义
        • 一个坐标——一维空间
        • 两个坐标——二维空间，表示二维空间中从坐标原点指向该点的向量
        • 三个坐标——三维空间，表示三维空间中从坐标原点指向该点的向量
        • n个坐标——n维空间，表示n维空间从坐标原点指向该点的向量
      • 矩阵的向量
        • 矩阵可看作是一个有n个列向量/行向量组成的向量组
        • 前提
        • 行向量
          • • 矩阵用向量表示，竖着的
        • 列向量
          • • 矩阵用向量表示，横着的
      • 向量相等
        • 两个向量中的各个坐标数值对应相等
      • 类型
        • 零向量
          • 向量的坐标全为0
            • 不同维的零向量不相等
        • 负向量
          • 后者称为前者的负向量
      • 运算
        • 前提
          • 有n维向量
        • 相加减
        • 数乘
        • 维数相同的向量做运算！
    • 3.方程组的表示形式
      • a.方程形式
      • b.矩阵形式
      • c.向量形式
        • 行向量
        • 列向量
    • 4.向量空间
      • 定义
        • 设 V 是数域 F 上的 n 维向量的集合，如果集合V 非空，且集合 V 对于加法及数乘两种（线性运算）运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间
          • 封闭：
      • 判断
        • 用定义判断，看向量相加/数乘是否还在数域内
      • 分类
        • 实向量空间
        • 复向量空间
      • 注意
        • 齐次线性方程组的解（向量）构成的集合S是向量空间
        • 非齐次线性方程组的解（向量）构成的集合不是向量空间
        • 用方程解证明，相加和数乘
    • 5.基
      • 可参照极大无关组的定义
      • 定义
        • 向量空间中的几个向量线性无关且任意向量可由这几个向量表示出——称这几个向量是向量空间的一组基
      • 特殊
        • 零向量空间没有基，且向量空间只含有一个零向量
      • 维数
        • 可参照秩的定义
        • 基的个数
  • 5-3 线性相关性
    • 向量与向量组之间的关系
      • 1.线性表示
        • 定义
          • 一个向量可由不同向量组成，称这个向量可被这几个组成它的向量线性表示
        • 特殊
          • 任意向量可由n维单位向量组线性表示
      • 2.定理
        • a.向量可以由向量组表示→向量与向量组组成的大向量组线性相关
        • b.向量可以由向量组唯一表示→向量与向量组线性相关且向量组线性无关
    • 向量组内部向量间的关系
      • 1..线性相关
        • 定义
          • 向量组（0为n维零向量）
        • 特殊
          • 有零向量一定线性相关
      • 2.线性无关
        • 定义
          • 向量组（0为n维零向量）
        • 特殊
          • 为线性无关
      • 3.定理
        • a.若向量组只有一个向量，若为零向量，线性相关；若不为零向量，线性无关
        • b.相关：部分相关则整体相关
        • c.无关：整体无关则部分无关
        • 反之不成立【这里说的是n个向量组成的向量组（部分）和n+1个向量组成的向量组（整体）！】
        • d.n个n维向量组成的行列式D
          • D=0，则线性相关
          • D！=0，线性无关
          • 由克莱姆法则结合齐次线性方程组线性相关无关定义可得
        • e.含s个向量的向量组线性相关的充分必要条件是：向量组中至少有一向量可由其余s-1个向量线性表示.
          • 当s=2时，若两向量线性相关，则两个向量对应坐标成比例；否则线性无关.
        • f.当m>n 时，任意 m 个n 维向量线性相关.
        • g.设r个向量的向量组可以经s个向量的向量组线性表出
          • 若r>s，则r个向量的向量组必线性相关.
          • 若r个向量的向量组线性无关，则r<=s
    • 向量组与向量组之间的关系
      • 1.向量组间表示
        • 如果向量组 A 中的每个向量都能由向量组B 的向量线性表示，则称向量组A 能由向量组B 线性表示
      • 2.等价向量组
        • 定义
          • 能相互线性表示出的向量组称为等价向量组，两个向量组等价，记作
        • 性质
          • 自反性
          • 对称性
          • 传递性
      • 3.定理
        • mXn阶矩阵A经过有限次初等行（列）变换变成矩阵B ，则矩阵A 的行(列）向量组与矩阵B 的行（列）向量组等价，而且A 中的任意k个列（行）向量与B 中对应的k 列（行）向量有相同的线性关系（线性相关性或线性表达式）.
  • 5-4 极大无关组
    • 1.定义
      • 前提
        • 有个向量组
      • 满足
        • 向量组里有n个线性无关的向量
        • 向量组任意（剩余向量+n个向量）的向量可由这n个向量线性表示
      • 此n个向量组成的向量组称为其所在大范围的向量组的极大无关组（最大无关组）
    • 2.特殊
      • 单位向量所组成的向量组在向量空间中是极大无关组
    • 3.注意
      • a.向量组与其极大无关组等价
      • b.向量组的极大无关组可能有多个，同一向量组的各个极大无关组之间等价
      • c.一向量组T的极大无关组不一定是唯一的，向量组T 的各个极大无关组所含的向量个数相等
    • 4.定理
      • a.
        • 前提
          • 有两个向量组
        • 若A线性无关，B可线性表示出A，则r<=s，A为B的极大无关组
        • 若A线性无关，B组也线性无关，且A 组与B组等价，则 r＝s
      • b.一个向量组T 含一个极大无关组或含有两个以上极大无关组，则T与其各个极大无关组等价
  • 5-5 向量组的秩
    • 1.定义
      • 向量组T的极大无关组所含的向量个数，记作秩(T )或rank(T ),简记r(T )
    • 2.特殊
      • 零向量的秩=0
    • 3.定理
      • a.
        • 前提
          • 有两个向量组A、B
        • 如果组A可由组B线性表示，则R（A）<=R（B）
        • 如果组A与组B等价，则R（A）=R（B）
      • b.
        • 前提
          • 有一个向量
            • 给向量加一个分量得到向量
        • 若前者组成的向量组中向量线性无关，则后者组成的向量组中向量也线性无关
          • 部分无关则整体无关
        • 若后者组成的向量组中向量线性相关，则后者组成的向量组中向量也线性相关
          • 整体相关则部分相关
        • 部分与整体是向量里坐标个数的差异！与前面的区分开
• 第六章 方程组解的结构
  • 6-1 线性方程组的表现形式
    • 1.齐次线性方程组
      • 注意
        • a.只有零解——系数矩阵的列向量线性无关
          • 系数矩阵的秩=n（矩阵行数）
        • b.非零解——系数矩阵的列向量线性相关
          • 系数矩阵的秩<n（矩阵行数）
    • 2.非齐次线性方程
      • 注意
        • a.无解——系数矩阵线性无关
        • b.有解——系数矩阵的列向量与右侧组成的列向量线性相关
  • 6-2 基础解系与向量空间
    • 齐次线性方程组
      • 1.前提
      • 2.解向量
        • 方程有一组解x1=k1,x2=k2……，则X=（k1,k2,……）为方程组的一组解向量，简称为解
      • 3.解空间
        • 齐次线性方程组的所有解的集合构成一个向量空间，简称解空间
          • 相加/数乘——满足向量空间定义
      • 4.基础解系
        • 对有非零解的方程组而言
        • 定义
          • 解空间的基构成一组基础解系
        • 特殊
          • 只有零解的非齐次线性方程组没有基础解系
        • 注意
          • 基础解系线性无关
        • 求法
          • a.前提
          • b.系数矩阵进行初等行变换
            • 得到秩
              • 秩=系数矩阵列向量的极大无关组的个数
          • c.求得自由变量个数=n-R
            • 自由变量个数=解向量的维数=解向量的基的个数
          • d.写出解
            • 每一个自由变量取得的值都将成为非自由变量的唯一解
          • e.将每个自由变量的解当作是一个向量的坐标
          • f.让自由变量一次次的取1、0，组成一个单位向量的向量组
          • g.由向量个数推出的部分无关整体无关
            • 所有变量作为坐标组成的向量的向量组线性无关
          • h.得到基础解系（解空间）的基
            • 为一组变量作为坐标构成的向量
              • 又称为齐次线性方程的通解
          • 结合齐次线性方程的求法（第四章）
      • 5.结论
        • 前提
    • 非齐次线性方程组
      • 1.前提
      • 2.齐次与非齐次
        • a.
        • b.假设非齐次线性方程组有两解X1、X2，则X1-X2为导出组解
        • c.假设非齐次线性方程组有一解X1,导出组有一解A1，则A1+X1为非齐次方程组的另一解
      • 3.通解求法
        • 对有多解的方程组而言
        • a.照搬齐次线性方程组基础解系求法
        • b.求出非齐次线性方程组一个特解
          • 参考第四章解法
        • c.通解：
      • 4.注意
        • 只有唯一解的方程组无通解
          • 对应导出组零解
• 第七章 特征值与特征向量
  • 7-1 矩阵的特征值与特征向量
    • 1.特征值
      • 前提
        • 有方阵A
      • 定义
        • 方程
          • ，X为对应的特征向量
      • 求法
      • 特征向量求法
        • 解可能有若干个，若有两解相同，则称为重根（几重特征值）
        • 求出
      • 性质
        • a.
        • b.
      • 迹
        • 前提
        • 定义
      • 定理
        • a.
          • 线性无关=其行列式不等于0
        • b.特征多项式
    • 2.特征类定义
      • 前提
        • 有一个矩阵A
      • 特征值
      • 特征向量
      • 系数矩阵
      • 特征多项式
      • 特征方程
    • 3.特征值属性
      • 子主题
        • n 阶矩阵 特征值 备注 (1) AT  转置后不变 (2) kA k k为常数 (3) Am m m为正整数 (4) A1 1  A可逆 (5) A |A|  A可逆 (6) f ( A) f () f ( x) a xn  a x a n 1 0 (7) P 1 AP  P可逆
  • 7-2 相似矩阵
    • 1.定义
    • 2.性质
      • 前提
        • 方阵A与B相似
      • a.秩相等 R(A)=R(B)
      • b.
      • c.kA与kB相似(k为常数)
      • d.
      • f.
      • g.
    • 3.用法
      • 将矩阵与对角矩阵联系起来（特征值方便计算等）
        • 方阵A与对角矩阵相似→A可化为对角矩阵
    • 4.定理
      • a.
        • 意味着方阵A没有多重特征值
      • b.
        • 只有充分性，没有必要性
      • c.
      • d.
      • f.n阶方阵A可相似对角化的充分必要条件是：A的任一k重特征值都对应有k个线性无关的特征向量.
        • 对应k重特征值矩阵A有k个向量的基础解系
  • 7-3 正交矩阵
    • 1.内积
      • 定义
        • 前提
          • 有两个同维行向量X，Y
        • 行向量A、B对应分量的乘积之和，称为X和Y的内积，
          • 类比于两个坐标相乘
      • 性质
        • a.对称性
        • b.非负性
        • c.线性性
          • 子主题
      • 用矩阵表示
        • （只有一行的矩阵X只有一列的矩阵）
    • 2.向量的长度
      • 定义
        • 前提
          • 有一个向量X
        • ，||X||称为向量X的长度
          • 类比于坐标表示向量的模
      • 性质
        • a.非负性
        • b.齐次性
        • c.三角不等式
      • 两向量的夹角
        • （非零向量||除以的是两个向量各自长度的乘积）
    • 3.正交
      • 正交
      • 正交向量组
        • 定义
        • 性质
          • 正交向量组的向量一定线性无关
      • 正交规范基
        • 满足条件
          • a.向量组的向量两两正交
          • b.是一个向量空间的基
          • c.均为单位向量
          • d.
        • 求法
          • 正交规范化
        • 注
          • 一个向量空间的基均可转换成正交规范基
    • 4.施密特正交化（正交规范化）
      • 概念
        • 将一组基转换成一组正交规范基的过程
      • 步骤
        • a.正交化
        • b.单位化
        • c.得到的
      • 注意
        • a.同一向量空间（向量组）的基（极大无关组）等价
        • b.向量组中，极大无关组与正交组与正交规范组等价
        • c.向量空间中，基与正交基与正交规范基等价
    • 5.正交矩阵
      • 定义
        • 前提
          • 有实方阵A
        • ，简称正交阵
      • 性质
        • a.
        • b.
        • c.
        • d.
        • e.
      • 判断
        • a.
        • b.
      • 正交变换
        • 定义
          • • 正交矩阵与解向量相乘得到的非齐次线性方程组
        • 性质
  • 7-4 实对称矩阵正交对角化
    • 实对称矩阵和对角矩阵均为方阵
    • 1.实对称矩阵
      • 定义
        • 见第二章
      • 性质
        • a.n阶方阵有n个特征值且均为实数
        • b.相异特征值对应的特征向量一定正交
        • c.k重特征值一定对应k个线性无关特征向量
        • d.一定能够相似对角化
        • e.一定能够正交（相似）对角化
    • 2.定理
      • a.
      • b.
      • c.
      • d.
        • 说明每个实对称矩阵必然可以转化为一个对角矩阵
    • 3.求出正交阵P的步骤
      • 
      • a.
      • b.
      • c.
      • d.
    • 4.区分
      • 
• 第八章 二次型
  • 8-1 实二次型概念与标准型
    • 1.二次型
    • 2.与二次型对应的对称矩阵
      • 形式
        • （求对称方阵A）
      • 求法
        • a.
        • b.
        • c.
          • A称为二次型的矩阵
      • 性质
        • a.每个二次型对应一个矩（方）阵
        • b.二次型均对应的是对称方阵
    • 3.线性替换
      • 定义
      • 替换矩阵
      • 注意
        • a.
        • b.
    • 4.标准型
    • 5.合同
      • 定义
      • 性质
        • a.自反性
        • b.对称性
        • c.传递性
  • 8-2