函数

396考研函数重点考点，帮助考生梳理了考试的知识点，形成了清晰的知识体系。同时，通过对每个知识点的详细解释和关联，思维导图也促进了考生对知识的理解和记忆。因此，考生在备考过程中可以充分利用这张思维导图，提高备考效率，取得更好的成绩。

函数

• 考点一：极限四则运算法则
  • 存在±存在=存在；存在±不存在=不存在；不存在±不存在 =不确定；存在x存在=存在；不存在x不存在=不确定；存在x不存在=不确定
  • 若lim f(x) = A：lim[f(x)+g(x)] = A+lim g(x)；lim[f(x) * g(x)] = A * lim g(x)
• 考点二：极限的运算（判类型、化简、计算）
  • 七种未定式：0比0，∞比∞，0*∞，1^∞，0^0，∞^0，∞-∞型
  • 方法一：代入法（七种未定式不适用）
  • 方法二：因式分解法 [ a^2-b^2 = (a+b)(a-b)；a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)；a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)；(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ]
  • 方法三：∞比∞，抓大头（找最高次方）；x→+∞时，a^x >> x^p >> ln x
    • 分子>分母：∞；分子<分母：0；分子=分母：最高次系数之比
  • 方法四：0比0（找最低次方）
    • 分子>分母：∞；分子<分母：0；分子=分母：最低次系数之比
  • 方法五：0比0（√a比√b）分子分母有理化
  • 方法六：转化为基本未定型（0比0，∞比∞），结合洛必达法则考虑
    • ∞-∞：化为分式【倒代换、同分、共轭根号】
      • 分式-分式：同分；根号-根号：有理化；没分式也没根号且x→∞：倒代换令x=1/t
    • 0*∞ =0/(1/∞) =0比0 或 0*∞ =∞/(1/0) =∞比∞
      • lim(x→0+) x * ln x =0；lim(x→0) x * ln |x| =0
  • 方法七：1^∞，0^0，∞^0
    • 1^∞，0^0，∞^0：lim u(x)^v(x) = lim e^( v * ln u) =e^( v * ln u) * lim[ ln u / (1/v)]
    • 1^∞：lim u(x)^v(x) =lim[1+(u-1)]^[1/(u-1)]*(u-1)*v = e^lim[ v*(u-1)]；lim(x→0+) x^x =lim e^[x*ln x] =e^0=1
  • 方法八：无穷小量的比阶（设：lim[x→x0]α(x)=0;lim[x→x0]β(x) =0）
    • lim α/β =k（不等于0的常数）：同阶无穷小
    • lim α/β =1：等价无穷小
    • lim α/β =0：α是β的高阶无穷小，α = o(β)
    • lim α/β =∞：β是α的高阶无穷小，β = o(α)
    • 常用等价无穷小（x→0时）：e^x -1 ~x；a^x -1 = e^[x*ln a]-1~x*ln a；ln(1+x)~x；√(x+1)-1~0.5x；(1+x)^α -1~αx；ln[x+√(1+x^2)]~x；sinx~x；tanx~x；arcsinx~x；arctanx~x；1-cosx~0.5x^2；loga(1+x)=ln(1+x)/lna~x/lna tips: ln[x+√(1+x^2)]是奇函数
    • 差函数中常用等价无穷小代换（x→0时）：tanx-x~1/3*x^3；x-sinx~1/6*x^3；tanx-sinx~1/2x^3；x-arctanx~1/3x^3；arcsinx-x~1/6*x^3；arcsinx-arctanx~1/2*x^3；x-ln(1+x)~1/2*x^2；√(1+x) -√(1-x)~x
    • sinx = x-1/6*x^3+o(x^3)；tanx =x+1/3*x^3+o(x^3)；arcsinx =x+1/6*x^3+o(x^3)；arctanx =x-1/3*x^3+o(x^3)
    • 等价无穷小使用注意事项
      • 只有乘除因式才可以用等价无穷小替换
      • 加减法慎用：若 f(x)/g(x)=-1,不可用；若f(x)/g(x)≠-1，则可用等价无穷小替换f(x)和g(x)
      • 非零因子先算
    • 重要结论
      • f(x)→1，ln f(x)=ln[f(x)-1+1]~f(x)-1
      • f(x)→1，f(x)^α-1~α*[f(x)-1]
      • e^f(x)-e^g(x)=e^g(x)*[e^{f(x)-g^(x)}-1]~[f(x)-g(x)]*e^g(x)
      • lim(x→0+)x*lnx =0
      • 和取最低阶原则：o(x^3)+o(x^2)~o(x^2)；o(x^3)±o(x^3)=o(x^3)
  • 方法九：洛必达法则（0比0，∞比∞）可以多次使用
  • 方法十：单侧极限（分段函数）
    • lim(x→x0+) f(x) = lim(x→x0-) f(x)↔lim(x→x0) f(x)
  • 方法十一：两个重要极限
    • lim(x→0) sinx/x = 1；lim(狗→0) sin狗/狗 = 1
    • lim(x→0)（1+x）^(1/x) =e^0 =1；lim[f(x)→0),g(x)→∞]（1+f(x)）^g(x)=e^[g(x)*f(x)]；lim[f(x)→1),g(x)→∞] f(x)^g(x)=e^[g(x)*(f(x)-1)]
  • 方法十二：夹逼准则（数列、函数）
    • g(x)≤f(x)≤h(x)，lim g(x)=a,lim h(x)=a，则 lim f(x)=a
    • 应用：数列（函数）和式求（分式形式）极限【主要应用于分母不同的情况】
    • 步骤：1、先找小弟、大哥；2、求小弟大哥极限相同，该相同极限即为所求函数的极限。