数列导图笔记

温柔要有，但不是妥协，我们要在安静中，不慌不忙地坚强

数列

• 等差数列
  • 定义式
    • an+1-an=d
      • n∈N*
    • an-an-1=d
      • n∈N*且n≥2
    • 适用于证明题➪后一项-前一项 格式:{ⅹ}是以...为首项...为公差的等差数列
      • 注意Sn与an的互化
  • 通项
    • an=
      • a1+(n-1)d
      • am+(n-m)d
        • ➪d=(an-am)÷(n-m)
      • nd+a1-d
        • an=An+B ➪ d=A，a1=A+B ➪ Sn=An²÷2(A÷2+B)n
  • 性质
    • ❶2an=an+1+an-1
    • ❷m+n=p+q=2w ➪ am+an=ap+aq=2aw (m,n,p,q,w∈N*)
      • 角标和相等
      • 个数相等
    • ❸ak,ak+m,ak+2m......(k,m∈N*)是等差数列，d=md
    • ❹{kan+b}(k,b为常数)是等差数列，d=kd
    • ❺若{an}，{bn}是等差数列，则{an±bn}，{pan+qbn}也是等差数列
    • 和的性质
  • 前n项和
    • Sn=
      • (a1+an)n÷2
      • a1n+n(n-1)d÷2
      • dn²÷2+(a1-d÷2)n
        • 最值问题➪-b÷2a 注:n∈N*
        • Sn=An²+Bn ➪ d=2A，a1=A+B ➪ an=2An+B-A
  • 性质
    • ❶连续片段和
      • Sn,S2n-Sn,S3n-S2n...是等差数列，d=n²d
    • ❷{Sn÷n}是等差数列
      • eg:A.P.中，a1=-2018， S15/15–S10/10=10，求S2019
        • ∵Sn=a1n+n(n-1)d÷2 ∴Sn/n=a1+(n-1)d÷2➪等差
        • ∴{Sn/n}=-2018+n-1 S2019=2019×0=0
    • ❸等差中项的应用
      • an与Sn的互推
        • 定性:
          • Sx＞0⇆a(x+1)/2 ＞0 (x为奇)
          • Sx＞0⇔ax/2+ax/2+1＞0 (x为偶)
        • 定量:
          • S2n-1=(2n-1)an
          • an=S2n-1/2n-1
          • eg:Sn/Tn=2n+3/5n-1，求a7/b7 a7/b7=S13/T13
    • ❹奇偶项性质
      • 运用Sn=(首+末)×项数÷2及角标性质
      • n=2n，S偶/S奇=an+1/an
      • n=2n+1，S偶/S奇=n/n+1
        • eg:已知Sn=377，n为奇，S奇/S偶=7/6，求中间项
        • 解:S奇/S偶=n+1/n∴n=6，2n+1=13 Sn=a中项·项数∴a中项=Sn/13=29
    • ❺奇偶项通用性质
      • an=f(x) ⅹ为奇 g(x) ⅹ为偶
        • an=[f(x)+g(x)]/2+(-1)ⁿ⁻¹[f(x)–g(x)]/2
  • 只给一个条件可视为常数列
• 等比数列
  • 定义式
    • an+1÷an=q
      • q≠0 n∈N*
    • an÷an-1=q
      • q≠0 n∈N*且n≥2
    • 适用于证明题➪后一项÷前一项 格式:{ⅹ}是以...为首项...为公比的等比数列
      • 注意Sn与an的互化
  • 通项
    • an=
      • a1·qⁿ⁻¹
      • an=am·qⁿ⁻ᵐ (n≠m)
        • ➪q=ⁿ⁻ᵐ√an÷am
      • 解法:降次➪做比
  • 性质
    • ❶an²=an-1·an+1
      • 注:不是任意两项都有等比中项，只有当a,b两项同号时才有等比中项， 且等比中项有两个，它们互为相反数
    • ❷m+n=p+q=2w ➪ am·an=ap·aq=aw² (m,n,p,q,w∈N*)
      • 角标和相等
      • 个数相等
    • ❸ak,ak+m,ak+2m......(k,m∈N*)是等比数列，q=qᵐ
    • ❺若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{an·bn}，{an÷bn}，{1÷an}，{an²}，{λan}(λ≠0)也是等比数列
    • ❻差比综合
      • eg:已知an为G.P.，且a1+a2+a3=1, a2+a3+a4=2，求a6+a7+a8=
        • (a1+a2+a3)/(a2+a3+a4)=q a6+a7+a8=(a1+a2+a3)q⁵
    • 积的性质
  • 前n项和
    • Sn=
      • 注:项数与公比的次数对应
      • na1 (q=1)
      • a1(1-qⁿ)÷(1-q) (q≠1)
      • (a1-anq)÷(1-q) (q≠1)
      • 注:应用求和公式时，要先看 q是否等于1，必要时需讨论
  • 性质
    • ❶连续片段和
      • 当q≠-1或q=-1且n为奇数时， Sn,S2n-Sn,S3n-S2n...是等比数列，q=qⁿ
    • ❷Sn/Sm=1-qⁿ/1-qᵐ
      • S2n/Sn=1-q²ⁿ/1-qⁿ=(1+qⁿ)(1-qⁿ)/(1-qⁿ)=1+qⁿ
    • ❸奇偶项性质
      • Sn=S奇+S偶
        • n=2n，S奇/S偶=q
        • n=2n+1，S奇-a1/S偶=q
    • ❹Sn=Aqⁿ+B，且A+B=0
      • Sn=a1(1-qⁿ)/(1-q) =–a1/(1-q)qⁿ+a1/(1-q)
    • ❺奇偶项通用性质
      • an=f(x) ⅹ为奇 g(x) ⅹ为偶
        • an=[f(x)+g(x)]/2+(-1)ⁿ⁻¹[f(x)–g(x)]/2
  • 执果索因证等比
    • 要证…只需证…
  • 只给一个条件可视为常数列
• 九法解类等差等比
  • ❶累加法
    • an+1-an=x
      • a2-a1=x ...... an-an-1=x
  • ❷累乘法
    • an+1÷an=x
      • a2÷a1=x ...... an÷an-1=x
    • 形式:适用于题中所给的an与an-1 (或其他)的系数相同时
  • ❸构造法
    • 实质:化常数
    • ⑴常数构造
      • an+1=pan+q (p≠1,且p,q为常数)
        • an+1+q/(p-1)=p(an+q/p-1) ➪(an+1+q/p-1)/(an-q/p-1)=p
          • 即{an+q/p-1}是以a1+q/p-1为首项， 以p为公比的等比数列，令q/p-1=x 通项an=(a1+x)pⁿ⁻¹–x
    • ⑵一次构造
      • αan+1=βan+pn+q
        • α[an+1+(n+1)x+y]=β(an+nx+y) ➪[an+1+(n+1)x+y]/(an+nx+y)=β/α
          • 即{an+nx+y}是以a1+x+y为首项， 以β/α为公比的等比数列， 通项an=(a1+x+y)(β/α)ⁿ⁻¹–nx–y
          • 其中ⅹ=p/β-α y=q/(β-α)+αp/(β-α)²
    • ⑶指数构造
      • eg:an=2an-1+2ⁿ
        • 同除2ⁿ➪an/2ⁿ-an-1/2ⁿ⁻¹=1
          • 即{an/2ⁿ}是以a1/2为首项， 以1为公差的等差数列，a1=2 通项an=n2ⁿ
      • 适用于an-1的系数与指数底数相同时
    • 形式:适用于题中所给的an与an-1 (或其他)的系数不同时
  • ❹分组求和
    • 形式:等差+等比
      • 等差等比Sn之和
  • ❺错位相减
    • 形式:等差×等比 即{anbn}
      • 大通式
        • (1-q)Sn=a1-qan+d[b2(1-qⁿ⁻¹)/1-q]
      • 苹果公式
        • an=(an+b)·pⁿ
        • Sn=(An+B)·pⁿ–B
          • A=ap/p-1
            • 小苹果一个
          • B=(a1–Ap)/p-1
            • 哎呀，大苹果一个
  • ❻裂项相消
    • 形式:分式 即{1/anan+1}
      • 注:裂相邻项
      • 方法:n，1互换
        • 已知an=x/bnbn+1, bn为A.P.求Sn
          • Sn=xn/b1·bn+1
        • eg:an=1/(3n-2)(3n+1) ➪Sn=n/3n+1
      • 特殊形式:
        • 带根号型:
          • 1/[√n+√(n+1)]=√n+1-√n
            • 分母有理化
        • 多项型:
          • 1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)–1/(n+1)(n+2)]
        • 三角函数型:
          • sin1°/cosn°cos(n+1)° =sin[(n+1)°-n°]/cosn°cos(n+1)° =[sin(n+1)°cosn°–cos(n+1)°sinn°]/cosn°cos(n+1)° =tan(n+1)°–tann°
  • ❼倒序相加
    • 等比求和
  • ❽递归法
    • 推周期
      • ❶已知为分式型
      • ❷给通项公式求大角标
  • ❾数学归纳法
    • 猜通式
    • n=2时满足
    • 假设n=k时成立，则ak=，Sk=
    • 当`n=k+1时，将ak,Sk代入所给式求ak+1
    • 也满足猜想通式，则猜想正确
• 等差等比互转
  • G.P. logcan➪A.P. d=logcq
    • 已知G.P.an,bn➪lgan,lgbn， 且其Sn/Tn=n/(2n+1)，求logb5a5
    • 原式=lga5/lgb5=S9/T9=9/19
  • A.P. cᵃⁿ⁺¹/cᵃⁿ➪G.P. q=cᵈ
• 数列的简单表示法
  • 常见数列通项
    • 2，6，12，20...
      • an=n(n+1)
    • 1，3，6，10...
      • an=n(n+1)/2
    • 9，99，999，9999...
      • 10ⁿ–1
    • 1，11，111，1111...
      • (10ⁿ–1)/9
    • -1，1，-1，1...
      • (-1)ⁿ
  • 分段讨论
    • 2，0，2，0...
      • an=
        • 2 (n为奇数)
        • 0 (n为偶数)
  • 子母分论
    • 2，3/4，4/9，5/16...
      • an=n+1/n²
  • 隔项讨论
    • 1，1/4，2，1/16...
      • an=
        • n (n为奇数)
        • 1/n² (n为偶数)
  • 化同讨论
    • √2，√5，2√2，√11...
      • 2√2化为√8
  • -1单论
    • –1/2，1/4，–1/8，1/16...
      • an=(-1)ⁿ·1/2ⁿ