矩阵

这是一篇关于矩阵的思维导图，主要内容包括：第六节 矩阵的秩，第五节 矩阵的初等变换，第四节 矩阵的分块，第三节 逆矩阵，第二节 矩阵的运算，第一节 矩阵的概念。

矩阵

• 第一节 矩阵的概念
  • 用括号
  • 矩阵的定义
    • 由m*n个数aij（i=1,2...；j=1,2...)排成的m行n列的数表，为表示它是一个整体，加一个括号
  • 一些特殊矩阵
    • 行矩阵
      • 只有一行的矩阵
    • 列矩阵
      • 只有一列的矩阵
    • 零矩阵
      • 元素都为零的矩阵
    • 方阵
      • 行数和列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或方阵
    • 对角阵
      • n阶方阵中除了主对角线上的元素不全为0，其余元素全为0
    • 单位矩阵
      • n阶对角线中主对角线上的元素全是1，其余元素全为0
• 第二节 矩阵的运算
  • 矩阵的线性运算
    • 运算律
      • A+B=B+A
      • (A+B)+C=A+(B+C)
      • x(uA)=(XU)A
      • (x+u)A=xA+uA
      • x(A+B)=xA+xB
    • 矩阵与矩阵相乘
      • 只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，矩阵A才能左乘B
      • （AB)C=A(BC)
      • x(AB)=(xA)B=A(xB)
      • A(B+C)=AB+AC
  • 方阵的幂
  • 矩阵的转置
    • 课本35页
• 第三节 逆矩阵
  • • 对于n阶矩阵A,若有一个n阶矩阵B，使得AB=BA=E，则称矩阵A为可逆矩阵
    • 矩阵可逆的充分必要条件
      • 方阵A可逆的充分必要条件是|A|/=0
    • 可逆矩阵的性质
      • 课本41页
• 第四节 矩阵的分块
  • 分块矩阵的基本运算
    • 分块矩阵的加法
    • 分块矩阵的数乘
    • 分块矩阵的乘法
    • 分块矩阵的转置
  • 分块对角矩阵
    • 一四互换、二三为相反数
  • 按行分块矩阵和按列分块矩阵
    • 课本46页
  • 线性方程组的两种等价记法
• 第五节 矩阵的初等变换
  • 矩阵的初等变换
    • 反身性
    • 对称性
    • 传递性
  • 行阶梯型矩阵和行最简形矩阵
    • 重要
    • 行阶梯型
      • 课本50页
      • 零行位于非零行的下面
      • 首非零元素所在列在上一行的首非零元素所在列的右面
      • 首非零元素所在列下方元素都是0
    • 最简形
      • 矩阵的各首非零元素全为1
      • 矩阵的各首非零元素1所在列的上方元素也全为0
  • 用初等变换求逆矩阵
• 第六节 矩阵的秩
  • 矩阵秩的定义
    • 零矩阵的秩等于零
    • 性质
      • 课本57页
  • 初等变换求矩阵的秩
    • 若A~B,则R(A)=R(B)
  • 线性方程组解的判定方法
    • 对于n元线性方程组Ax=B
      • 无解的充分必要
      • 有唯一解的充分必要
      • 无穷多组解的充分必要
    • 对于n元齐次线性方程组Ax=0