圆

这是一篇关于圆的思维导图，涵盖了图形旋转、垂径定理、圆心角与弧弦的关系、圆周角与圆内接四边形、正多边形与外接圆以及弧与扇形等多个几何概念，便于理解和记忆。

圆

• 旋转
  • 一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转( rotation).这个固定的点叫做旋转中心( center of rotation).
  • 图形经过旋转所得的图形和原图形全等. 对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.
• 垂径定理
  • 定理
    • 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
    • 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
    • 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
  • 分一条弧成相等的两条弧的点， 叫做这条弧的中点.
  • 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.例如，图3−20中，OC的长就是弦AB的弦心距.
• 圆心角
  • 定理
    • 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
  • 顶点在圆心的角叫做圆心角( central angle).
  • 如果以⊙O的圆心 O为端点作360条射线，把以O为顶点的周角360等分， 那么根据圆心角定理，这些射线也把圆 360等分.每相邻两条射线所成的圆心角是1°的角， 我们把1°圆心角所对的弧叫做1°的弧.这样，n°的圆心角所对的弧就是n°的弧.
  • 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.如图3-30, ∠AOB=∠COD1⟺AB=CD⟺OE=OF
• 圆周角
  • 定理
    • 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
  • 半圆(或直径)所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径.
  • 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.
• 内接四边形
  • 定理
    • 圆内接四边形的对角互补.
  • 如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上， 那么这个四边形叫做圆的内接四边形( cyclic quadrilateral),这个圆叫做四边形的外接圆( circumscribed circle).例如,在图3-46中,四边形ABCD 是⊙O的内接四边形,⊙O是四边形ABCD的外接圆.
• 正多边形
  • 我们把各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形( regular polygon). 根据正多边形的边数的不同，分别把它们叫做正三角形、正方形、正五边形、正六边形等.
  • 我们知道，对于任意一个正三角形和正方形都能作出它的外接圆.我们经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆， 这个正边形也就叫做圆内接正多边形.任何正多边形都有一个外接圆.
• 弧与扇形
  • l=nπR/180
  • S=nπR²/360=[1/2]lR
• 认知
  • 在同一平面内，线段 OP绕它固定的一个端点O 旋转一周(图3−2),另一端点 P所经过的封闭曲线叫做圆( circle),定点 O 叫做圆心( centre),线段OP(不论转到什么位置)叫做圆的半径( radius).以点 O为圆心的圆，记做“⊙O”,读做“圆O”.
  • 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧( arc).圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆( semicircle).小于半圆的弧叫做劣弧( minor arc)，劣弧用符号“﹏”和弧两端的字母表示，如图3-3中的劣弧BC记做 BC→,读做“弧BC"；大于半圆的弧叫做优弧( major arc)，半圆和优弧用符号“﹏”和三个字母表示(弧两端的字母和弧中间的字母)
  • 半径相等的两个圆能够完全重合.我们把半径相等的两个圆叫做等圆. 类似地，我们把能够重合的圆弧称为相等的弧.
  • d>r⇔点在圆外；d=r⇔点在圆上；d<r⟺点在圆内.
  • 不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
  • 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心， 三角形叫做圆的内接三角形.例如， 图3-9中，⊙O是△ABC的外接圆，.△ABC是⊙O的内接三角形，点O 是△ABC的外心. 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点.