导图社区 二次型
二次型是指n个变量的二次多项式,即在一个多项式中,未知数的个数为n(n为任意正整数),但每一项的次数都为2的多项式。它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。
这是一个关于线性空间的思维导图,介绍了集合与映射、线性空间的定义与简单性质、维数,基与坐标、基变换与坐标变换、子空间的交与和、子空间的直和等详细知识点总结。
涵盖了消元法、n维向量空间、线性相关性、矩阵的秩、线性方程组有解判定定理线、线性方程组解的结构等。
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二次型
二次型及其矩阵表示
二次型的定义
非退化的线性替换
二次型的矩阵
二次型和矩阵唯一相互决定
二次型的矩阵表示法
数域P上的矩阵A,B成为合同的,如果有数域P上的可逆矩阵C使得由A到C的转置AC的变换称为一个合同变换
自反性 对称性 传递性
经过非退化的线性替换后新矩阵和原矩阵是合同的
合同关系与数域无关
标准形
数域P上任何一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式
配方法
矩阵变换法
任意方阵A,x的转置Ax的对称矩阵是A加A的转置/2
任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵
唯一性
二次型的标准形不是唯一的,是由所做的非退化的线性替换所决定的
规范性由二次型矩阵的秩所决定
任意一个复二次型,经过一系列非退化的线性替换可以成为规范形,并且是唯一的
两个复对称矩阵合同的充分必要条件是他们的秩相同
任意一个实二次型,经过一系列非退化的线性替换可以成为规范形,并且是唯一的
在实二次型的规范形中,正平方项的个数成为正惯性指数,负平方项的个数成为负惯性指数,它们的差叫做符号差
任意一个复对称矩阵都合同于一个对角线上只有1和0的矩阵,其中1的个数等于该矩阵的秩
正定二次型
实二次型正定的定义
n元实二次型是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n
实对称矩阵A是正定的,如果x的转置Ax是正定的
正定矩阵的行列式大于零
实二次型是正定的充分必要条件是A的顺序主子式大于零
负定 半负定 半正定
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