线性方程组

涵盖了消元法、n维向量空间、线性相关性、矩阵的秩、线性方程组有解判定定理线、线性方程组解的结构等。

线性方程组

• 矩阵的秩
  • 矩阵的秩＝行秩＝列秩
  • 矩阵中最高价非零子式的阶数称为向量的秩，零矩阵是称秩为零
  • 初等变换不改变矩阵的秩
  • 秩＝初等变换下阶梯型矩阵的非零行数目
  • 克拉默法则及其逆定理
• 线性方程组有解判定定理线
  • 线性方程组有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵有相同的秩
  • 等价的向量组秩相同，对应的方程组同解
• 线性方程组解的结构
  • 解的线性组合还是方程组的解
  • 基础解系
    • 任何一个解都可以表示成基础解系的组合，基础解系中的向量线性无关
  • 导出组
    • 线性方程组的一个解和他的导出组的一个解的和还是可以方程组的解
  • 任一个解＝特解➕导出组的解
• 线性相关性
  • 如果存在有限多个向量v₁, v₂, ..., vₖ和对应的标量a₁, a₂, ..., aₖ，使得新的向量v可以表示为v = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + aₖvₖ的形式，那么我们就称v是这些向量的一个线性组合。
  • n维单位列向量，分别是 （1，0，0，0） （0，1，0，0） （0，0，1，0） （0，0，0，1）……
  • 向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示
  • 自反性 传递性 对称性
  • 线性相关
    • 若向量组A可以由向量组B线性表出，且A中元素个数大于B中元素个数，那么A必线性相关
  • 线性无关
    • 向量组线性无关的充要条件是齐次线性方程组只有零解
  • 两个线性无关的向量组必含有相同个数的向量
  • 极大线性无关组
• n维向量空间
  • 由数域P上n个数组成的有序数组称为n维向量
  • 向量的交换律，结合律
  • 零向量 负向量 向量的数乘
• 消元法
  • 如果两个方程组有相同的解的集合，称它们同解
  • 线性方程组的初等变换
    • 把方程组变成同解的
  • 一般解，自由未知量
  • 如果方程组的最后一行是零等于一个非零数，那么方程组无解 如果方程个数＜未知量个数，那么方程有无穷多个解 如果方程个数等于未知量个数，那么方程组有唯一解