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高数思维导图
这是一篇关于高数思维导图的思维导图，主要内容包括：微分学，函数与数列，积分学，无穷级数。内容丰富，要点梳理，结构清晰，非常值得学习！
编辑于2024-11-01 19:41:33- 高等数学
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高数思维导图
函数与数列
函数极限与连续
函数极限的定义及使用
定义
使用
是常数：
唯一性：极限存在，直接可以写为一常数，且该常数唯一——左极限=右极限
局部保号性：戴帽容易脱帽难
带帽法：若x®×时，f(x)≥0，则A≥0
脱帽法：若x®×时，A＞0，则f(x)≥0
等式脱帽法：若
函数的极限计算
简化先行
等价无穷小替换
普通型函数
复合型函数f[g(x)]：在x→0时，f(x)、g(x)化为一个系数乘以x的正整数阶等价无穷小，则此复合函数可以直接等价无穷小为两个分别等价无穷小的复合计算（结果是关于x的高阶幂函数）。
变上限积分型：
复合函数与变上限积分型：与复合函数型类似
推广性：
恒等变形
提取公因式
换元
通分
对数与指数的变形：e与ln的恒等变形
公式：因式分解、分子有理化、平方差……
四大定理：牛莱、拉朗、积分中值、泰勒
及时提出极限存在且不为零的因式
在多项和的式子中，除一项极限为零外均为无穷时可以先算出
在多项积的式子中，可以先算出不为零和无穷的式子
洛必达法则
泰勒公式
注意点
熟记公式：
展开原则：上下同阶、展开到同次系数不相等为止
在展开式中有的是各项展开，但并不代表没这一项，只是说该项的系数为0，这一点十分关键，展开到不相等为止。
无穷小比阶
高阶无穷小
方法：在无穷比阶时取大头，可以直接忽略高阶无穷小
同阶无穷小
c=1时为等价无穷小
低阶无穷小
取大头的原因是在比阶而不是具体计算极限值！！！
函数极限存在性
具体型
洛必达、夹逼准则（应对各种奇怪函数）——重点：取整函数
抽象型
单调有界准则：单增上有界、单减下有界。
用拉格朗日公式当中ξ在a与b之间来构造不等式
用牛顿莱布尼茨公式积分，加上不等式构造
函数极限的应用
连续与间断
研究位置
无定义点
函数的分段点
连续
内点处
端点处
间断
一类间断点
跳跃间断点：左右极限存在但不相等，无论该点处的函数值如何
可去间断点：左右极限存在且相等，但不等于该点的函数值
二类间断点
无穷间断点：左右极限至少有一不存在且为无穷大
震荡间断点：左右极限均不存在且震荡
数列极限
数列极限的定义及使用
定义
使用
是常数
唯一性
有界性
保号性
收敛的充要条件：所有子列{Xn}均收敛于A
数列极限的存在性与计算
归结原则
直接计算
注意在证得单调有界后，设为A时一定要注意A的取值范围，如果A要做分母，一定要判断A不可为零
定义法（先斩后奏）
构造
单调有界准则
已知不等式：基本不等式、指数与x的不等式、ln与x的关系、x与sinx的关系
利用题设暗示的不等式：
夹逼准则
重点：无限项时——最大最小乘以n;有限项时——最多最少乘最大
综合总结
用导数综合
用积分综合
用中值定理综合
用方程列综合
用区间列综合
用极限综合
注意
可以发现，无论是函数还是数列所描述的极限存在即结果为0或者一常数，无穷别视为不存在。
在洛必达和夹逼定理当中0、常数、无穷都视为存在，都可以进行计算！
微分学
一元函数微分学
概念
子主题
计算
应用
几何应用
研究对象
“祖孙三代”
f(x)
研究内容
切线、法线、截距
极值、单调性
单调性的判断
极值定义：某点领域内，恒大于或恒小于，则为极值，无关乎函数的可导性、连续性
一阶可导点是极值点的必要条件：可导函数取极值，该点导函数为零
判别极值的第一充要条件：尖点定理
判断极值的第二充要条件：可导函数，一阶导为零，二阶导不为零
判断极值的第三充要条件：偶次导不为零，前奇次导均为零
拐点，凹凸性
凹凸性的定义：两端函数值的均值和中点函数值的比较，偏心均值和偏心函数值，切线的比较
拐点定义
凹凸性与拐点的判断
判别凹凸性的充分条件：二阶可导函数的二阶导不为零，无关乎一阶导
二阶可导点是拐点的必要条件：函数二阶导存在，且在某点处为拐点，则二阶导为零，但二阶导不存在的点也可能为拐点
判别拐点的第一充要条件：函数在某点连续，去心领域内二阶导存在，左右邻域的二阶导变号
判别拐点的第二充要条件：在某点处三阶可导并不为零，而二阶导为零，依然不考虑一阶导的问题，存在即可
判别拐点的第三充要条件：n阶可导，奇次项不为零，前n-1阶（依然不包括一阶导）均为零
①曲线的可导点不同时为极值点和拐点，不可导点可同时为极值点和拐点 ②设多项式函数f(x)=（x-a)^n*g(x) (n>1),且g(a)≠0，则当n为偶数时，x=a是函数的极值点；当n为奇数时，点（a,0)是f(x)的拐点
中值定理
确定区间
设f(x)在[a,b]上连续，则有下面定理：
确定辅助函数
简单情形：题设f(x)即为辅助函数（研究对象）
复杂情形
乘积求导公式(uv)'=u'v+uv'的逆用
商的求导公式
确定使用定理
有界与最值定理：m≤f(x)≤M,其中m,M分别为f(x)在[a,b]上的最小值与最大值
介值定理：当m≤m≤M时，存在xÎ[a,b]，使得f(x)=m
平均值定理：
零点定理：当f(a)×f(b)<0时，存在xÎ(a,b)，使得f(x)=0
费马定理：设f(x)在点x0处满足①可导②取极值，则f'(x0)=0
罗尔定理：设f(x)满足①[a,b]上连续②(a,b)内可导③f(a)=f(b)，则存在xÎ(a,b)，使得f'(x)=0
拉格朗日中值定理：设f(x)满足①[a,b]上连续②(a,b)内可导，则存在xÎ(a,b)使得f(b)-f(a)=f'(x)(b-a)
柯西中值定理：
泰勒公式
积分中值定理：
“推广的积分中值定理”：
（1）零点定理：常用于找f(c)=0（由f(a)>0,f(b)<0,则f(c)=0） （2）介值定理：常用于找f(c)=m（由f(a)=A,f(b)=B,A<m<B,则f(c)=m） （3）费马定理：常用于证f'(x)=0（若f(x)在区间I上有最值点x，并且此最值点x不是区间I的端点而是I内部的点，那么点x必是f(x)的一个极值点，且当在点x处可导时，由费马定理，有f'(x)=0)） （4）罗尔定理：常用于①证F'(x)=0 ②证F(x)的n阶导为零，n≥2 （5）拉格朗日中值定理：常用于①题设中有f与f'的关系或“f(b)-f(a)”。 ②证F'(x)>0(或<0) ③证F(x)的n阶导大于或小于零，n≥2 ④证F[f'(h),f'(t)]=0 ⑤f'(x)的正负可考到单调性 （6）泰勒公式：常用于①题设中有f与f的高阶导的关系，n≥2 ②证F(x)的n阶导大于或小于零，n≥2 ③f''(x)的正负可考到凹凸性 （7）柯西中值定理：常用于①两个具体函数所满足的式子 ②一个具体函数与一个抽象函数满足的式子 ③与拉格朗日中值定理综合
常见的关键点总结
用题设告之，如f(a)=0,f''(x)>0
用极限（连接、可导、保号性，算极限）
用零点、介质定理
用积分（中值定理、保号性、原函数定义、算积分）
用费马定理：可导极值点处Þf'(x0)=0
用奇偶性
用几何条件
用行列式条件
做题细节： （1）在含有积分的式子求导时，一定要注意把x分离出来。 （2）在没有很好的上手点时，可以根据选项或者题设的引导先求求看，或许会有思路。 （3）拉格朗日余项的泰勒公式是很好的工具，在涉及到导数与函数的关系时实用性极强。（其中需要特别注意的是，利用拉格朗日余项的泰勒公式时，最后一项中x本质是关于x的函数，如果要整体积分则不能直接作为常数提出，这点十分关键。） （4）当遇到有具体区间，且有意识的将区间分开多段时，要立即想到在特定区间内使用拉格朗日中值定理。 （5）仔细观察柯西中值定理不难发现，它是关于两个函数之间的导数与原函数之间的关系，并且具有分式的形式，于是遇到分式且有差项是应该尝试应用。在使用时一般都是一个为所讨论的函数（无论是积分还是求导都含有x），另一个为根据所给条件所构造的函数，而该函数的构造是在满足所讨论函数的变形下，且与条件相符合的辅助函数。另外在进行构造时，可以先把同型的各放一边，便于观察所需要的构造形式。 （6）证导数为零一般是费马定理（连续可导函数在极值点，一阶导为零）和罗尔定理（两端点值相等，存在某点导数值为零）。 （7）当给了两个值不同的端点，最后证在该区间内的函数n阶导为零，可以进行反推：一般用罗尔定理，而罗尔定理要求端点值相等，于是据需要先利用拉格朗日中值定理求出两个一阶导相等的点，进而利用罗尔定理证明存在某点的二阶导函数值为零。 （8）在上述的6、7当中，如果需要证明三阶导或更高阶导为零的情况，可以根据题目用其他方法去补充一个一阶导与之相同的点，然后使用两次罗尔定理即可。 （9）当所给的等式或不等式条件无法直接利用各种定理进行变形或判断时，应寻找辅助函数，进行求导或积分之后再尝试利用各定理求解，而该辅助函数一般是利用直接所给的。
微分等式（方程的根、函数的零点）
理论依据
考法
微分不等式
用单调性
用最值
用凹凸性
用拉格朗日中值定理
用柯西中值定理
用带有拉格朗日余项的泰勒公式
做题细节： （1）在积分等式、积分不等式的应用中，不仅要合理的利用上述的各种定理，拉格朗日中值定理、柯西中值定理、拉格朗日余项的泰勒公式，尤其是利用泰勒公式，因为泰勒公式可以快速构造出高阶导数和不等式！ （2）除了使用上述等定理，还要使用到函数的研究工具，单调性、最值、凹凸性，更充分的利用不等式的基础知识。 （3）当题中出现f(x)=f'(x)或f(x)>f'(x)或f(x)<f'(x)，或者有根号时要用到对数函数，构造lnf(x)（lnf(x)太妙了，令g(x)=lnf(x)Þg'(x)=f'(X)/f(X)，这时f'(X)/f(X)加减一与上述公式移向可以联动，f'(X)/f(X)与上述公式除项可以联动。）
物理应用
微分方程
一阶微分方程的求解
二阶可降阶微分方程求解
高阶常系数线性微分方程的求解
用换元法求解微分方程
用求导公式逆用来换元
用自变量、因变量或x,y地位互换来换元
应用题
用极限、导数或积分等式建立方程
用几何应用建立方程
用曲线切线斜率
用两曲线f(x)与g(x)的公切线斜率
用截距
用面积
用体积
用平均值
用弧长
用侧面积
用曲率
用形心
用变化率建立方程
多元函数微分学
概念
极限
除洛必达法则和单调有界准则外，可照搬一元函数求极限的方法来求二重极限，如唯一性、局部有界性、局部保号性、运算法则、脱帽法等。
连续
偏导数
全微分
全增量：DZ=f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)
线增量：DZ=ADx+BDy+o(r) r=√(Dx)^2+(Dy)^2
可微必要条件：
充分条件：z=f(x,y)的偏导数A,B存在且在(x,y)处连续。
可微：
偏导数连续
求偏导： （1）在求解某一具体点的混合偏导数时，可以在求完对x或对y的偏导数后将其具体值带入，再接着求对另一变量的偏导。如在利用定义求某一点的偏导数时，也是直接将另一值直接带入求偏导的。 （2）在证明是否可微时，可以找特殊路径说明极限不为零，进而证明不可微。 （3）在进行化简求极限时，仍然可以用泰勒公式和等价无穷小化简。但不能洛必达和单调有界准则。
复合函数的求导法（链式求导规则）
链式求导法，求导下标1、2只是一个结构问题，与具体的1、2处的函数无关，只要是同一函数对同一位置求偏导，则结果可以合并。
隐函数求导法
一个方程：
方程组：注意x和z，x和y的在矩阵中的位置
多元函数求极值与最值
定义
极值存在的必要条件：设函数z=f(x,y)在点(x,y)处具有偏导数，且在点(x0,y0)处取得极值，则在该点处两个偏导数必为零。
极值存在的充分条件：A、B、C的关系。
拉格朗日常数法：目标函数—f(x,y,z),条件函数—j(x,y,z)=0 y(x,y,z)=0 构造辅助函数：F(x,y,z,l,m)=f(x,y,z)+lj(x,y,z)+my(x,y,z)
有界闭区域上连续函数的最值问题
偏微分方程
积分学
一元函数积分学
概念与性质
“祖孙三代”的奇偶性
f(x)为可导的奇函数Þf'(x)为偶函数
f(x)为可导的偶函数Þf'(x)为奇函数
f(x)是可导的且以T为周期的周期函数Þf'(x)是以T为周期的周期函数
注意：若f(x)连续，则f(x)的全体原函数中，只有从0开始的是奇函数
f(x)是可积的且以T为周期的周期函数Þ
积分比大小
用公式或几何意义：结合一二次线面积分以及二重三重积分对所比较式子进行化简。
用保号性
定积分的定义
基本型（凑i/n）
放缩型（凑不出i/n）
变量型
反常积分的判敛
概念：无界区间上的反常积分
判别： ①判别时要求每个积分有且仅有一个奇点，若上下限均是奇点，则应将区间分开，分别求解。 ②在对参数进行判别时，引入一个充分小的正数，构成新的幂指函数，利用比较准则二（比较判别法的极限形式，使得比值为零，因为要证收敛时的参数范围，所以首先使其具有同收敛性），最后利用你所构造的幂指函数求解参数。
计算
基本积分公式
不定积分的计算
凑微分法
换元法
三角函数代换
恒等变形后作三角函数代换
根式代换
倒代换
复杂函数的直接代换
分部积分法
u，v的选取
反三角幂和对数幂，将幂放外面。
三角指数任意放。
指数幂和三角幂，将幂放里面。
表格法
错位相乘，符号顺序+-+-...。直到上面导数为零、或积分重现后停止，各项带入上下限直接计算。
有理函数积分
定积分的计算
对称区间上的积分问题
函数f(x)在对称区间[-a,a]（a>0)上连续，则： ①f(x)为奇函数，积分为零 ②f(x)为偶函数，积分为[0,a]上的二倍
函数f(x)在对称区间[-a,a]（a>0)上连续（区间有对称性，被积函数无对称性），则：
周期性下的积分问题
区间再现下的积分问题
华里士公式
定积分分部积分法中的“升阶”“降阶”问题
分段函数的定积分
变限积分的计算
分段函数的变限积分
直接求导型
换元求导型
拆分求导型
换序型
反常积分的计算
应用
几何应用
研究对象
子主题
研究内容
面积：
旋转体体积：
平均值：
平面曲线的弧长：
旋转曲面的面积(侧面积)：
“平面上的曲边梯形”的形心坐标公式：
平行截面面积为已知的立体体积：
物理应用
位移大小与总路程
变力沿直线做功
静水压力
细杆质心
积分等式
常用积分等式
通过证明某特殊积分等式求某特殊积分
通过积分法证明积分等式
积分形式的中值定理
积分不等式
用函数的性态
处理被积函数
积分的保号性
用拉格朗日中值定理
用泰勒公式
用积分法
多元函数积分学
二重积分
三重积分
概念与对称性
概念
对称性
普通对称
轮换对称
计算
直角坐标系
先一后二（先z后xy——投影穿线法） 适用于上有曲面、下有曲面，无侧面或侧面为柱面
先二后一（先xy后z——定限截面法） 适用于旋转体
柱面坐标系=极坐标下二重积分与定积分 dxdydz=rdrdqdz
球面坐标系： x=rsinjcosq;y=rsinjsinq;z=rcosj Þ dv=r×rsinjdqdjdr
预备知识
向量运算及其应用
数量积
向量积
混合积
向量的方向角和方向余弦
平面、直线及位置关系
平面
一般式
点法式
三点式
截距式
平面束方程
直线
一般式
点向式
参数式
两点式
位置关系
点到直线的距离
点到平面的距离
直线与直线
平面与平面
平面与直线
空间曲线的切线与法平面
用参数方程给出曲线
用方程组给出曲线
空间曲面的切平面与法线
用隐式方程给出曲面：F(x,y,z)=0，其中F的一阶偏导连续
用显式函数给出曲面：z=f(x,y)Þf(x,y)-z=0，其中f的一阶偏导数连续
空间曲线在坐标面上的投影：以求空间曲线G在xQy面上的投影曲线为例。将G：F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0中的z消去，得到j(x,y)=0，则曲线G在xQy面上的投影曲线包含于曲线：j(x,y)=0 z=0,
旋转曲面：曲线G绕一条定直线旋转一周所形成的曲面
场论初步
方向导数
公式法：
定义法：
梯度
注意： （1）方向导数的公式法前提是该函数在该点可微，有对自变量的偏导。当求不可微点的方向导数时就需要用到定义法。 （2）函数在某点处的梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。
散度
divA表示场在（x,y,z)处源头的强弱程度，若divA=0在场内处处成立，则称A为无源场
旋度
rotA表示场在(x,y,z)处最大旋转趋势发度量，若rotA=0在场内处处成立。则称A为无旋场
梯度是向量，作用对象是函数 散度是标量，作用对象是向量场 旋度是向量，作用对象是向量场
四种积分
第一类曲线积分
概念与对称性
第一型曲线积分的被积函数f(x,y)定义在平面曲线L上，其物理背景是以f(x,y)为密度的平面物质曲杆的质量。
概念
对称性：普通对称性和轮换对称性
计算
一投二代三计算：
实际为参数法，化为定积分，该参数可以为t也可以为x、y、z。注意t的上下限是从小到大，没有方向！！！
第一类曲面积分
概念与对称性
物理背景是以f(x,y,z)为面密度的空间物质曲面的质量。
概念
对称性：普通对称性和轮换对称性
计算
一投二代三计算：
注意：①投一条直线Þ转换投影 ②有限个点重合Þ转换或拆分 ③z=z(x,y)单值函数Þ直接投 ④注意区别投前投后积分区域的表示（S和D）
常见的投影结果：
两者作区分： ①实质都是以投二代三计算，但一类面少了利用t作为参数的方法，因为一类面是要确定所投的面，故只能用x、y、z作为参数 ②一类线投完是定积分，一类面投完是二重积分。但两者的积分区域都无方向性，由小到大即可
第二类曲线积分
概念
计算
基本方法：一投二代三计算化为定积分
这里的a和b是由起始点和终止点决定的，是有方向性的。
这里依然可以用x、y作为参数进行求解，实质还是转化为了定积分
与一类线不同的是，这里的一投二代三计算的偏导是由积分区域的表达式直接确定的，而一类线则是根号下的平方项之和，这是因为，一类线所积分的是ds，而这里是dx和dy。
当有多段，且中间点不可导时，直接分开求解，确定每一段的表达式和起止点即可
格林公式
概念：设平面有界闭区域D由分段光滑曲线L围成，P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，L取正向，则
注意：格林公式是将二次线积分化为了二重积分，将L®D，由dx、dy®ds。在求二重积分是已无方向要求，直接从小到大积分即可，符号的变化已经体现在进行格林变换时要求L取正向，如果为负向则要整体添加负号。
方法
积分与路径无关问题
直接说明某第二曲面积分与路径无关
沿D内任意分段光滑闭曲线L都有
Pdx+Qdy为某二元函数u(x,y)的全微分
Pdx+Qdy=0为全微分方程
Pi+Qj为某二元函数的梯度
两偏导在D内恒成立
非封闭曲线且两导数不相等，可补线使其封闭
非封闭曲线且两偏导相等，则换路径
曲线封闭但有奇点在其内部，且除奇点外两偏导相等，则换路径
曲线封闭且无奇点在其内部，直接用格林公式
两类线积分的关系
注意：这里的cosa、cosb是由被积曲线决定的，由其方程求导y'=dy/dx
空间问题
直接计算：一投二代三计算
方法：这里的投影法，也可以参照二类曲面的投影方法，分段（分面）进行投影计算，写出每一段的空间方程，确定起止点坐标将进行计算，本质也是参数法
注意在投影时因为直线的方程是由两个平面确定的，所以投影也是找平面投而不是直线投，而投影的平面不一定非要是坐标平面，也可以是空间平面
常用全微分将两个dx、dy（dx、dz或dy、dz）融合求解
斯托克斯公式
设W为某空间区域，S为W内的分片光滑有向曲面片，G为逐段光滑的S的边界，它的方向与S的法向量成右手系
dydz,dzdx,dxdy转化为第二型曲面积分形式
cosa,cosb,cosg转化为第一型曲面积分形式
换路径：若rotF=0无旋场，可更换路径
第二类曲面积分
概念：
计算
基本方法：一投二代三计算化为二重积分
拆成三个积分一个一个做
分别投影到相应的坐标面上
若投影到一面上为一条线，即积分为零
若有有限个重合点，则拆分
在无任何重合点时可以投影
转换投影法
注意： 转换过程中要考虑整体的符号，有上侧下侧、前侧后侧、左侧右侧之分 在进行求偏导时，是被积曲面方程将进行求偏导，并且要加负号，
二型曲面积分与二型曲线积分在一投二代三计算的过程的差别在于，二型曲线积分投的过程中不需要注意符号的差别，但积分上下限要注意，是从起始点到终止点；而二型曲面积分则格外注意符号，但在积分是只是化为二重积分（对Dxy）的积分
注意：在进行求解时，所及的空间平面S可以分为多个部分求解，但每一个部分都要带入方程中的dydz、dxdz、dxdy三部分当中，才是这一部分曲面完整的投影结果，而不是在哪个面上投，就只算dydz、dxdz、dxdy中的哪一部分。 而在对部分曲面进行投影时如果dydz、dxdz、dxdy中任何一部的投影出现有限个重合点，那么便不可以投影，于是就要用到转换投影法，将其它两部分全部转换到一个投影面上
高斯公式
设空间有界闭区域W由有向分片光滑闭曲面S围成，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在W上具有一阶连续偏导数，其中S取外侧，则有公式
注意：高斯公式是将第二型面积分化为三重积分，由S变为W，由dydz,dzdx,dxdy变为dv，在求三重积分是已无方向要求，直接从小到大积分即可，符号的变化已经体现在进行高斯变换时要求S取正向，如果为负向则要整体添加负号。
方法
封闭曲面且内部无奇点，直接用高斯公式
封闭曲面，有奇点在其内部，且除奇点外divF=0，可以换个面积分（边界无需与原曲面重合）
非封闭曲面，且divF=0可换个面积分。（边界需与原曲面重合）
非封闭曲面，且divF≠0，补面使其封闭（加面减面）
由divF=0，建方程求f(x)
两类曲面积分的关系
其中（cosa,cosb,cosg)为S在点(x,y,z)处与S同侧的单位法向量
应用
长度
曲杆长度（弧度）
空间曲线长度
面积
平面面积
曲面面积
体积
曲顶柱体体积
空间物体体积
总质量
重心（质心）与形心
转动惯量
引力
无穷级数
数项级数的判敛
定义与Sn
判敛法
正数项级数
基本定理
比较判别法：给出两个正数项级数SUn和SVn，如果从某项起有Un≤Vn成立，则
比较判别法的极限形式
比较判别法及其极限形式实质上是跟“别人”比，故需要找到合适的尺度
比值判别法（达朗贝尔）
根植判别法（柯西）
积分判别法（柯西）
交错级数
莱布尼茨判别法：
任意项级数
常用结论
级数的收敛域
有关概念
函数项级数
幂级数
收敛点和发散点
收敛域
具体型问题
对于不缺项幂级数
对于缺项幂级数或一般函数项级数
抽象型问题
阿贝尔定理
结论一
结论二
展开问题
考法
函数展开
积分展开
导数展开
无穷小比阶
工具
先积后导
先导后积
重要展开公式
求和问题
直接套用
用先积后导或先导后积求和函数
用所给微分方程求和函数
建立微分方程并求和函数
综合题
傅里叶级数
周期为2l的傅里叶级数
注意： 傅里叶级数是可以应用于很多函数，而这里我们所讨论的只是对于周期函数的傅里叶级数； 这里的an、bn称为f(x)以2L为周期的傅里叶系数； an的n是从0开始的，且傅里叶级数要单加上a0；且这里的函数f(x)是以2L为周期的周期函数；
狄利克雷收敛定理
狄利克雷收敛定理是对傅里叶级数在某点的和函数收敛性的阐述 其中包括在[-L,L]上的连续点、间断点、两端点的和函数的值 有间断点是因为傅里叶级数只对函数f(x)做了有周期性和可积性的限定，而可积不一定连续
正弦级数和余弦级数
在f(x)本身是以2L为周期且在[-L,L]上可积的基础上，也就是有傅里叶级数的存在前提下又是奇函数或偶函数，进一步简化得到正弦函数和余弦函数。
只在[0，l]上定义的函数的正弦级数和余弦级数展开
若f(x)是定义在[0,L]上的函数，首先用周期延拓，时期扩展为定义在(-L,+L)上的周期函数F(x)的傅里叶级数展开式后，再将其自变量限制在[0,L]上，就可以得到f(x)在[0,L]上的傅里叶级数展开式。
周期奇延拓与正弦级数展开
周期偶延拓与余弦级数展开