数量关系-粉笔

这是一篇关于数量关系的思维导图，主要内容包括：几何问题，溶液问题，排列组合与概率，容斥问题，最值问题，经济利润问题，行程问题，工程问题，解题思维。

数量关系

• 解题思维
  • 代入排除
    • 使用范围
      • 典型题
        • 年龄问题
        • 余数问题
        • 不定方程问题
        • 多位数问题
      • 看选项
        • 选项为一组数、可转化为一组数
      • 剩两项
        • 只剩两项时，代入一项即得到答案
    • 数字特性
      • 奇偶特性
        • 适用范围
          • 知和求差，知差求和
          • 不定方程
          • 2倍（4倍、6倍等偶数倍）、平均分成两份
        • 判定方法
          • 乘法：一数为偶则得偶，两数同奇则得奇
      • 倍数特性
        • 适用范围
          • 平均分组
            • 例：每组8个人，且均为5男3女 则：总人数一定是8的倍数，男性人数一定是5的倍数，女性人数一定是3的倍数
          • 分数、百分数、比例、倍数
            • 例：A/B=3/5=3m/5m（A、B均为正整数） 则：A是3的倍数，B是5的倍数，（A+B）是8的倍数，（B-A）是2的倍数
            • A=3/5 x B、A是B的0.6倍、A=60% x B，应转化为A/B=3/5
            • 粉笔小贴士：分数一定要化成最简分数
        • 整除判定
          • 拆分法
            • 例：517=470+47，所以可以被47整除
          • 因式分解
            • 例：15=3×5，故判断一个数能否被15整除只需判断这个数能否同时被3和5整除
            • 粉笔小贴士:分解时必须互质
          • 口诀
            • 2、5:当且仅当末一位可以被2、5整除
            • 4:当且仅当末两位可以被4整除 8:当且仅当末三位可以被8整除
            • 3、9:当且仅当各位数字之和可以被3、9整除
      • 尾数法
        • 计算时结合尾数，比如：5x的尾数一定是0或5（.x为整数）
    • 代入技巧
      • 先排除后代入
      • 优选简单数字代入
      • 问最大，优先代入最大的选项 问最小，优先代入最小的选项
  • 方程思维
    • 普通方程、方程组
      • 设未知数技巧
        • 设小不设大(避免分数)
        • 设中间量(方便列式)
        • 求谁设谁(避免陷阱)
    • 不定方程
      • 未知数一定是整数：用数字特性缩小范围之后，进行代入排除
      • 未知数不一定是整数：赋零法，赋系数最复杂的未知数为0
• 工程问题
  • 总量=效率 x 时间
    • 题干给多个完工时间：赋总量(时间的公倍数)，求效率，算问题
    • 题干给出效率比:赋效率(符合比例即可)，求总量，算问题
    • 题干给出效率或总量的具体值:设未知数,找等量关系列方程
• 行程问题
  • 路程=速度 x 时间
  • 平均速度
    • 总路程÷总时间
    • 等距离平均速度
      • 适用范围：等距离上下坡问题、往返问题
  • 相遇问题
    • 相遇距离(路程和)=(V大+V小) x 相遇时间
    • 直线多次相遇：直线两端出发，第n次相遇共走了(2n-1)个全程
    • 环形相遇：第n次相遇共走了n圈
  • 追及问题
    • 追及距离(路程差)=(v大-v小) × 追及时间 追及距离代表开始时刻两者之间的距离
    • 环形追及:第n次追上时快的人比慢的人多走了n圈
  • 流水行船问题
    • 顺水速度=船速+水速
    • 逆水速度=船速-水速
    • 静水速度=船速、漂流速度=水速
• 经济利润问题
  • 基础经济
    • 公式
      • 利润=售价一成本
      • 利润率=利润/成本
      • 折扣=折后价÷折前价
      • 总价=单价x数量
      • 方法
        • 方程法、赋值法
  • 分段计费
    • 出租车费、水电费、税费等计费方式
    • 分段计算,汇总求和
  • 函数最值
    • 特征：
      • 单价和销量此消彼长，求总售价或总利润的最大值
    • 方法：
      • 两点式
• 最值问题
  • 最不利构造
    • 特征：至少……保证……
    • 方法：最不利情况数+1（最倒霉情况数+1）
  • 构造数列
    • 特征：某个主体最大/小
    • 方法：排序定位、反向构造、加和求解
    • 粉笔小贴士
      • 答案取整：问最多、向下取整；问最少，向上取整
      • 注意主体是否可以相等
  • 多集合反向构造
    • 特征：都满足的最少……
    • 方法：反向、求和、作差
• 容斥问题
  • 特征：多个集合有重复
  • 公式法
    • 两集合
      • A+B-A∩B=总数-都不
    • 三集合
      • 标准型公式：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C=总数-三个都不满足
      • 非标准型公式：A+B+C-只满足两个条件-2 x 满足三个条件=总数-三个都不满足
      • 常识型公式：满足一项+满足两项+满足三项=总数-三个都不满足
      • 粉笔小贴士：题干中出现“（只）满足两个条件”，用三集合非标准型公式
  • 画图法
    • 画圈圈，标数据
    • 从里到外，注意去重
    • 粉笔小贴士：题干中出现“只满足某一个条件”，用画图法
• 排列组合与概率
  • 概念一
    • 分类（要么……要么……）
      • 加法
    • 分步（即……又……）
      • 乘法
  • 概念二
    • 排列
      • 整体中区部分，跟顺序有关（不可互换）
    • 组合
      • 整体中区部分，跟顺序无关（可以互换）
  • 排列模型
    • n个人排成一队
    • 必须相邻
      • 捆绑法，先捆绑必须相邻的元素，捆绑后将其看成一个整体和其他元素一期排列
    • 不能相邻
      • 插空法，先排可以相邻的元素，再讲不能相邻的元素插空放入
    • n个人排成一圈
      • ，n代表人数
    • 同素分堆
      • m个人分n个苹果，每人至少1个
        • 插板法
      • m个人分n个苹果，每人至少3个
        • 转化成每个人至少1个：先每个人分2个，剩下的苹果在分给m个人，变成每人至少1个
    • 错位排列
      • 特征：第二次排列和第一次排列位置不同 例：四辆车从车库开出，重新停入车库，均不能停回原来的车位
      • 结果数:D1=0,D2=1,D3=2,D4=9,D3=44；最常考的是D4和D5
  • 概率
    • 给情况求概率：概率=满足要求的个数\总个数
    • 给概率求概率：分类用加法，分步用乘法
    • 某个事件发生的概率=1 - 不发生的概率
• 溶液问题
  • 基础公式
    • 浓度=溶质质量÷溶液质量
    • 溶液质量=溶质质量+溶剂质量 例：糖水=糖+水
  • 题型
    • 溶液混合
      • 特征
        • 已知两种或多种不同浓度溶液混合，求混合浓度
      • 方法
        • 方程法：根据总浓度=总溶质质量÷总溶液质量列方程
        • 线段法
          • (1)混合前写两边，混合后写中间
          • (2)距离(浓度差)和量(溶液质量)成反比
    • 溶液不变
      • 特征：倒出部分溶液后，用水加满
      • 方法：浓度为r的溶液，倒出a%，再加满水，浓度变为r x (1-a%)
    • 溶质不变
      • 特征：题干中出现溶液和水混合或者蒸发溶液中的水
      • 方法：根据溶质质量不变,列式求解
• 几何问题
  • 平面几何
    • 基础题型
      • 规则图形：公式法
      • 不规则图形：割补平移
    • 面积比例
      • 底(高)相等的三角形：面积之比等于高(底)之比
      • 相似三角形:对应边之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方
    • 平面最短路径
      • 镜面对称再连线
  • 立体几何
    • 表面积
      • 正方体：
      • 长方体:2(ab+ac+bc)
      • 球：
    • 体积
      • 正方体：
      • 球：
      • 圆柱体：
      • 棱锥：
  • 常用结论
    • 几何最值理论：几何图形中，周长一定，越接近于圆，面积越大；表面积一定，越接近与球，体积越大
    • 圆内接三角形：直径所对的角为直角、直角所对的弦是直径
    • 特殊三角形：含30°角的直角三角形（1：
      • ：2）;含45°角的直角三角形（1：1：
        • ）