导图社区 AMC8知识点总结
美国数学竞赛AMC8知识点全集,本知识点全集将详细解析AMC8竞赛中的各个知识点,帮助参赛学生系统地复习和巩固所学内容,提高解题效率和准确率。希望广大学生和家长能够充分利用这一资源,共同迎接AMC8竞赛的挑战,取得优异的成绩。
编辑于2024-11-12 18:02:16美国数学竞赛AMC12知识点全集,结合经典例题与解题技巧,希望能够帮助参赛者更好地把握竞赛精髓,提升解题效率,从而在激烈的竞赛中脱颖而出。
AMC10知识点总结,旨在为广大参赛者提供一个系统、全面的复习指南,涵盖从数论基础到几何变换,从代数问题到概率统计,再到数列与多项式等核心知识点。结合经典例题与解题技巧,希望能够帮助参赛者更好地把握竞赛精髓,提升解题效率,从而在激烈的竞赛中脱颖而出。
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AMC8
角和三角形
角的分类
钝角/锐角/直角/平角
对顶角/余角/补角
平行线形成的角
内错角/外错角/同旁内角/同位角
三角形内角和
三角形内角和等于180度
三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和
三角形的三个外角和等于360度
等腰三角形
两个底角相等
两个底边相等
三线合一:顶角平分线,底边高线,底边中线合一
等边三角形
三边相等/三个内角相等且等于60度
边长为a,则高线/中线/角平分线长均为
边长为a,则面积为
三角形内的不等式
任意两边之和大于第三边
任意两边之差小于第三边
勾股定理
勾股定理
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方
特殊直角三角形
45度/45度/90度直角三角形
等腰直角三角形
斜边/直角边=
30度/60度/90度直角三角形
30度所对直角边/斜边=
60度所对直角边/斜边=
长直角边/短直角边=
全等三角形
边边边公理SSS
变角边公理SAS
角角边公理AAS
角边角公理ASA
斜边直角边定理HL
多边形内角和
n边形内角和
多边形的外交和
多边形的外角和为360度
相似三角形
相似三角形的定义
形状相同,大小不一定相同的两个三角形称为相似三角形
相似三角形的判定
角角相似AA
角边角相似ASA
边边边相似SSS
相似三角形的性质
相似三角形对应角相等,对应边成比例
相似三角形周长比等于相似比
相似三角形面积比等于相似比的平方
直线截三角形
一条直线与三角形的一条边平行,与另外两边相交,则直线将两边成比例分割
射影定理
为直角三角形,角C为直角,CD为斜边AB的高线
中位线定理
两边中点的连线段长度等于第三边的一半且连线段所在直线平行与第三边
圆
术语/定义
弦
圆上两点的连线段
直径
过圆心的弦
切线
和圆只有一个交点的直线
割线
和圆有两个交点的直线
劣弧
圆上长度小于半圆的弧
优弧
圆上长度大于半圆的弧
同心圆
圆心相同的多个圆
圆周角
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角
圆心角
顶点在圆心上,且角的两边与圆周相交的角
扇形面积公式
半径为r,圆心角为a的扇形的面积=
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦及弦所对的劣弧/优弧
等弦距定理
同圆或者等圆中,圆心到两条相等的弦的距离相等
切线垂直半径
切线与经过切点的半径垂直
与半径垂直,且经过半径的外端点的直线为圆的切线
切线长定理
从圆外一点A引两条圆的切线,切线长相等,A与圆心的连线平分两条切线的夹角
圆心角/圆周角/弧度
圆心角的度数等于所截弧的度数
圆周角的度数等于所截弧的度数的一半
同圆或等圆中等弧所对圆心角等于圆周角的两倍
弦切角定理
一条切线和与之有公共点的弦的夹角等于弦所对圆周角
圆的内接四边形
圆的内接四边形对角互补
弧度/弦/圆周角的关系
同圆中,弦相等则另外两个也相等,弧度相等则另外两个也相等,圆周角相等则另外两个也相等
直径所对圆周角
直径所对圆周角为90度
周长/面积/体积
三角形
三角形的周长和面积公式
等边三角形的面积公式
四边形
矩形周长/面积公式
平行四边形周长/面积公式
菱形的周长/面积公式
梯形的周长/面积公式
匹克定律
连接格点所形成的多边形的面积=B/2+I-1
B表示位于多边形边上点的个数,I表示多边形所包围的点的个数
不规则图形求面积的方法
分割法
将不规则图形分割为几个规则图形
割补法
通过切割补全的方式将不规则图形变为规则图形
柱体的体积
柱体体积公式
柱体体积=底面积*高
长方体的体积公式
长方体体积=长*宽*高
圆柱体体积公式
圆柱体体积=
三棱柱的体积公式
三棱柱体积=底面三角形的面积*高
直线
点的X-Y坐标
点的坐标
四个象限
直线的方程
斜率
截距
X截距
直线与x轴交点的x坐标
Y截距
直线和y轴交点的y坐标
直线的一般式
直线的点斜式
直线的斜截式
直线的截距式
平行与坐标轴的方程
平行于X轴的方程y=b
平行与Y轴的方程x=a
两直线交点坐标
将两条直线的方程联立组成方程组,解方程组即可
两直线平行
中点公式
两点距离公式
解方程
一元一次方程
一元一次方程ax=b
一元一次方程的解
时,方程有无数多个解
时,方程无解
时,方程有唯一解
比值
比值的定义
比值用来比较两个或者多少数字
比值的性质
比值第一个数可以任何数,第二个数不能为0
两个数同时乘以一个非零数,比值不变
子主题
连比
三个及以上数量的比值称为连比
连比化分比
分比化连比
比例
百分数
定义:百分数是把一个数和100比较得到的比值,例如50%
增加或降低的百分数
如果一个数从a变成了b,且b>a,则a增加了(b-a)/a*100%
打折
如果一个数从a降到了b,则折扣为(a-b)/a*100%
打9折就是原来的数字乘以90%
百分数连续增减
如果一件衬衫的原价为X,假设先升高a%,再降低b%,再升高c%,再降低d%,最终价格为X*(1+a%)(1-b%)(1+c%)(1-d%)
行程问题
路程,速度和时间的关系
路程一定,速度和时间成反比
速度一定,路程和时间成正比
时间一定,路程和速度成正比
平均速度
总路程/总时间
追及问题/相遇问题
解一元一次方程组
代入消元法
加减消元法
解一元二次方程
多项式展开
多项式相乘
完全平方和/差公式
平方差公式
因式分解
一元二次方程求根公式(AMC8不考)
幂和根式
幂
幂的定义
一个数的幂(或者指数)是指将这个数连乘的次数
幂的性质
同底幂相乘,底数不变指数相加:
同底幂相除,底数不变指数相减:
指数为负数:
对幂取幂,底数不变,指数相乘:
幂的大小比较
化为相同的幂,之后比较底数
化为相同的底数,比较指数
根式
平方根
化简根式
将根式里的数化为没有大于1的完全平方因子的形式
例如:
平方根的性质
带根号表达式运算
同类根式
经过化简后,根号下被开方数相同
同类根式可以合并
非同类根式
经过化简后,根号下被开方数不相同
非同类根式不可以合并
共轭根式
共轭根式主要用于去根号
逻辑推理和数据分析
逻辑推理
命题
命题是一个对或者错的句子,但不能既对又错
命题的否定
一个正确命题的否定是错误的,一个错误的命题的否定是正确的
各类命题
原命题:若P则Q
逆命题:若Q则P
否命题:若非P则非Q
逆否命题:若非Q,则非P
原命题和逆否命题等价,否命题和逆命题等价
解题方法
找逆否命题
找互相矛盾的两个命题
找正确性一致的两个命题
统计分析
平均数
所有数的和/数的个数
中位数
所有数从小到大排列,如果数的个数为奇数,则取中间位置的数,如果数的个数为偶数,则取中间两个数的平均值
众数
出现次数最多的数
极差
一组数中最大值与最小值的差
容斥原理和韦恩图
数列和级数
等差数列
递推公式
通项公式
等差数列性质
如果a,b,c三个数形成等差数列,则a+c=2b
如果a,b,c,d形成等差数列,则a+d=b+c
等差数列的级数(求和公式)
等比数列
递推公式
通项公式
等比数列级数(求和公式)
等比数列性质
解不等式
不等式乘法性质
不等式两边同时乘以一个正数,不等式符号方向不变
不等式两边同时乘以一个负数,不等式符号方向改变
排列和组合
两个组合原理
乘法原理
加法原理
排列
不带重复的排列
两个重要方法
插空法
当要求某些物体不能相邻,先把剩余的排列好,剩下的插到缝隙中
捆绑法
当要求某些物体相邻,先把相邻的捆绑放在一起再和剩下的一起排列
带重复的排列
组合
组合是指给定的一系列物体里,选定一定量的物体的方法,物体选择与顺序无关
从n个物体里选择k个物体的不同组合的方法为
组合中的高级模型
球和罐子模型
球一样,罐子可以为空
把n个球放进k个不同的罐子中,或者n个球被k-1个隔板分割,总的方法数为
球一样,罐子不可以为空
把n个球放进k个不同的罐子中,或者n个球被k-1个隔板分割,总的方法数为
球不同,罐子可以为空
n个球放进k个罐子,不同的方法的种数为
球不同,罐子不可以为空
可以直接求,也可以用总的减罐子有空的情况
容斥原理在排列组合中的应用
概率
古典概率
基本公式:概率=符合题意的事件数/总的事件数
概率性质
一个事件的概率在0和1之间(包括0和1)
一个事件A发生的概率为P(A),则事件A反面发生的概率为1-P(A)
概率的一般运算规则
一般的,如A和B是两个事件,则
如果两个事件A和B是互斥的(不可能同时发生),那么
如A和B是相互独立事件(即A和B相互不影响),则
几何概型
几何概型一般会涉及到连续型的随机变量,这时一个事件发生的概率可以用长度、面积或者体积来计算
P(成功)=成功区域的面积/总面积
运用递推来求概率
物体在几个状态中来回切换,找出递推关系,之后求出任何状态下的概率
质数
基本概念
整数
包括正整数、负整数和0
质数/合数
如果一个大于1的正整数的除数只有1和它自己,则称这个数为质数
否则就称为和数
1既不是质数也不是合数
互质
两个数的最大公约数是1,则这两个数互质
唯一的偶质数
只有2为偶质数
质因数分解
一个数的质因数分解就是将一个数表示成几个质数的乘积
算术基本定理
完全平方数
一个完全平方数可以写成某个整数的平方
一个完全平方数的质因数分解中,每个质因数的指数一定是偶数
立方数
一个立方数可以写成某个整数的立方
一个立方数的质因数分解中,每个质因数的指数一定是3的倍数
偶数和奇数
偶数
偶数是2的倍数,可以写成m=2k的形式
奇数
奇数不是2的倍数,可以写成m=2k+1
正因数个数
因子
如果一个整数n是另一个整数m的因子,则m=nk
正因子个数定理
回环数
一个数正反读是相同的整数,比如616,123321
不定方程
不定方程定义
不定方程是指求整数解的方程
最大公因数/最小公倍数
最大公约数
GCD(m,n)(最大公约数):能同时整除m和n的最大正整数
最小公倍数
LCM(m,n)(最小公倍数):m和n的所有正的公倍数的最小的那个
计算方法:m和n进行质因数分解,相同质因子指数取大
两者之间的关系
余数和整除
商和余数
a和b都是整数,b>0,则存在唯一的整数(q,r),使得a=bq+r,
整除
被2/4/8/16整除
被5/25/125/625整除
被3/9整除
能被7整除
把一个整数除了个位以外的部分减掉个位的2倍如果能被7整除,则原整数能被7整除(往往需要重复使用才能判断一个比较大的整数是否能被7整除)
能被11整除
一个整数的奇数位的数字和与偶数位数字和的差如果能被11整除,则这个整数能被11整除
能被13整除
把一个整数除了个位以外的部分减掉个位的9倍如果能被13整除,则原整数能被13整除(往往需要重复使用才能判断一个比较大的整数是否能被13整除)
能被7/11/13整除另一个判断方法
如果一个整数的后三位形成的整数与这个整数的其他部分之差能被7/11/13整除,则原整数能被7/11/13整除
判断一个整数能否被一个合数整除的方法
合数m=ab,a和b互质,如果n能被a和b整除,则n能被m整除
d的倍数的个数
从1到n(包括1和n)范围内d的倍数的个数为
结尾0的个数