H无穷范数定义：输入平方可积（然而大部分信号不满足该要求），输出平方可积，取其上限。描述一个系统能够把该信号最大放到多少！=系统bode图在所有频率上幅度最大值？
抗扰=输入扰动，系统输出的H无穷范数很小。
跟踪=输入跟踪误差，系统输出的H无穷范数越小越好。
鲁棒控制1.0：经典控制方法
鲁棒控制2.0：H无穷控制
鲁棒控制3.0：克服2.0的保守性，权衡最优性+鲁棒性，动态+稳态，跟踪+抗扰。
Zames小增益，Doyle-LQG稳定裕度，Safonov-LQR稳定裕度（60度），British School。
Zames-H无穷控制。
Honeywell多变量控制：Hankel近似（插值方法）、Interpolation、Operator Theoretic等。
DGKF:Doyle, Glover, Khargonekar, Francis四人帮，鲁棒控制高峰。
控制方法对比：H2 H无穷 L1。其中H2=LQG，高斯白噪声→均方根；H无穷：输入输出均方根有界&平方可积&幅值有界正弦；L1：输入输出时域幅度有界。
Technical Notes and Correspondence
INtroduction to feedback control
高精度鲁棒：高精度sensor、高精度模型、高复杂控制器。
建模最为重要：一是系统更加精确的模型，而是不确定性的范围，这个是高精度鲁棒控制的基础。如下图所示：

模型不确定性：

标量case为：
因此保持即可。
SVD其实就是任意一个矩阵分解为S*D*V，其中的S和V为酉矩阵（如果实数，则是正交矩阵，即该矩阵仅仅改变作用矩阵的方向，不改变大小），而其中的Ｄ为对角阵（如果是方阵分解则是纯对角阵，否则其余部分用０填充，每一个对角阵的特征值表示一个奇异值，二维时表示椭圆长短边，即表示一个流形的坐标轴及其大小！）
然而，矩阵情况下，需要用到奇异值分解SVD。将系统矩阵进行SVD分解，为了验证系统的抗扰性能，需要系统对扰动的响应的最大值小于一定的值。而这个最大值，其实和SVD分解中的最大奇异值息息相关！即针对下面的系统：，必须保证整个范数小于一定的值：
。抗扰＝最大奇异值足够小！
故障诊断问题：设计一个滤波器／检测器，用于检测输入信号ｕ是否存在以及大小如何，其实就是放大信号的灵敏度。即保证以下的最小奇异值足够大：

鲁棒性概念：
1、对于非奇异方阵M，最小扰动δ（一个标量）使得I-Mδ奇异：
2、对于任意n*m矩阵M，最小扰动（一个矩阵，实际应用中其实不是一个矩阵，而是一个传递函数，下面讲述该传递函数的寻找过程）使得I-M△奇异：

3、寻找△这个传递函数：针对如下所示的系统：
系统的稳定边界为：，即想要系统稳定，必须保证△的H无穷范数小于M的H无穷范数。即所有的鲁棒控制问题=小增益定理，表述为：
回路所有增益小于1，。
△=0肯定稳定，随着她的增加，系统肯定会不稳定，寻找其最小值=M的最大值！小增益即小于1的意思！
4、互质分式不确定性：
利用分块的方法，采用小增益定理，得到系统稳定的条件：
，其中K为设计的控制器！这其实是一个闭环传递函数的H无穷范数的最小化问题！
5、鲁棒控制困惑：H无穷定义：第一项为输出2范数比输入2范数的上界，第二项为系统SVD分解中最大的奇异值！
系统的频率响应：正弦输入信号的稳态响应（不是瞬态响应！）；
H无穷范数：所有正弦输入信号的稳态响应中的最大幅值，也就是对所有输入正弦信号进行遍历，求得系统对这些信号的最大放大倍数，从bode图来看就是幅频特性的峰值点横坐标！
问题是：假如输入信号是阶跃信号呢？如何利用H无穷设计抗扰控制器？
由于周期长的方波=有限时间内的阶跃，所以阶跃、方波的响应可以归为一类，而方波信号为周期信号，由无穷多个（实际上取前面若干个即可！）正弦信号的叠加！
就多个正弦信号叠加近似方波信号的效果来看，前面几个是不够的，尤其在方波条变动的地方总会有比较大的波动！
但是，如果从输出响应来看，前面几个频率（而且，系统对高频一般都有衰减作用，所以仅仅考虑低频信号的叠加即可）的叠加就足以近似输出的波形了。
周期足够长的锯齿波=有限时间内的斜坡信号，因此这两个可以归位一类。
一个锯齿波也=无穷多个正弦波叠加！（因为它是周期信号，这里的关键在于利用不同的时间尺度将非周期信号转为周期信号，然后进行傅里叶展开：系统调节时间<周期信号的周期即可）。
与上面结果类似，其输出也仅仅取决于前面几个低频信号！
因此，只要系统H无穷范数足够小，则可以达到抵抗这类信号（正弦、阶跃、方波、斜坡、锯齿）扰动的效果。
其实，上述的周期信号可以用无穷多个离散频率的正弦信号进行逼近（傅里叶展开，求和），那么对于任意一个连续信号（非周期），就可以用无穷多个连续频率的正弦信号进行逼近（傅里叶积分）！
6、H无穷范数？

非结构VS结构：
非结构=通用的，一般的，比如说矩阵为任意矩阵！适用于小增益定理！
结构化的=特殊的，比如说对角矩阵！适用于小u定理！
H无穷控制的标准范式:一般的、含有不确定性的系统化为标准范式！

其中W1低通（执行器饱和问题），W2高通（u对性能影响问题）。
这个是一般case
哈里托诺夫定理：区间多项式的稳定性由四个多项式稳定来判定。
棱边定理：
本质上来说，是将区间多项式中的q分别做顶点，连接起来组成多面体，利用多面体的棱进行稳定性判定，将多面体内部数据的判定步骤省略，尽管如此，当顶点数目较多时仍然比较复杂。



非结构实稳定半径。
小u定理（更加一般性）：如何求结构奇异值，其精确值很难求解，但是上下界可以求得。

其中的line_δ表示最大奇异值（结构奇异值上界小于最大奇异值上界）！
所有的鲁棒控制问题==u的上下界求解问题(分别用于鲁棒分析和综合)！

积分二次约束
miu间隙测度：
H无穷控制器降阶

H无穷扩展：
无线维系统；非线性时变系统；随机系统；
离散和采样系统；多维系统；经济系统；
自适应鲁棒控制、概率鲁棒控制、
分散鲁棒控制、网络化鲁棒控制
鲁棒区域极点配置、鲁棒增益规划控制、
鲁棒H2控制、不确定时延系统、鲁棒滤波问题、模型验证
