《鲁棒控制》课程笔记-周克敏

周克敏老师的鲁棒控制课程笔记，目前仅仅整理了一部分。由于工作状况变动、外部干扰以及建模误差的缘故，实际工业过程的精确模型很难得到，而系统的各种故障也将导致模型的不确定性，因此可以说模型的不确定性在控制系统中广泛存在。

鲁棒控制-周克敏

• 古典控制基础
  • 机电、控制、软件、硬件
  • AI、robot、大数据、工业Iot
  • 反馈控制
    • 人工控制：human in the loop
    • 自动控制：device or machine in the loop
    • 调节器：保持输出稳定@未知扰动
    • 伺服&跟踪：故障参考信号
    • 开环控制：无measurement或者estimation
    • 闭环控制：基于measurement或者estimation的控制
  • 瓦特、GBAiry、Maxwell、Routh等人贡献
    • 劳斯判据本质？简单计算例子：
    • Hurwitz判据：由Hurwitz矩阵计算其各个子矩阵的行列式，如果均大于0，则系统稳定： 
    • Harsold Stephen Black：发明负反馈放大器！
    • Henrik Wade Bode：复习伯德图！
      •  进而估计出二阶系统的一些时域性能，比如调节时间、超调量！（wc为穿越频率，wb为带宽，与wc成正比，反应系统的上升时间）
        • 伯德图=对数频率特性曲线，半对数坐标系=对数坐标（rad/s）+线性坐标(db deg)。横坐标按lg倍数来划分：  bode图中横坐标定位：首先确定一个1，随后随意规定一个10倍频程，然后按照长度测量某个数相对于参考点1，10、10，100等的长度，计算方法为lnX-lgN，其中X为需要定位的点的值，N为参考点。
    • Harry Nyquist：发明传真机！奈奎斯特图： 
      • 有结论：S平面内顺时针画一条闭合曲线A，B曲线为A通过系统传函F之后的映射。A曲线每包含一个F的零点，B绕原点顺时针一圈，包含一个极点则B逆时针绕0点一圈！ 因此，可以通过映射后的曲线B的绕0点顺、逆时针圈数，简介判断系统的稳定性！
      • 针对系统：有以下结论: P-Z=N，其中P=系统开环传递函数GH奈奎斯特轮廓（整个右半平面）极点数，Z=系统闭环TF在右半平面的极点数，N=奈奎斯特plot绕-1，0的圈数逆时针。系统稳定的条件：Z=0！
      • 相位裕度：时间延迟、惯性等； 增益裕度：系统增益？
      • 更加合适的稳定裕度表示为：-1点为圆心，与轨迹相交的圆的半径r。如下图： 因为这个参数综合考虑了相位裕度与增益裕度！
    • Nathaniel N.Nichols：Z-N的PID调节规则！
      • 
    • Walter R. Evans：根轨迹（最开始使用螺旋尺来画根轨迹！）！ 根轨迹非得需要精确设计出控制器参数，但是对于控制器类型的选择具有很大的帮助，比如确定控制器的类型（主要是通过添加零极点位置和个数来确定控制器类型！）
      • 一阶系统中根=极点： 二阶系统中，两个实数根、两个虚轴根、共轭负根。 高阶系统：低阶系统的叠加！因此，根的位置==》系统性能。  根轨迹变化规律==》设计补偿器！ 当k从0到∞时，闭环系统极点位置的变化规律！通过分析G来研究1+G的极点！注意其标准形式为k*G/(1+GH).极点数目=n，零点数目=m。 规则1：根轨迹数目=max(n,m)。 规则2：m=n时，k从0到正无穷，根轨迹从极点向零点移动。 规则3：实轴上的根轨迹仅存在与从右向左数第奇数个极点/零点的左边。 规则4：复数根比如是共轭的，根轨迹关于实轴对称。 规则5：多出来的极点指向无穷。多出来的零点，由无穷指向它。 规则6：根轨迹沿着渐近线移动，渐近线与实轴交点位置=(极点之后-零点之和)/(极点数目-零点数目)，与实轴夹角=（2q+1）/(极点数目-零点数目)，其中q=0，1，|n-m|-1。
    • LF、维纳（随机、最优）、Pontryagin（极大值原理）、Kalman（KF、LQ控制）、贝尔曼（动态规划）、Zames（鲁棒控制、H无穷最优控制）
    • 阶跃、脉冲、傅里叶变换、伪随机信号（工程上代替脉冲信号进行系统辨识）、脉冲响应（可以辨识出系统）
    • 控制系统两个基本结构： 1、一般调节系统：输入和反馈都输入到控制器内。 2、单位反馈系统：输入和反馈相减之后输入到控制器内。 
    • 调节时间、超调：一阶系统的、二阶系统的。 输入稳态跟踪误差 扰动稳态误差 主导零极点：与原点相差5、6倍。 频率响应：可以由波特图描述。 跟踪与抗扰：跟踪阶跃信号，需要一个积分，跟踪斜坡信号需要两个积分，跟踪正弦信号需要一个虚轴上的极点（一般很难达到，跟踪精读和系统性能存在矛盾）。本质上来说，跟踪与扰动问题可以归结为一类问题，即在某一点（一般是一段频率范围，比如w0∈W）最小化一个传递函数，不同的是，跟踪问题的TF是输入到误差的，抗扰问题的TF是扰动到输出的，为此我们找出改点的最大TF增益，再令这个增益足够小，就可以解决我们一般的控制问题了。（复习任意两点的TF写法！）    
• 鲁棒控制理论基础
  • 内模原理：实现完美跟踪的调节：控制器的TF必须包含被跟踪信号的模态，这就是内模原理！
  • 扰动与跟踪的矛盾：一般的控制框架无法解决，利用2自由度控制可以解决！  
    •  即只抬高两点，第一点是低频、第二点是干扰频率点，其余需要尽量保持原状
    • 跟踪、扰动：都是阶跃信号，则KP包含一个积分即可。 输入：阶跃信号，扰动：正弦信号
  • 古典稳定裕度的局限： bode图增益和相位之间的关系（when所有零点在左半平面）： 
    • 倒立摆：非常难以控制. 球杆系统（纯滑动模型、纯滑动模型）
    • bode灵敏度函数及其积分。 内稳定与外稳定！ 零极点对消（稳定的OK，不稳定的绝对不行！）：鲁棒控制≈稳定的零极点对消！
    • 现代控制理论：状态空间理论、优化控制、KF、微分对侧、LQG控制、自适应控制、逆奈奎斯特法、特征根轨迹法 鲁棒控制：LQG回路重塑、H无穷控制、鲁棒H2控制、L1优化控制！
  • 右半平面零极点（左边可以对消，右边不可以！） 右半平面零点vs穿越频率。 左半平面零点增加相位裕度！右半平面（零点越大影响越小，极点越大越糟糕）则减少相位裕度和带宽。 零度根轨迹？180°根轨迹？ 施加零点可以稳定系统（PD控制器）
  • 右半平面零点：如果右半平面有0点，则穿越频率不能超过这个0点的一半！因此，如果该零点越大，则对系统影响越小！ 
  • 对抗外部扰动、系统参数变化、模型不确定性的控制系统！现代鲁棒控制中最重要的一点就是：明确了鲁棒性保证的！
    • H无穷范数定义：输入平方可积（然而大部分信号不满足该要求），输出平方可积，取其上限。描述一个系统能够把该信号最大放到多少！=系统bode图在所有频率上幅度最大值？ 抗扰=输入扰动，系统输出的H无穷范数很小。 跟踪=输入跟踪误差，系统输出的H无穷范数越小越好。
    • 鲁棒控制1.0：经典控制方法 鲁棒控制2.0：H无穷控制 鲁棒控制3.0：克服2.0的保守性，权衡最优性+鲁棒性，动态+稳态，跟踪+抗扰。
    • Zames小增益，Doyle-LQG稳定裕度，Safonov-LQR稳定裕度（60度），British School。 Zames-H无穷控制。 Honeywell多变量控制：Hankel近似（插值方法）、Interpolation、Operator Theoretic等。 DGKF:Doyle, Glover, Khargonekar, Francis四人帮，鲁棒控制高峰。
    • 控制方法对比：H2 H无穷 L1。其中H2=LQG，高斯白噪声→均方根；H无穷：输入输出均方根有界&平方可积&幅值有界正弦；L1：输入输出时域幅度有界。 Technical Notes and Correspondence INtroduction to feedback control
    • 高精度鲁棒：高精度sensor、高精度模型、高复杂控制器。 建模最为重要：一是系统更加精确的模型，而是不确定性的范围，这个是高精度鲁棒控制的基础。如下图所示： 
      • PID与先进控制技术的现状与未来： 
    • 模型不确定性：  标量case为： 因此保持即可。
      • SVD其实就是任意一个矩阵分解为S*D*V，其中的S和V为酉矩阵（如果实数，则是正交矩阵，即该矩阵仅仅改变作用矩阵的方向，不改变大小），而其中的Ｄ为对角阵（如果是方阵分解则是纯对角阵，否则其余部分用０填充，每一个对角阵的特征值表示一个奇异值，二维时表示椭圆长短边，即表示一个流形的坐标轴及其大小！）
      • 然而，矩阵情况下，需要用到奇异值分解SVD。将系统矩阵进行SVD分解，为了验证系统的抗扰性能，需要系统对扰动的响应的最大值小于一定的值。而这个最大值，其实和SVD分解中的最大奇异值息息相关！即针对下面的系统：，必须保证整个范数小于一定的值： 。抗扰＝最大奇异值足够小！
      • 故障诊断问题：设计一个滤波器／检测器，用于检测输入信号ｕ是否存在以及大小如何，其实就是放大信号的灵敏度。即保证以下的最小奇异值足够大： 
      • 鲁棒性概念： 1、对于非奇异方阵M，最小扰动δ（一个标量）使得I-Mδ奇异： 2、对于任意n*m矩阵M，最小扰动（一个矩阵，实际应用中其实不是一个矩阵，而是一个传递函数，下面讲述该传递函数的寻找过程）使得I-M△奇异：  3、寻找△这个传递函数：针对如下所示的系统： 系统的稳定边界为：，即想要系统稳定，必须保证△的H无穷范数小于M的H无穷范数。即所有的鲁棒控制问题=小增益定理，表述为： 回路所有增益小于1，。 △=0肯定稳定，随着她的增加，系统肯定会不稳定，寻找其最小值=M的最大值！小增益即小于1的意思！ 4、互质分式不确定性： 利用分块的方法，采用小增益定理，得到系统稳定的条件： ，其中K为设计的控制器！这其实是一个闭环传递函数的H无穷范数的最小化问题！ 5、鲁棒控制困惑：H无穷定义：第一项为输出2范数比输入2范数的上界，第二项为系统SVD分解中最大的奇异值！ 系统的频率响应：正弦输入信号的稳态响应（不是瞬态响应！）； H无穷范数：所有正弦输入信号的稳态响应中的最大幅值，也就是对所有输入正弦信号进行遍历，求得系统对这些信号的最大放大倍数，从bode图来看就是幅频特性的峰值点横坐标！ 问题是：假如输入信号是阶跃信号呢？如何利用H无穷设计抗扰控制器？ 由于周期长的方波=有限时间内的阶跃，所以阶跃、方波的响应可以归为一类，而方波信号为周期信号，由无穷多个（实际上取前面若干个即可！）正弦信号的叠加！ 就多个正弦信号叠加近似方波信号的效果来看，前面几个是不够的，尤其在方波条变动的地方总会有比较大的波动！ 但是，如果从输出响应来看，前面几个频率（而且，系统对高频一般都有衰减作用，所以仅仅考虑低频信号的叠加即可）的叠加就足以近似输出的波形了。 周期足够长的锯齿波=有限时间内的斜坡信号，因此这两个可以归位一类。 一个锯齿波也=无穷多个正弦波叠加！（因为它是周期信号，这里的关键在于利用不同的时间尺度将非周期信号转为周期信号，然后进行傅里叶展开：系统调节时间<周期信号的周期即可）。 与上面结果类似，其输出也仅仅取决于前面几个低频信号！ 因此，只要系统H无穷范数足够小，则可以达到抵抗这类信号（正弦、阶跃、方波、斜坡、锯齿）扰动的效果。 其实，上述的周期信号可以用无穷多个离散频率的正弦信号进行逼近（傅里叶展开，求和），那么对于任意一个连续信号（非周期），就可以用无穷多个连续频率的正弦信号进行逼近（傅里叶积分）！ 6、H无穷范数？ 
      • 非结构VS结构： 非结构=通用的，一般的，比如说矩阵为任意矩阵！适用于小增益定理！ 结构化的=特殊的，比如说对角矩阵！适用于小u定理！
    • H无穷控制的标准范式:一般的、含有不确定性的系统化为标准范式！  其中W1低通（执行器饱和问题），W2高通（u对性能影响问题）。 这个是一般case
    • 哈里托诺夫定理：区间多项式的稳定性由四个多项式稳定来判定。 棱边定理： 本质上来说，是将区间多项式中的q分别做顶点，连接起来组成多面体，利用多面体的棱进行稳定性判定，将多面体内部数据的判定步骤省略，尽管如此，当顶点数目较多时仍然比较复杂。    非结构实稳定半径。 小u定理（更加一般性）：如何求结构奇异值，其精确值很难求解，但是上下界可以求得。  其中的line_δ表示最大奇异值（结构奇异值上界小于最大奇异值上界）！ 所有的鲁棒控制问题==u的上下界求解问题(分别用于鲁棒分析和综合)！ 
    • 积分二次约束 miu间隙测度： H无穷控制器降阶
      • 
        • H无穷扩展：
          • 无线维系统；非线性时变系统；随机系统； 离散和采样系统；多维系统；经济系统；
          • 自适应鲁棒控制、概率鲁棒控制、 分散鲁棒控制、网络化鲁棒控制
          • 线性矩阵不等式LMI
          • 鲁棒区域极点配置、鲁棒增益规划控制、 鲁棒H2控制、不确定时延系统、鲁棒滤波问题、模型验证
        • H无穷降阶
• 迟滞系统应用
  • 非线性迟滞系统：超磁致伸缩智能结构，系统的往返路径不一致，且与频率有关。
  • Hammerstein模型描述：将一个非线性系统分解为一个静态非线性函数+线性动态模型串联组成。从而在控制器设计中抵消模型的非线性，只需要针对线性系统进行设计即可！ 首要的步骤其实就是进行模型验证，利用实验数据对模型进行校验，校验方法就是针对迟滞特性进行。 确定OK的模型之后，既可以用来控制！
• 高精度跟踪&抗扰
  • 传统控制框架下的矛盾 
    • 标称性能VS鲁棒性能
    • 动态性能VS稳态精读
    • 跟踪性能VS抗扰性能
• 故障诊断&容错控制
• 基础复习：复变函数、泛函分析
• 建模跟踪抗扰容错