二次函数

这是一个关于二次函数的思维导图，二次函数的图像是一条抛物线。根据二次函数的系数，可以确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等性质。

二次函数

• 定义
  • 一般形式
    • y=ax^2+bx+c
      • a、b、c为常数
      • a不等于0
  • 图像
    • 抛物线
      • 开口向上或向下
      • 对称轴
        • x=b/(2a)
      • 顶点
        • 坐标为(b/(2a), Δ/(4a))
        • Δ=b^24ac
• 性质
  • 对称性
    • 关于对称轴对称
  • 增减性
    • 开口向上时
      • 对称轴左侧递减
      • 对称轴右侧递增
    • 开口向下时
      • 对称轴左侧递增
      • 对称轴右侧递减
  • 顶点性质
    • 函数最大值或最小值
• 标准形式
  • y=a(xh)^2+k
    • 顶点式
      • 顶点坐标为(h,k)
• 零点
  • 解二次方程
    • ax^2+bx+c=0
      • 判别式Δ=b^24ac
        • Δ>0，两个实数根
        • Δ=0，一个实数根
        • Δ<0，无实数根
• 应用
  • 物理运动
    • 抛物线运动
      • 描述物体在重力作用下的运动轨迹
  • 经济学
    • 成本收益分析
      • 利润最大化的产量计算
  • 工程学
    • 结构设计
      • 抛物线形状的桥梁和建筑物设计
• 图像变换
  • 平移
    • 左右平移
      • y=a(xh)^2+k
    • 上下平移
      • y=a(x)^2+k
  • 伸缩
    • 水平伸缩
      • y=a(xh)^2
    • 垂直伸缩
      • y=ka(xh)^2
  • 反射
    • 关于x轴或y轴的反射
      • y=a(xh)^2+k
      • y=a(xh)^2+k
• 求解方法
  • 配方法
    • 将一般形式转换为顶点式
  • 公式法
    • 使用求根公式x=(b±√Δ)/(2a)
  • 图解法
    • 通过图像确定零点位置
  • 因式分解
    • 将二次多项式分解为两个一次多项式的乘积