线性代数第二章

线性代数第二章有关向量空间思维导图，本脑图有助于帮助您熟悉知识要点，加强记忆。有需要的同学，可以收藏下哟。

线性代数第二章

• 矩阵运算
  • 矩阵加法
    • 定理1：r(A+B)=rA+rB;(r+s)A=rA+sA;r(sA)=(rs)A;
  • 矩阵乘法
    • 定理2：ABC大小相同
      • A(BC)=(AB)C
      • A(B+C)=AB+AC
      • （B+C)A=BC+BA
      • r(AB)=(rA)B=A(rB)
      • IA=A
      • 不满足乘法交换律
    • AB=A[b1 b2...bn]=[Ab1 Ab2 ...Abn]
    • 计算AB乘法的行列法则
    • 警告
      • 若AB=BA，则称AB彼此可交换（commute with each other）
      • 一般AB!=BA;若AB=AC,一般没有B=C
      • 若AB是0矩阵，一般不能断定A=0或B=0
  • 矩阵转置
    • 定理3:
      • a. (AT)T=A
      • b. (A+B)T=AT+BT
      • c.任意数r,(rA)T=rAT
      • d.(AB)T=(BT)(AT)
  • 逆矩阵
    • 概念：可逆矩阵（nonsigular matrix）(invertible matrix)不可逆矩阵（not invertible matrix）(singular matrix)
    • 定理4：二阶矩阵的逆矩阵计算（看！）
    • 定理5：若A为可逆n*n矩阵，则对于每个b∈Rn,Ax=b有唯一解x=（A-1）b
    • 定理6
      • （A-1)-1=A
      • (AB)-1=(B-1)(A-1)
        • （ABC)-1=(C-1)(B-1)(A-1)（即逆矩阵顺序倒过来）
          • 类似矩阵的转置
      • （AT)-1=(A-1)T
        • A转置的逆矩阵等于A的逆矩阵的转置
    • 定理9：T:Rn-Rm是线性变换，A为T的单位矩阵。那么T是可逆的当且仅当A时可逆的。这种情况下，S(x)=(A-1)x是唯一的函数满足(x∈Rn)：①S(T(x)) = x ②T(S(x))=x
  • 初等矩阵
    • 把单位矩阵进行一次初等变换得到初等矩阵
      • 将A进行某个行操作等同于由单位矩阵进行该行操作后乘A
      • 定理7：n×n矩阵A可逆，当且仅当A行等价于In.此时将A化简为In的一系列初等行变换同时把In变成A的逆（A-1）
  • 分块矩阵
    • 加法
      • 若AB大小相同且分块形式相同，则A+B=AB的分块相加
    • 乘法
      • 定理10：（AB的行列展开）条件：A的列分法和B的行分法一致，AB=[col1(A) col2(A)... coln（A)][row1(B) row2(B) ... rown(B)]=[col1(A)row1(B)...coln(A)rown(B)
        • 例：三行两行与三列两列
        • 即AB的分块是与分块乘法相一致的（comformable for block multicipation）
    • 分块对角矩阵是一个分块矩阵，除了主对角线上各分块外，其余全是零分快，这样的矩阵可逆当且仅当主对角线上的各分块可逆
  • LU分解
    • 设A是m*n矩阵，若可化简为阶梯型而不必行对换，则A可以写成LU.L是m*m下三角矩阵，主对角线元素全是1，U是A的m*n阶梯型矩阵，L是可逆的，成为单位下三角矩阵（必考）
  • 对角矩阵
    • 除了主对角线上的元素，其余均为0，对角线上的元素任意
• 向量空间
  • 子空间
    • 定义：Rn中的一个子空间是Rn中的集合H，满足①0向量∈H②任意u,v∈H，u+v∈H；③任意u∈H，c为标量，cu∈H
    • 仅含零向量的集合满足上述性质，也为（线性）子空间，成为零子空间（Nul subspace)
  • 列空间
    • 定义：矩阵A的列空间是A的各列的线性集合，记作ColA
    • 定理13：矩阵A的主元列是A的列空间的一组基
      • A的主元列线性无关
  • 零空间（null space）
    • 定义：矩阵A的零空间是齐次方程Ax=0的所有解的集合，记作nul A
    • 定理12：m×n矩阵A的零空间是Rn的一个子空间。等价地，n个未知数的m个其次线性方程的方程组Ax=0的所有解的集合是Rn的子空间
  • 基
    • Rn中子空间H的一组基是H的一个线性无关集，它生成H
      • 类似基底，是张成H所需的最小数量的向量的集合
      • 定理15：设H是Rn的p维子空间，H中的任何恰好由p个向量构成的线性无关集是H的一组基，并且，H中任何生成H的p个向量集也构成H的一组基
  • 坐标向量
  • 维数dim
    • 定义：非零子空间H的维数（dimH)是H任意一个基的向量个数。零子空间{0}的维数定义为0
  • 秩rank
    • 定义：矩阵A的列（rank A）是列空间的维度，即列空间基向量的个数，即A主元列的数量
      • 定理14：若矩阵A有n列，那么rank A+dim Nul A =n
• 定理8