《心中有数：生活中的数学思维》

这是一篇关于《心中有数：生活中的数学思维》的思维导图，该书通过生活中的案例与数学公式相结合，致力于教会读者如何用严谨的理工科思维来看待当前世界中的各种现象。书中内容主要分为思维篇、方法篇和学习篇三大部分。

《心中有数：生活中的数学思维》

• 学习篇：如何学习表达
  • 怎样读书才能进步更快
    • 主动预测，从差距中学习
      • 机器学习中的监督学习
      • 阅读学术论文
      • 快速看书
  • 好的学习方法论
    • 单任务学习
    • 多任务学习：基于任务之间的相关性，进行多任务学习
    • 迁移学习：注重可以迁移到别的领域的基础能力
    • 元学习：更注重未来，任务多、训练数据少
  • 如何清晰地表达一件事
    • 由主到次的增量表达
      • 图像传输的两种模式
      • 矩阵的奇异值分解可实现从主到次的增量表达
      • 实例：描述数字、英语语言等
• 方法篇：解决难题的策略和技巧
  • 稳定与跃迁：负反馈与正反馈
    • 负反馈
      • 比如减肥锻炼
      • 以现实和目标的差距为驱动力
      • 目标是稳定
      • PID控制：比例控制当下、积分控制总结历史、微分控制判断未来
    • 正反馈
      • 比如“啸叫“，微软和苹果的成功
      • 作用：自我增强，“滚雪球”效应，实现跃迁
      • 好坏正反馈的一线之隔：做事情时，首先要敏锐地找到某些好的正反馈，然后坚持忍耐，一旦飞轮转起来，好的结果自然水到渠成
  • 好的设计：找准底层
    • 以设计电饭锅、取高铁票忘记拿身份证等为例
    • 设计的两个阶段：设计合适的底层；以底层为基础进行适当优化
    • 上层优化的作用是有限的，关键在于底层设计
  • 模仿：抓住本质，摆脱限制
    • 创新的有效途径之一：抓住本质，摆脱限制
      • 以菲涅尔透镜为例
    • 通常的过程：先自上而下，再自下而上
      • 以飞机、蒸汽帆船和人工智能发展方向为例
  • 基础概率决定守成还是冒险
    • 大数定律：只要一件事发生的次数足够多，出现某个结果的频率就等于其概率
      • 赌场和抓娃娃机，玩家永远输给庄家
    • 启示
      • 努力提升你的基础概率
      • 如果基础概率较大，那么重复次数就是最好的朋友
      • 如果基础概率低，那么提高基础概率或者跳到概率对你有利的局里
  • 执两用中：最小二乘估计给出的解释
    • 无解的方程组
      • 在实际工程中，方程组无解的普遍程度和重要程度远远超过方程组有解的情况
      • 原因：每测量一次就会产生一个方程，为了消除噪声的影响，测量的次数要远远多余包含的未知数的个数
      • 解决之道
        • 删掉一些方程
          • 为追求完美，而直接忽视一些观点，也即不妥协，不中庸
        • 最小二乘法：让所有方程的平均误差最小的解
  • 精益求精与步步为营
    • 解决问题的两种思路
      • 比如函数求极值：求导法获取完美的解析解；数值法；产品开发模型：瀑布模型和敏捷模型
      • 步步为营：将解决方法分成完美的步骤，一个做完再做一个
      • 精益求精：迅速走完一个完整的流程，然后反复迭代，不断提高
      • done is better than perfect，也即成长型思维
  • 变换的思维
    • 如果不容易直接对事物进行操作，可把它变成能够容易操作的形态，然后变回原来的形态
      • 如高压输电线、信号调制
  • 模拟退火算法
    • 以函数求最大值为例
      • 解析解
        • 最完美，但往往不可得
      • 数值解：梯度法
        • 核心：找准方向，精益求精
        • 问题：有时难以确定梯度或者函数处于黑箱中；也可能陷入局部最高点
      • 数值解：爬山法
        • 优点：无需梯度
        • 缺点：付出代价，可能需要尝试很多次，降低搜索效率；函数比较复杂时，容易陷入局部最高点
      • 解决陷入局部最高点的办法：用随机的方式接受暂时的不完美
      • 模拟退火算法：退火的过程代表随机性从高到低衰减的过程；逐步降低对不完美概率的接受程度
    • 启发：人生就是寻求最优解的过程
    • 年轻时要多闯一闯，接受较高概率的不完美，尽量不要陷入局部最高点；随着年龄阅历的增长，找到自己的方向后进行深耕
• 思维篇：用理性思维看待世界
  • 平静接受现实，努力改变概率
    • 三种世界观
      • 事在人为
      • 宿命论
      • 谋事在人，成事在天
        • 通过努力，可以提高成功的概率；既然以概率为衡量标准，即便做得再好，也不能保证成功
  • 不要高估“解释”而低估“预测”
    • 解释很容易，但价值不大；预测很难，但价值很大
    • 好模型的评价标准是预测能力
      • 以多项式拟合为例，拟合所有已知数据会拟合噪声，让模型无法抓住底层真实的数据趋势
    • 好理论关键在于其预测未来的能力
      • 观察
      • 提出理论假设
      • 用这个理论假设做一个预测
      • 用实验验证预测是否成功
      • 分析你得到的结果
  • 多样性红利
    • 人都有认知盲点，站在不同角度的人一起讨论达成的共识，往往更接近真相
    • 方程组的本质
      • 一个方程，就是从一个角度观察得到的结论；从多个角度观察就得到多个方程组，解方程组就是从多个角度观察，寻找内在本质
    • 病态方程组
      • 对噪声极为敏感，略微改变自变量就会造成结果天壤之别
      • 敏感的原因在于各个方程所代表直线的斜率太过接近
    • 站在较大差别角度观察得到的结论才有意义
  • 生活中的“卷积”
    • 系统对于一个冲击序列的响应，其实是对每个单独冲击的响应的叠加
    • 频繁的“小确幸”能比偶尔的大幸福带来更大的响应
      • 生活在于当下每一刻，而不在于未来某一天的成功
    • 卷积理论帮助我们做决策：背诵单词高频重复；买靠市中心的小房子而非郊区的大房子等
  • 深层剖析利与弊
    • CPU、TPU、GPU的优缺点：有一利，必有一弊；有一弊，必有一利
    • 《逍遥游》中“五石之瓠”的故事：任何事物必有利弊，要找到可以发挥长处的位置，也即物尽其用，人尽其才
    • NP-hard问题（旅行销售员问题为例）：用弊（性能下降或距离长）换取利（速度快）
    • 主动用可控的弊，换取更大的利
  • 世界是稀疏的：复杂现象背后的简单规律
    • 稀疏性的数学解释：如果一个时间信号是稀疏的，那么这个信号大部分位置的值都是零
    • 生活中的示例
      • 自提柜密码是稀疏的：稀疏是安全性的关键
      • 傅里叶变换（正弦波叠加）之后的很多事物都具有稀疏性：比如图像压缩领域
      • 涌现：个体间的简单规则导致整体出现“高级”活动的现象，比如蚁群：背后的简单规则也是稀疏的
  • 看似相关，实则独立：条件独立带来的启发
    • 条件独立的核心思想：如果事件A和事件B关于事件C条件独立，那么知道事件C发生的前提下，知道事件A或事件B中的一个是否发生，并不能帮助我们更好地推断出另一个事件发生的概率
    • 两个事件看似相关，实则关于另一个事件条件独立的话，人们很容易把“相关性”当成”因果性“
    • 举例：买香草冰激凌与汽车发动不起来；穿夹克与车祸发生率；春风吹又生的逻辑问题；情绪ABC理论
  • 卡尔曼滤波器
    • 滤波器原理：将状态方程与观测数据结合起来，会得出对最终状态的更好估计。
    • 实际应用：嘈杂菜场中的对话；空气净化器的显示数据；车辆定位结果等