线性代数第三章行列式(determinant)

行列式有关知识点，本脑图有助于帮助您熟悉知识要点，加强记忆。通过学习和掌握行列式的相关知识点，可以更好地理解和应用线性代数、矩阵论等领域的知识。

线性代数第三章行列式(determinant)

• 概念
  • 定义（递归的recursive）
    • 余因子展开式（cofactor）
    • 第一行的余因子展开式：cofactor expansion across the first row of A
    • n*n矩阵的行列式是由（n-1)(n-1)子矩阵的行列式决定的
  • 定理1：n*n矩阵的行列式可按任意行或列的余因子展开式来计算
  • 定理2：若A为三角矩阵（triangular matrix），则det A=A的主对角线上的元素的乘积
• 性质
  • 定理3（行变换）：若A是一个方阵
    • a.若A的某一行/列的倍数加到另一行/列得到B，则det B=det A;
    • B.若A的两行/列互换得到矩阵B，则det A = -det B;
    • c.若A的某一行/列乘以k倍得到矩阵B，则det B = k detA;
      • det(kA) = （k的n次方）×detA(每一行都乘以k)
    • 特殊结论：E是基本矩阵，则det(EA)=det(E)det(A);
  • 方阵A通过行倍加与r次行交换得到阶梯型U
    • 若A可逆，则U每列均有主元，为方阵，主元位于对角线上
      • det A =（ (-1)的r次方）×（U的主元乘积）
    • 若A不可逆，U并非每列均有主元，对角线上有0元素
      • det A = 0
  • 定理4：方阵A是可逆的，当且仅当det A != 0
    • A的列线性相关，则A不可逆，det A = 0
    • A的行线性相关，则(A)T不可逆, det A= det (A)T = 0
    • A的某两行/某两列相同，或有一行/列全为0，则det A = 0
  • 定理5：若A为方阵，则det(A)T=det A
  • 定理6：若A、B均为n*n矩阵，则det(AB)=det(A)det(B)
    • det(AB)=det(A)det(B)=det(BA)
    • 证明：分为AB可逆与否讨论。不可逆，则为0；可逆，则用多个初等矩阵乘标准矩阵来表示AB
  • 涉及行列式的证明常用递归法
• (Ai)(b)表示A的第i列向量由向量b替换后的矩阵
  • 定理7（克拉默法则）：设A为一个n*n的可逆矩阵，对任意b∈R，方程Ax=b的唯一解xi=det(Ai)(b)/detA;
• 伴随矩阵：第i行第j列元素为Cij
  • 定理8（逆矩阵公式）：设A是一个逆矩阵，则A-1=adj.A/detA
    • 更用于求逆矩阵的性质而非计算出逆矩阵
• 定理9：若A为2×2矩阵，则由A的列确定的平行四边形(parallelogram)的面积(area)为|detA|;若A为3×3矩阵，则由A的列确定的平行六面体(parallelepiped)的体积为|detA|
  • 定理10：设T:R2-R2是由一个2×2矩阵A确定的线性变换，若S是R2中一个平行线变形，则{T(S)的面积}=|detA|×{S的面积}