考研高等数学-Part1-共4部分

考研数学，根据《陈文灯考研数学复习指南》制作，高等数学部分几乎全覆盖，本人凭此斩获考研数学高分，全国大学生数学竞赛一等奖。适合考研，也适合本科学习，或者高数竞赛。此部分内容包含：1、函数、极限与连续2、导数与微分3、不定积分。

高数

• 函数、极限与连续
  • 概念定理
    • 函数基本性质
      • 奇偶性
        • 对称区间
        • 奇函数代数和为奇，偶为偶
        • 偶数个奇函数（或偶）之积为偶，奇数个奇函数之积为奇
        • 一奇一偶为奇
        • 奇偶函数积分性质
      • 周期性
        • 最小正数T
        • 两个周期函数和差，周期为其周期最小公倍数
        • 周期函数积分性质
          • 每一个周期内积分相等
      • 有界性
        • 相对某个区间而言
        • 将函数取绝对值，用不等式放缩法
        • 借助导数利用求最值法处理
      • 单调性
        • 未告知可导，用定义判别:
        • 区间可导（可导前先连续），用导数判别
    • 分段函数
      • 一般而言不是初等函数
    • 反函数
      • 一个y对应唯一的一个x
      • 反函数图形与原图形关于y=x对称或重合（取决于哪种形式反函数）
      • 主要反函数：三角函数
      • 求反函数时，复杂部分，注意可以视为一个整体进行换元
      • 反函数导数互为倒数
      • 反函数重要性质
      • 反函数导数
    • 复合函数
      • 分段函数复合，直接代入，分析内部函数的值域在外部函数的定义域的范围
      • 画出内部函数图像，找出外部函数分界点，确定内部x变化区间
        • 图示法
      • 换元法（函数表示法与字母无关）
    • 初等函数
      • 只能用一个式子表示
      • 常用恒等式
    • 极限
      • 充分条件：左右极限存在并且相等
      • 性质
        • 唯一性，来回振荡或趋于无穷均不是极限
        • 局部有界性：极限存在只能推出局部有界
        • 局部保号性
      • 无穷小：以0为极限
        • 无穷小比阶
          • • • • 高阶
              • • 低阶
              • • 同阶
              • • 等价
            • • • k阶
          • 涉及比较的无穷小量个数≥3
            • 先写出各无穷小的等价无穷小，再比较
            • 先求出各无穷小的导数，然后写出对应的等价无穷小，再比较
              • 一般是存在变限积分的情况
        • 有限个无穷小之和或积仍为无穷小
        • 有界变量乘以无穷小仍为无穷小
        • 函数表达式中含有根式，分子分母同乘其共轭根式
      • 无穷大：极限不存在的一种形式（无穷大必无界，无界不一定是无穷大量）
      • 单调有界数列必有极限
      • 夹逼定理
        • 放缩法
          • n→∞时的积分极限
            • 将不含n的那部分代数式进行放缩，放缩范围由积分上下限确定
      • 极限运算法则
        • 将函数表达式拆成两个部分，必须同时存在极限，才能拆开算
      • 洛必达法则
        • 分子分母同时趋近于0或无穷，邻域可导，洛必达后极限存在（或∞）
        • 洛必达后若极限不存在，不能推出原极限不存在
        • 每用完一次洛必达，要整理简化，常搭配等价无穷小
          • 尤其提防纸老虎！！！
        • x→∞时，极限式中含有sinx、cosx等，不能使用
        • x→0时，极限式中含有sin(1/x)、cos(1/x)等，不能使用
        • 无极限
          • 含振荡函数必找无穷小，采用有界✖无穷小
        • 对数与反三角函数一般不作为分母下放
        • 求导时，若变量多在分母，可用倒代换使其变成分子，更利于求导
          • 变量区域无穷时，也多用倒代换
      • 重要等价公式
        • 两个重要极限
      • 高次多项式
        • x→∞时，抓大头，选次数高的
        • x→0时，挑次数小的
      • 各类函数比较
        • x→+∞时，函数趋于+∞的速度
        • n→∞时，数列趋于+∞的速度
        • 如果不便判断，可以考虑利用级数敛散性
        • 对、幂、指、阶、复（幂指函数）
      • 常用极限
      • 左右极限
        • 左极限
        • 右极限
    • 函数连续性
      • 证明连续：x增量趋于0时，y增量趋于0
      • 判断连续：邻域有定义，极限存在且等于函数值
      • 闭区间连续：开区间内连续，左端点右连续，右端点左连续
        • 单侧连续即单侧极限值等于函数值
      • 用导数定义法证明导数存在，推出函数连续
        • 可导必连续，连续未必可导（一元函数）
    • 间断点
      • 出现情形
        • 无定义点
        • 极限不存在的点
        • 极限值不等于函数值
        • 函数不连续点
          • 不连续函数复合后未必不连续
      • 第一类间断点
        • 左右极限存在
        • 相等，但不等于函数值或无定义
          • 可去间断点
        • 不等
          • 跳跃间断点
      • 第二类间断点
        • 左右极限至少一个不存在
        • 至少一个为无穷
          • 无穷间断点
        • 极限振荡
          • 振荡间断点
      • 注意
        • 找点找全，分段函数分段点不能遗漏
        • 三角函数做分母时，注意将靠近0的无定义点单独计算
  • 题型解法
    • 包含0、∞、1的未定式极限
      • • 因式分解或根式有理化
        • 等价无穷小
        • 洛必达法则
          • 符合洛必达条件，但不好用，考虑先简化或变量替换
        • 变量替换
          • 等
        • 指数、反正/余切等无穷要考虑正负
        • 抓大头
          • 针对无穷大时略去低次项
          • 针对无穷小时略去高阶无穷小
            • 尤其在某一因式为多项相加减时
        • 0/0型，当洛必达求解复杂或不可用时，若分式中存在作差的形式，考虑泰勒公式
          • 展开到相加减后x系数不为0为止
      • ∞-∞，若不能通分或根式有理化，选择变量替换（一般倒代换）
      • 0·∞型
        • “下放”处理，对数、反三角一般不“下放”
      • 指数型
        • 取对数，用对数恒等式
        • 优先考虑特殊极限公式
      • 最终转化为洛必达类型
    • 类未定式
      • 未能确切肯定某种运算结果的极限
      • 各部分极限都不存在或部分存在，其结果不确定
      • 三角函数可以用和差化积转化为有界乘以无穷小
      • 同名函数可以用拉格朗日中值定理转化形式，辅以夹逼
    • 数列极限
      • 转化为函数（子序列极限与函数极限相等）
      • 单调有界必有极限
        • 通项分析或数学归纳法验证数列单调有界
          • 注意正数列可以默认有下界0
          • 可采用作差法+数学归纳法
          • 有时可结合图形分析递归，知识源于数值计算方法
          • 导数法也可，先转化为函数表达式
          • 不等式法——主要是基本不等式
          • 结合题设条件也许能证明
            • 假设单调不减(增)，利用题设条件判断是否矛盾，若矛盾，则严格递减(增)
        • 设极限存在并记为Xn=A(n→∞)，代入表达式
        • 也可先假设极限存在并求出，再证明存在性，即|Xn-A|<ε(n→∞)
          • 先斩后奏
      • n项求和，n→∞
        • 特殊级数求和法
        • 幂级数求和法
        • 定积分定义求极限
          • • 特别注意，分子是b-a，即积分界限不是0到1时不能把分子丢掉！！！
          • • 特殊情况
            • 每一项可以提出一个1/n，剩下的可表示为一个通式f(k/n)或f((k-1)/n)
          • ∑里面一定是n项，多的（超过积分界限的）拎出来，少的要补，最后再减掉
        • 夹逼定理
          • n个数列按递增或递减排列
        • 通项拆开，各项加减相消
      • n项乘积，n→∞
        • 分子、分母同乘以一个因子，连锁反应
        • 通项拆开，各项相乘相消
        • 对数恒等式简化为n项和形式
        • 夹逼定理
      • 施笃兹定理
      • 数列求最/极值，注意数列的n是正整数，采用函数法所得的点不能直接代入
      • 若极限不易计算，但估计极限为0
        • 可将极限视为无穷级数，证明其收敛，则通项必趋于0
    • 极限中常数确定
      • 直接求极限或解方程（组）
      • 极限等于常数，分母极限为0，则分子极限也为0
      • 极限等于常数（不为0），分子极限为0或∞，则分母极限也为0或∞
      • 无穷小比阶原理
      • 方程组解的形式
        • 齐次方程组
          • 系数行列式不等于0
            • 方程组只有零解
          • 系数行列式等于0
            • 方程组有非零解
        • 非齐次方程组
          • 系数行列式不等于0
            • 方程组存在唯一解
    • 函数连续或间断点判定
      • 间断点为
      • 判断分段函数在一点是否连续，若是选择题，可以直接画出图形
    • 由已知极限求极限
      • 切忌洛必达，用“逐步分析法”、极限与无穷小的关系定理、等价无穷小替换
      • 向已知极限靠近，注意一个点导数也是极限（定义法）
    • 补充
      • 积分先等价
      • 周期求极限
• 导数与微分
  • 概念定理
    • 若函数在开区间内可导，端点分别存在右导数与左导数，则闭区间可导
    • Δy=AΔx+α，其中A与Δx无关，α是Δx→0时比Δx高阶的无穷小，则可微
    • 函数在某一点可导，则在该点连续，反之不真
    • 可导与可微等价（仅限一元函数）
    • 弧微分与曲率
      • 弧微分公式
        • 微分形式+三角勾股定理
        • • 提示：极坐标先改成极坐标下参数方程形式，再用勾股定理
      • 曲率
        • • 参方记忆
            • 反正都要加绝对值，且在参方里x、y可以认为地位对等
            • 分子：谁减谁无所谓；分母：总有个3/2次方，因此里面有个2
      • 曲率半径ρ
        • 曲率不为0处，为曲率倒数，即ρ=1/k
      • 曲率圆
        • 曲率中心
          • 记忆，分别有x、y；减号少一笔，就多一个y'；另一部分为曲径丢绝对值、次方
    • 高阶导数
      • 二阶导=一阶导函数增量/自变量增量（取极限），以此类推高阶
      • 求出前几阶导数，找规律，归纳高阶导
      • 求出前两三阶导数，由其组合形成新的导数之间的关系式
        • 再用莱布尼茨公式求高阶导数
      • 泰勒公式法
        • • 将f(x)的表达式（具体函数）展开成幂级数的形式，对比相同指数的系数即可
      • 莱布尼茨公式
    • 导数零点定理（达布定理）
      • 同零点定理，但不要求导函数的连续性
      • 同时，若导数值不等于某一个确定常数，则导数值一边倒
  • 题型解法
    • 复合函数
      • 连锁法则，由外到内依次求导
      • 注意导数形式，f´[f(x)]与{f[f(x)]}´
      • 幂指类型记得用对数恒等变形
    • 参数方程
      • 相当于多一个中间变量
    • 隐函数
      • 方程两边对x求导，记住y是x的函数，y的函数是x的复合函数，连锁求导
      • 公式法F(x，y，z)=0，求偏导；注意求偏导时，xyz均视为独立变量(即使有函数关系)
      • 利用微分形式不变性，方程两边求全微分，解出所求导数
    • 幂指函数
      • 对数恒等式将两个x转变成不同函数的乘积形式
    • 表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式
      • 对数微分法
        • 取自然对数，再对x求导
      • 取对数后绝对值号可用直接写成括号，且不需说明正负
        • 所得结果是正确的
    • 分段函数
      • 分界点处的导数一定要用导数的定义求(包含左右导数)
        • 若分段点两端函数表达式一致，可不分左右
    • 高阶导数
      • 直接法(求出前几阶，分析规律)
      • 间接法
        • 利用已知高阶导数公式，通过四则运算、变量代换、泰勒级数等
          • 通常需要先对函数进行一次求导，再进行分析
        • 分式有理函数
          • 有理假分式通过多项式除法化为整式与有理真分式之和
          • 将有理真分式写成部分分式之和
            • 将x与常数分离（系数化1），分式写为取负一次方
          • 效仿(x^m)^(n)的表达式写出高阶导数
          • 例子
        • 三角函数和、差、积所构成函数
          • 利用积化和差与倍角公式降次，再用已知公式
        • 利用函数的泰勒级数展开，求某一点高阶导数
          • • 泰勒公式
          • 通常需要先对函数进行一次求导，方能写成已知幂级数的形式，再积分一次还原
        • 递推公式
          • 同样写出前n个导数形式，分析规律，代入定点
          • 求导后也许需要稍作整理变形
        • 莱布尼茨公式
          • • n必须大于m，故前m项导数要单独算
    • 出现左、右导数
      • 直接按定义写出该点导数，结合极限保号性处理
    • 判断一点导数存在的充要条件
      • 注意排除单边导数
      • 分子上一般要出现该点函数值，特殊情况该部分为0
• 不定积分
  • 概念定理
    • 函数若有原函数，则有无穷多个原函数，记得加常数C
      • 不定积分重中之重！
    • 不定积分是一个集合，原函数是该集合中的一个元素
    • 连续函数的原函数也连续
    • 基本积分法
      • 第一换元积分法（凑微分法）
        • u´(x)dx=d[u(x)]
        • 要么换元，要么视为整体
          • 积分中括号部分带有指数，则把括号整体换元
        • 复杂积分式
          • 对复杂部分提出来求导，其导数可能是另一部分的常数倍
        • 分子分母同乘（或除）一个因子，再效仿复杂积分式凑微分
      • 第二换元积分法
        • 三角函数代换
          • x=asint,x=atant,x=asect
            • 换元都是六边形中左侧的！
          • 变根式积分为三角有理式积分（不是根式也可也用）
          • 记住三角形示意图可为变量还原提供方便
            • 画一个直角三角形草图即可
        • 倒代换
          • x=1/t，其中x也可是x相关因子，如x-1=1/t
            • 有时倒代换也不能使其简便，采用整体代换，设法转化为欧拉积分，如x^m=t
          • 适用于被积函数中分母、分子最高次数之差大于1（分母更大）的情况
        • 指数代换
          • 适用于被积函数f(x)由a^x所构成的代数式
        • 根式代换，直接将根式整体换元
      • 分部积分法
        • 选取u，反、对、幂、指、三/三、指
          • 选的是留下来的那一个
        • 积分容易选为dv，求导容易选为u，不可兼得优先dv
        • 分部积分法推广公式
          • 适用于反复分部积分或幂函数次数较高的情况
          • 又称表格法，公式notability也有
          • 设u=u(x)，v=v(x)有n+1阶连续导数
            • 计算规则
            • 每一项的符号决定于u的导数阶数，偶正奇负，0阶导（原u）符号为正
          • 当lnx,arcsinx,arccosx,arctanx次数高于1时（等于1不建议此法），最好变量替换为指数、三角函数，再表格法，最后还原变量
            • lnx=u，则x=e^u
            • arcsinx=u，则x=sinu
          • 特别注意不定积分加常数C！！！
        • 递推公式
          • 不定积分中递推公式的推导，一般分部积分法
          • 可记住部分递推公式结论
          • 分部积分时，若次数越来越高，其他形式不变，要想到推导递推公式
      • 部分分式展开法
        • F(x)=B(x)/A(x)是x的实系数有理真分式（分母次数高于分子）
        • 求出A(x)=0的根，可实、复、单、重根
        • 互不相等实根
          • 拆分成F(x)=Σki/(x-xi)
          • ki=(x-xi)F(x)|_(x=xi)求极限x→xi
        • r重根
          • 单根部分照旧
          • 重根部分
            • （通常所求不会超过3个）
              • 别忘了阶乘
        • 共轭复根
          • 不解出复数根，比如(1+x²)保留此形式
          • 其余部分求解，此部分采用待定系数法较合适
        • 若不是有理真分式，先通过多项式除法提出整式部分（整式部分可能为常数）
        • ∫1/xdx类型
          • 不定积分，未给初始条件情况下，是否加绝对值皆可
          • 给定初始条件或者是定积分必须加绝对值
            • 一般初始条件中提及的x≥0，也可不加绝对值
    • 常用积分公式
      • 基础
      • 进阶
  • 题型解法
    • 有理函数
      • 凑微分、变量替换
      • 分母可变形为两个平方项之和的形式，从而用相关积分公式
      • 分子分母同乘一个因子或拆解部分因子凑微分
      • 直接将x的高次项令为新变量（不一定是最高次）
        • x^n=t
    • 无理函数
      • 变量替换去根号
      • ∫R(x,[(ax+b)/(cx+d)]^(1/n1),…,[(ax+b)/(cx+d)]^(1/nk))dx
        • t^N=(ax+b)/(cx+d)，N为n1,n2,…,nk的最小公倍数
      • ∫R(sqrt(a-x),sqrt(b-x))dx
        • sqrt(a-x)=sqrt(b-a)•tant
      • ∫R(sqrt(x-a),sqrt(b-x))dx
        • sqrt(x-a)=sqrt(b-a)•sint
      • ∫R(sqrt(x-a),sqrt(x-b))dx
        • sqrt(x-a)=sqrt(b-a)•sect
      • x：先割后切，均沾罪孽
        • b总是大于a，右边常数总是sqrt(b-a)
        • 左边总是包含a的那一部分
        • x在前，正割；x在后，正切；小前大后（x），正弦（sin—罪孽）
      • 解题时应注意先将无理函数的分子或分母有理化
    • 三角有理式
      • 分母简化
        • 将分母看成一个整体
        • 分子分母同乘某个因子（共轭式等），分母化作(sinx(或cos))^k的单项式
          • 定积分中一般不允许此做法
            • 因为该因式可能在某一点为零
        • 想办法提取公因式
      • 降幂法
        • 倍角公式
        • 积化和差
          • α±β=2[(α+β)/2][(α-β)/2]
          • 帅+帅=帅哥，帅-帅=哥帅
          • 哥+哥=哥哥，哥-哥=负嫂嫂
          • 优先记忆和差化积，反过来推积化和差
          • 右边两个中括号分别相加、减可得α、β
      • 尤其注意“1”的妙用
        • 分母为正余弦组合相乘或次数高于1时，若分子含有1；可使分母简化或降次
    • 抽象函数
      • 换元法、分部积分法
    • 分段函数
      • 连续函数必有原函数，且原函数连续
      • 分段函数分界点是函数第一类间断点，则包含该点在内的区间不存在原函数
      • 分别求出各区间段的不定积分表达式
      • 由原函数的连续性确定出各积分常数的关系
        • 最后只保留一个常数
    • 对数、反三角函数
      • 三步法：凑微分、分部积分、变量替换
      • 对数、反三角函数的导数是另一部分常数倍，则凑微分
      • 不是常数倍，另一部分不通过变量替换可得出积分，则分部积分
      • 另一部分需变量替换才可积分，则变量替换法，设对数或含三角函数为t
    • 分母含有指数
      • 分子分母同时乘以（其中一个）指数的倒数，使得该部分指数化为1，再用观察法
      • 分子分母同乘以指数，使得分子便于凑微分，但感觉不如上一个方法快捷
      • 高频