考研高等数学-Part3-共4部分

考研数学，根据《陈文灯考研数学复习指南》制作，高等数学部分几乎全覆盖，本人凭此斩获考研数学高分，全国大学生数学竞赛一等奖。适合考研，也适合本科学习，或者高数竞赛。此部分内容包含：7、一元微积分的应用8、无穷级数9、矢量代数与空间解析几何。

高数

• 一元微积分的应用
  • 概念定理
    • 函数单调增减性定理
      • 一阶导正负对应增减
        • 有限个x使得导数为零，不影响单调性
      • 可导、端点函数值为0
        • 拉格朗日中值定理
    • 函数极值与最值
      • 点x0为极值点，f(x0)为极值（邻域内的最值）
      • 函数驻点
        • 一阶导为0的点
      • 极值必要条件
        • x0处可导且取极值，则该点导数为0
      • 极值第一充分条件
        • f(x)在x0邻域可微，该点导数为0（或该点连续，但导数不存在）
          • 导数经过该点时是否变号
      • 极值第二充分条件
        • f(x)在x0处f"(x0)≠0，f´(x0)=0
          • f"(x0)>0，极小值；f"(x0)<0，极大值
      • 注意：极值点不一定存在导数
      • 极值可疑点：一阶导为0（驻点）或不存在点
        • 验证条件
      • 最值可疑点：驻点、一阶导不存在点、端点、边界（转化为条件极值）
        • 比较大小
          • 注：实际问题若仅仅一个极值点（有时默认驻点），则为所求，无需验证
    • 图形凹凸性与拐点
      • 凹凸性
        • 中点函数值与端点函数平均值比较
          • 图像法
        • 对于凹函数
          • • 有时还可以结合单调性
              • 凸函数同理
          • 凹凸区间积分与对应直角梯形面积的关系
      • 拐点
        • 定理1：凹凸分界点，即f"(x0)两侧变号，f"(x0)=0，则(x0,f(x0))为拐点
        • 定理2：函数在x0某邻域内有三阶导数，且f"(x0)=0，f"´(x0)≠0
          • 类似极值点第二充分条件
    • 极值点与拐点
      • f(x)在一点处的前n-1阶导数全为0，第n阶导数不为0
        • n为奇数
          • 该点非极值点，为拐点
        • n为偶数
          • 该点非拐点，是极值点；极大极小判别同二阶导
            • n阶导数小于0，极大值点
            • n阶导数大于0，极小值点
    • 渐近线
      • 水平
        • x趋于无穷为常数（分正负无穷）
      • 铅直
        • 某点单侧极限为无穷
        • 连续函数无铅直渐近线
      • 斜渐近线
        • ax+b
          • （分正负无穷）
      • 同一侧水平和斜渐近线不可能同时存在
  • 题型解法
    • 方程根
      • 存在性证明
        • 闭区间连续，是否可导未知，零值定理
        • 积分求原函数F(x)，验证罗尔定理
      • 根的个数
        • 驻点和不可导点，划分单调区间
        • 计算各区间极值或最值
        • 分析极值或最值相对x轴的位置（数形结合法）
      • 根的唯一性
        • 零值定理或罗尔定理证明至少存在一个根
        • 单调性证明最多一个根
      • f´(η)+p(x)f(η)=0类型（f(η)可为复合/组合函数）
        • 积分法构造辅助函数
          • 积分因子法：e^[∫p(x)dx]，方程乘以因子，再积分构造原函数
            • 也是原函数法
          • 直接用微分方程求解f(x)与x的复合关系，将常数C移到另一端即为辅助函数
          • 互通
    • 函数作图
      • 定义域、奇偶性、周期性、坐标轴交点、驻点、不可导点、二阶导为0或不存在点、渐近线
        • 列表、画图
    • 平面图形面积
      • 注意参数方程形式
        • S=∫x´(t)y(t)dt
          • 上下限为t的变化范围，谁上谁下取决于积分后的正负，面积为正
          • 当参数为x时，则转化为直角坐标系下的面积公式
      • 直角坐标（常规积分（可能加绝对值后再积分））
      • 极坐标（扇形面积公式LR/2）（两种形式）
        • 一重积分
        • 二重积分
    • 立体体积
      • “底面积×高”思想，积分即可
        • 公式参见《陈文灯》P204
      • 已知平行截面面积的立体体积
      • 极坐标图形绕极轴旋转后体积
        • • 
      • 旋转体体积
    • 旋转体侧面积
      • “长×宽”思想，一边为ds=sqrt[x´²(t)+y´²(t)]dt
        • • R取决于绕哪个坐标轴
            • 绕x取y(t),绕y取x(t)
          • 参数方程积分限取决于t的范围
          • 直角坐标积分限取决于x的范围
      • 极坐标r=r(θ)，α≤θ≤β
    • 变力做功、引力、液体的静压力
      • 参考《陈文灯》P207
• 无穷级数
  • 概念定理
    • 无穷级数
      • 数列{Un}各项依次相加
        • 无穷级数（级数），n:1→∞
      • 前n项和Sn，当n→∞时其极限存在，则级数收敛
      • 收敛+收敛=收敛，收敛+发散=发散，发散+发散=不确定
      • 添加或去有限项不影响一个级数的敛散性
      • 级数收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和
      • 一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散
        • 无药可救
      • 一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定
        • 是否改善未知
      • 加上括号也许会让敛散性往好的方面发展，至少不会更坏
      • 级数收敛的必要条件：limUn=0（n→∞）（不是充分条件）
        • 判别级数发散；求或验证极限值为“0”的极限
    • 数项级数判敛法
      • 正项级数敛散性
        • 收敛的充要条件：它的部分和数列{Sn}有界（有上界）
        • 比较判别法
          • 大收→小收；小发→大发
          • 极限形式limUn/Vn=A(Vn≠0,n→∞)
            • 0≤A<∞
              • V收→U收
            • 0<A≤∞
              • V发→U发
          • 推论
            • 分母、分子关于n的最高次数分别为p和q
              • p-q>1时，U收（Un≥0）
              • p-q≤1时，U发
              • 类似P级数
            • limUn～Vn(n→∞)
              • U和V同敛散
          • 常用比较级数
            • 几何级数
              • • |r|<1
                  • a/(1-r)
                • |r|≥1
                  • 发散
            • P—级数
              • • p>1
                  • 收敛
                • p≤1
                  • 发散
            • 调和级数
              • • 发散
            • P—级数推广
              • • p>1
                  • 收敛
                • p≤1
                  • 发散
              • • p>0
                  • 收敛
        • 比值判别法
          • 适用于Un中含有n!或关于n的若干连乘积的形式
          • • ρ>1
              • 发散
            • p=1
              • 方法失效
            • p<1
              • 收敛
          • 达朗贝尔判别法
        • 根值判别法
          • 适用于Un中含有以n为指数幂的因子
          • • ρ>1
              • 发散
            • p=1
              • 方法失效
            • p<1
              • 收敛
          • 柯西判别法
        • 对数判别法
        • 注
          • 比较、根值判别法的条件是充分但非必要的
            • 收敛不能推出ρ<1
          • 涉及证明的命题一般不用比值法与根值法，而用比较判别法
      • 交错级数判敛法
        • 莱布尼茨判敛准则
          • • 判断递减
              • 比值法，考察U_(n+1)/U_n是否小于1
              • 差值法，检查U_n-U_(n+1)是否大于0
              • 导数法，由Un找出一个连续可导函数，判断导数是否小于0
            • 同时满足，则收敛，且其和S≤U1，其n项余和的绝对值|Rn|≤U_(n+1)
      • 任意项级数判敛法
        • 通项可正、可负、可0
        • • • 绝对收敛必收敛
        • 条件收敛级数的所有正项（或负项）所构成的级数一定发散
        • 组合
          • 绝±绝=绝
          • 绝±条=条
          • 条±条=收
            • 可能绝收，也可能条收
        • 三角级数
          • 采用积化和差，为了相消，采用积化差
          • 
    • 函数项级数
      • x0处级数收敛（或发散），则x0为级数收敛点（或发散点）
      • 级数所有收敛点（发散点）称为其收敛域（发散域）
      • {Sn(x)}为级数前n项和，limSn(x)=S(x)(n→∞,x∈(a,b))存在，则S(x)为其和函数
    • 幂级数
      • • (x-x0)的幂级数
        • x0=0时，称为x的幂级数
      • 阿贝尔定理
      • (a,b)内收敛，(a,b)外发散，端点暂不考虑
        • R=(b-a)/2
          • 收敛半径
            • 级数为幂级数时，收敛区间(-R,R)，收敛域要考虑端点
          • R=0，收敛域仅为一点
          • R=+∞，收敛域为(-∞,+∞)
          • R=某定常数，收敛域为有限区间
      • 两个幂级数
        • 收敛区间为共同区间，半径取最小者
        • 相加等于两幂级数和函数之和
        • 相乘等于两幂级数和函数之积
      • 收敛区间（域）内和函数连续，可逐项微分、积分
      • 函数的幂级数展开
        • 在x0点泰勒展开，为函数在该点的泰勒级数
          • x0=0，则为麦克劳林级数
        • f(x)在x=x0某一邻域内有任意阶导数，泰勒级数收敛于f(x)的充要条件
          • 拉氏型n阶泰勒余项余项：limRn(x)=0(n→∞)
        • 复合函数求展开式，若为三角函数，要想办法构造其反函数使得内部函数脱离出来
      • 常用幂级数
    • 傅里叶级数
      • 三角函数族的正交性
        • 1、sin(mx)、cos(nx)之中任两个不同函数的乘积在[-Π,Π]或[0,2Π]上积分为0
          • 用此积分可以消掉三角函数
      • f(x)以2Π为周期，且在[-Π,Π]或[0,2Π]上可积
        • 函数f(x)的傅里叶系数
        • 其三角级数称为f(x)的傅里叶级数
      • f(x)以2L为周期，且在[-L,L]上可积
        • 函数f(x)的傅里叶系数
        • 其三角级数称为f(x)的傅里叶级数
      • 收敛定理（狄里赫莱的充分条件）
        • 函数f(x)在[-Π,Π]上满足
          • 除有限个第一类间断点外都是连续的
          • 只有有限个极值点
          • f(x)的傅里叶级数在区间上收敛
            • f(x)
              • f(x)
                • x0为连续点
              • 1/2[f(x0-0)+f(x0+0)]
                • x0为第一类间断点
              • 1/2[f(Π-0)+f(-Π+0)]
                • x=±Π
      • 奇偶函数、奇偶开拓
        • 周期函数[-L,L]
          • 偶函数（余弦级数）
            • Bn=0，An=2/L∫f(x)cos(nΠx/L)dx(x:0→L,n=0,1,2,3…)
          • 奇函数（正弦级数）
            • An=0，Bn=2/L∫f(x)sin(nΠx/L)dx(x:0→L,n=1,2,3…)
        • 非周期函数[0,L]
          • 偶开拓（余弦级数）
            • 令F(x)
              • f(x),0≤x≤L
              • f(-x),-L≤x<0
            • Bn=0，An=2/L∫f(x)cos(nΠx/L)dx(x:0→L,n=0,1,2,3…)
          • 奇开拓（正弦级数）
            • 令F(x)
              • f(x),0≤x≤L
              • -f(-x),-L≤x<0
              • 则F(x)除x=0外在[-L,L]上为奇函数
            • An=0，Bn=2/L∫f(x)sin(nΠx/L)dx(x:0→L,n=1,2,3…)
      • 注意傅里叶级数反向使用（注意观察，不会明说）
        • 已知傅里叶级数及带系数的原函数
          • 由所知原函数再求傅里叶级数，解出系数的值
  • 题型解法
    • 正项级数判敛
      • limUn=0(n→∞)
        • 比值法、根值法
          • ρ>1
            • 发散
          • ρ=1
            • 比较法的极限形式
              • 比较法的一般形式
          • ρ<1
            • 收敛
      • limUn≠0(n→∞)
        • 发散
    • 任意项级数判敛
      • limUn=0(n→∞)
        • Σ|Un|,n:1→∞，正项级数判别法
          • 发散
            • 比值法、根值法
              • ΣUn发散
            • ΣUn用莱布尼茨准则或验证limS_2n,limS_2n+1(n→∞)是否相等
              • 发散
                • ΣUn发散
              • 收敛
                • ΣUn条件收敛
          • 收敛
            • 绝对收敛
              • 
      • limUn≠0(n→∞)
        • 发散
    • 级数的证明或判敛
      • 正项级数证明
        • 已知某级数收敛，欲证另一级数收敛，通常用比较判别法，已知收敛的某级数被用作比较级数
          • 级数收敛，则当n大于一个N时，其值介于0到1之间；则其高次方组成的级数与之相比更小，其高次方级数也收敛
          • 
        • 已知某数列有某种性质（有极限、有界性、单调性），欲证一级数收敛，通常是利用极限、有界性、单调性对数列的通项作某种估值）再用比较判别法
        • 若欲证级数的通项与已知敛散性级数的通项有某种四则运算关系，通常用级数敛散性定义（即考查欲证级数前n项和的极限）进行分析
      • 交错级数的判敛
        • 可验证莱布尼茨准则的条件，或是验证limS_2n，limS_2n+1是否相等
    • 函数项级数收敛域
      • 比值法、根值法求ρ(x)，一定要加绝对值
        • 解不等式方程ρ(x)<1，得出收敛区间(a,b)
          • 考察端点敛散性
            • 写出收敛域
    • 幂级数收敛半径、收敛域
      • 同函数项级数，若收敛区间(a,b)，则半径收敛R=(b-a)/2
      • 级数中至多只有有限个An=0
        • • 直接用x的指数作为开次方的数，代替这里的n
      • 代入x=±R，考查敛散性
    • 函数在某点的幂级数展开
      • 将给定函数在某点处展成泰勒级数
        • 直接法
        • 间接法
          • 利用已知的7个函数展式，通过适当的变量替换，四则运算，复合以及逐项微分，积分而将个函数展成幂级数
      • 函数展开式
    • 幂级数求和
      • 三步走
        • 求出给定级数的收敛域
        • 通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数s(x)与其导数s´(x)的关系），从而得到新级数的和函数
        • 对于得到的和函数作相反的分析运算，便得原幂级数的和函数
      • 注意：和函数中无定义点需单独拎出来求值（和函数收敛域内连续，故取极限）
      • 可以将和函数与其导数相加，解一阶线性微分方程得和函数
      • 系数为若干项代数和的幂级数，求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数。
        • 简言之，能拆就拆
        • 若没有若干项，也可产生若干项
    • 数项级数求和
      • 级数和的定义
        • 直接法
          • 适用于ΣUk(k:1→∞)为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列的数列
            • 乘以公比，错位相减
        • 拆项法
          • 即把通项拆成两项差的形式，在求前n项和时，除首尾两项外其余各项均对消掉
        • 递推法
          • 视情况而定
      • 阿贝尔法（构造幂级数法）
        • • 逐项积分或微分求解和函数S(x)，代入x求极限
      • 注：凡通项Un可以拆成代数和形式的，求和之前一定拆开，分别计算，再求代数和
    • 周期与非周期函数的傅里叶级数
      • 画出f(x)的图形并验证是否满足狄氏条件（画图目的：验证狄氏条件，由图形写出收敛域，利用奇偶性可减少求系数的工作量）
      • 求出傅里叶系数
      • 写出傅里叶级数，并注明它在何处收敛于f(x)
      • 注：若在推演中n=3没有意义，则a0,a1,a2,a3都要重新求，其他情形类似处理。
    • 已知一级数收敛，判别另一相关级数的敛散性时，要想到级数的比较判别法和一些常用的不等式，如ab≤1/2(a²+b²)
• 矢量代数与空间解析几何
  • 概念定理
    • 矢量表示法
      • a=xi+yj+zk={x,y,z}
    • 方向余弦(r为矢量的模)
      • cosα=x/r
      • cosβ=y/r
      • cosγ=z/r
    • 矢量积
      • 数积（点积、内积）
        • a•b=b•a=|a||b|cosθ
      • 矢积（叉积、外积）
        • |a×b|=|-b×a|=|a||b|sinθ
          • 三阶行列式计算
    • 混合积
      • 轮换对称性
        • (a×b)•c=(b×c)•a=(c×a)•b=(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)
      • 两矢量互换，混合积变号
        • (a,b,c)=-(a,c,b)=-(c,b,a)=-(b,a,c)
      • 计算
        • 三阶行列式
          • 相当于把矢量积中的单位方向向量改成第三向量
          • 行列式顺序按照混合积中a、b、c先后顺序来
      • 几何意义
        • |(a,b,c)|表示以a、b、c为棱的平行六面体体积
    • 矢量之间的关系
      • a⊥b
        • a·b=0
          • x1x2+y1y2+z1z2=0
      • a//b
        • a×b=0
          • x1/x2=y1/y2=z1/z2
            • x2,y2,z2中有一个为“0”，应理解为对应1中的部分也为0
      • a,b共线
        • 存在不全为零的数λ,μ，使λa+μb=0
      • a,b夹角
        • cos(a,^b)=a·b/(|a||b|)
      • a,b,c共面
        • 存在不全为零的数λ,μ,ν，使λa+μb+νc=0或(a,b,c)=0
        • 两条直线共面，各取一点，组成第三个向量，使用混合积
    • 平面与直线
      • 平面方程
        • 一般方程
          • Ax+By+Cz+D=0
            • 法向量n={A,B,C}
          • 方程中某个坐标不出现，则平面平行于该坐标轴
            • 如x+y=1平行于z轴
        • 点法式分方程
          • A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
            • 法向量n={A,B,C}
        • 三点式方程
          • a={x-x1,y-y1,z-z1},b={x2-x1,y2-y1,z2-z1},c={x3-x1,y3-y1,z3-z1}
          • 方程（三阶行列式）
            • (a,b,c)=0
        • 截距式方程
          • x/a+y/b+z/c=1
            • a,b,c分别为x,y,z轴截距
        • 平面束方程
          • λ(A1x+B1y+C1z+D1)+μ(A2x+B2y+C2z+D2)=0
            • λ,μ不全为零
      • 直线方程
        • 一般式方程（两平面交线）
          • A1x+B1y+C1z+D1=0
            • 法向量n1={A1,B1,C1}
          • A2x+B2y+C2z+D2=0
            • 法向量n2={A2,B2,C2}
          • 直线方向矢量s=n1×n2
            • 三阶行列式计算
        • 标准式方程
          • (x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n
            • 直线方向矢量s={l,m,n}
        • 两点式方程
          • (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)
            • 直线方向矢量s={x2-x1,y2-y1,z2-z1}
        • 参数式方程
          • x=x0+lt,y=y0+mt,z=z0+nt
            • 直线方向矢量s={l,m,n}
      • 点、线、面关系
        • 线线、线面、面面
          • 全部转化为方向矢量与法矢量的关系
        • 点面距离
          • (x0,y0,z0)到Ax+By+Cz+D=0
            • d=|Ax0+By0+Cz0+D|/sqrt(A²+B²+C²)
        • 点线距离
          • 思路：M0(x0,y0,z0)点到线上一点M1的长度，乘以夹角正弦
            • d=|M1M0×M1P|/|M1P|
              • P为线上一点，M1P为直线方向矢量
    • 投影方程
      • 以在xOy面投影为例
        • 空间曲线为两平（曲）面交线
          • 联立方程消去z，得到一个母线平行于z轴的柱面方程φ(x,y)=0
          • φ(x,y)=0与z=0联立，即得投影方程
    • 曲面方程
      • 柱面方程
        • 由平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L描绘出的轨迹叫做柱面
          • 定曲线叫做柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线
        • 准线：φ(x,y)=0，z=0（此处列举一种）
          • 母线//z轴的柱面方程为φ(x,y)=0
        • 准线：f(x,y,z)=0,g(x,y,z)=0，母线方向矢量{l,m,n}
          • 在准线上任取一点(x,y,z)，则过该点的母线方程
            • (X-x)/l=(Y-y)/m=(Z-z)/n
          • 联立准线、母线方程，消去x,y,z便得所求柱面方程
            • 注：柱面由无数条母线组成
        • 标准二次方程及其图形见《陈文灯》P264
      • 旋转曲面方程
        • 由一已知平面曲线L绕该平面上一定直线旋转而成的曲面叫做旋转曲面
          • 定直线叫做旋转曲面的轴，曲线L叫做旋转面的母线
        • 平面曲线（准线）：φ(x,y)=0，z=0（此处列举一种曲线）
          • 曲线L绕x轴旋转所成的旋转曲面方程为φ(x,±sqrt(y²+z²))=0
          • 曲线L绕y轴旋转所成的旋转曲面方程为φ(±sqrt(x²+y²),z)=0
        • 曲线：f(x,y,z)=0,g(x,y,z)=0绕z轴旋转所成的旋转曲面方程
          • 解出x=x(z),y=y(z)
            • 方程：x²+y²=x²(z)+y²(z)
        • 准线：f(x,y,z)=0,g(x,y,z)=0，顶点为A(x0,y0,z0)的锥面方程
          • 设M(X,Y,Z)为锥面上任一点，直线AM为锥面母线，它与准线交点(x,y,z)
            • 母线方程：(X-x0)/(x-x0)=(Y-y0)/(y-y0)=(Z-z0)/(z-z0)
          • 联立准线、母线方程，消去x,y,z便得所求锥面方程
  • 题型解法
    • 求平面方程
      • 若题设条件中有两个相交的平面(其方程为一般式方程)，则用平面束方程处理简便
      • 若题设条件中平面过某点，则一般用点法式方程，即转化为求平面的法矢量n
    • 求空间直线方程
      • 若题设条件中有一个已知点，则一般考虑建立直线的参数方程简便
      • 求两直线的交点，异面直线的距离等方面的问题，通常也借助于直线参数方程之便
        • 异面直线距离利用参方(分别有参数s,t)，表达为d=φ(s,t)，求偏导取函数极小值