数的运算：整数的运算

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数的运算：整数的运算

• 整数的加法
  • 加法的意义
    • 把两个数合并成一个数的运算，叫作加法。
    • 加数、和：相加的两个数叫作加数，加得的数叫和。
  • 加法竖式的运算规则
    • 多位数加多位数时，相同数位对齐，从个位加起，哪一位上得数相加满十，就像前进一位。
  • 加法的运算定律
    • 加法交换律
      • 两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a
    • 加法结合律
      • 三个数相加，先把前两个数相加，或先把后面两个数相加，和不变。 （a+b)+c=a+(b+c)
    • 应用
      • 适当使用加法交换律和结合律，可以降低计算难度。
  • 和的变化规律
    • 和变化
      • 如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。a+b=c ,a+m+b=c+m, a-m+b=c-m ,（a+m)+(b-n)=c+m-n,
    • 和不变
      • 如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数也减少（或增加）同一个数，那么它们的和不变。（a+m)+(b-m)=c
• 整数的减法
  • 减法的意义
    • 已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数
  • 减法竖式的运算法则
    • 多位数减多位数时，要把被减数与减数的相同数位对齐，再从个位开始减，被减数哪一位上的数不够减时，要从前一位退一当十，和本位上的数加在一起再减，这叫退位，也叫错位。
    • 减法验算：可以用加法验算和用减法验算。
  • 减法的运算性质
    • 连减
      • 一个数连续减去两个数等于这个数减去这两个数的和。a-b-c=a-(b+c)
    • 减两个数的差
      • 一个数减去两个数的差，等于这个数先减去差里的被减数，然后加上减数。a-(b-c)=a-b+c
    • 去括号的要求
      • 去掉括号时，如果括号外面的是减号，那么括号内的符合要变号；如果括号外面是加号那么括号内的符号不变。
  • 差的变化规律
    • 差变化
      • 如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么它们的差也增加（或减少）同一个数。若a-b=c 则 (a±m)-b=c ±m
      • 如果被减数和减数不变，减数增加（或减少）一个数，那么它们的差就减少（或增加）同一个数。
    • 差不变
      • 如果被减数和减数同时增加（或减少）同一个数，它们的差不变 。
  • 加法和减法的关系
    • 关系
      • 减法是加法的逆运算
    • 加、减法各部分之间的关系
      • 加数+加数=和，和 －加数=另一个加数。
      • 被减数-减数=差， 被减数-差=减数，差+减数=被减数
      • 利用上述几个关系式，可以进行加、减法的验算。
• 整数的乘法
  • 整数乘法的意义
    • 意义
      • 求几个相同加数的和的简便运算，叫作乘法。
    • 表达式
      • 因数×因数=积 a ×b =c
  • 整数乘法竖式运算规则
    • 规律
      • 末尾对齐，从个位乘起，用因数每一位上的数乘另一个因数；用因数哪一位上的数去乘，所得的积的末位就与那一位对齐，最后把几次相乘的积加起来。
    • 验算
      • 积÷其中一个因数=另一个因数；运用乘法交换律，交换两个因数的位置再算一遍。
  • 乘法的运算定律
    • 乘法交换律
      • 两个数相乘，交换两个数的位置，积不变。a×b=b×a
      • 注意：乘法交换律适用只含有乘法运算的式子。
    • 乘法结合律
      • 三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。(a×b)×c=a×(b×c)
    • 乘法分配律
      • 定律
        • 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，所得结果不变。（a+b)×c=a×c+b×c 。该定律不仅可以正向运用，还可以逆向运用。
      • 应用
        • 用运算规律可以简化计算。运用结合律和交换律的原则是使得因数相乘得到整十、整百、整千的数。
  • 积的变化规律
    • 积变化
      • 一个因数不变，另一个因数乘（或除以）一个不为0的数，它们的积也乘（或除以）这个数。a ×b=c, a÷m×b=c÷m , a×m×b=c×m (m≠0）
    • 积不变
      • 一个因数乘（或除以）一个不为0的数，另一个因数除以（或乘以）这个数，它们的积不变。a ×b=c, a×m×（b÷m)=c (m≠0）
• 整数的除法
  • 整数除法的意义
    • 意义
      • 已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算，叫除法。除法是乘法的逆运算。
    • 注意事项
      • 0除以任何一个不为0的数，商都是0，即0÷a=0 a≠0
      • 除和除以要分清。例如：9÷3可以读成9除以3，也可读成3除9 。
  • 有余数的除法
    • 有余数的除法
      • 被除数÷除数=商.......余数 如 ：14÷5=2.....4
      • 在有余数的整数除法里，余数一定要比除数小。最大的余数比除数小1 。
    • 各部分间的关系
      • 被除数=商×除数+余数 ；除数=（被除数-余数）÷商
      • 常用“被除数=商×除数+余数”来验算带有余数的除法算式。
  • 整数除法的运算法则和运算性质
    • 除法竖式的运算法则
      • 从被除数的最高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位，如果前几位比除数小，那么就多取一位再除，除到哪一位，商就写在那一位的上面。
      • 如果被除数的哪一位商不够1，那么就在那一位上写“0”占位。
      • 每次除得得余数必须比除数小。
    • 试商的方法
      • 当除数接近整十、整百数时，通常把除数看作整十、整百的数来试商。
      • 把被除数和除数一起看作正十数、整百数或几十数几百数来试商。
    • 除法的运算性质
      • 一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积。a÷b÷c=a÷（b×c) b≠0，c ≠0.
  • 商的变化规律
    • 商不变
      • 在除法里，被除数和除数同时（或除以）一个相同的数（0除外），商不变。(a×c)÷(b×c)=a÷b (c≠0）；(a÷c)÷(b÷)=a÷b (c≠0）
      • 在有余数的除法里，如果被除数和除数同时（或除以）一个相同的数（0除外），商不变，但它们的余数要乘（或除以）这个数。
    • 商变化
      • 如果被除数乘（或除以）一个不为0的数，除数不变，那么它们的商也要乘（或除以）一个相同的数。a÷b=c ,( a×n)÷b=c×n ; (a÷n)÷b=c÷n (n≠0）
      • 如果被除数不变，除数乘（或除以）一个不为0的数，除数不变，那么它们的商反而要除以（或乘）一个相同的数。a÷b=c , a÷（b×n)=c÷n ; a÷（b÷n)=c×n (n≠0）
  • 乘法和除法的关系
    • 关系
      • 除法是乘法的逆运算。
    • 表达式
      • 因数×因数=积， 因数=积÷因数，被除数÷除数=商，被除数÷商=除数， 被除数=商×除数。
  • 乘、除法的验算
    • 乘法的验算
      • 用乘法交换律进行验算
      • 用除法进行验算
    • 除法的验算
      • 用乘法验算
      • 用除法验算：交换除数与商的位置。
      • 有余数的除法验算：被除数=除数×商+余数。
• 整数的四则运算
  • 定义
    • 四则运算
      • 加法、减法、乘法、除法统称为四则运算。
    • 四则混合运算
      • 在一个算式里，含有加、减、乘、除四种运算中两种或两种以上的运算的称为四则 混合运算。
    • 一、二级运算
      • 在四则混合运算中，加法、减法被称为第一级运算，乘法和除法被称为第二级运算。
  • 运算顺序
    • 算式无括号
      • 只有加、减法或只有乘、除法：按从左往右的顺序计算。
      • 既有乘、除法，又有加减法：先乘、除法，再加减法。
    • 算式有括号
      • 只有小括号：先算小括号里面的，再算小括号外面的。
      • 有小括号和中括号：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的 。
• 乐享其中
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