管综数学应用题

一张思维导图带你了解管综数学应用题，路程问题、工程问题、溶液浓度、集合问题、不定方程、至少之多、比例及百分率、商品利润、最值问题、线性规划等。

应用题

• 路程问题
  • 直线路程
    • 相遇
      • 直线相遇
        • 比例法
      • 往返相遇
        • 画图、比例法
          • 第一次相遇路程和S 往后每一次相遇路程和加2S
    • 追及
      • 路程差=速度差*追及时间
    • 变速
      • 套变速公式
  • 水中行船
    • 水速有关
      • 单一物体水上运动
    • 水速无关
      • 多个物体水上运动
        • 木板落水
  • 相对速度
    • 队伍行军（模板）
    • 火车与行人（人看成静止，火车相对运动）
    • 发车间隔（人静止，公交车相对运动）
  • 火车过桥
    • 注意路程要加上车长
  • 跑圈问题
    • 同起点
      • 同向同起点
        • 甲乙每相遇一次，甲多跑一圈
      • 反向同起点
        • 甲乙路程之和为一圈
    • 不同起点
      • 第一次相遇后就是同起点运动了
    • 回到起点相遇
      • 两人速度比=路程比=圈数比
  • 路程图像
    • S=面积之和
• 工程问题
  • 公式：参照路程公式 总效率=各效率的代数和
    • 工量
      • 具体量：数量、单位
      • 抽象量：某项工程、设总工量为"1" 或工作时间的最小公倍数
  • 应用
    • 求工作时间
      • 比例法（多种方法完成） 甲|a-c|天=乙|d-b|天
    • 轮流工作
      • 先求一个周期工作量，分析收尾所需要的时间
    • 变效率工程
      • 套变速公式
    • 效率正负：进水排水、牛吃草（牛进水管、草排水管）
    • 求工钱或费用
      • 找出各自工作效率和每天所得到的费用
• 溶液浓度
  • 交叉比例法
    • 一分为二或二合一
      • 遇到平均数和混合溶液可用
  • 公式
    • 溶液=溶质+溶剂
    • 浓度=溶质/溶液
    • 溶质=溶液*浓度
    • 溶剂=溶液*（1-浓度）
  • 应用
    • 溶质、溶剂单一变化
      • 稀释、浓缩、加浓
        • 找到不变量是关键
        • 可用比例做
    • 溶液混合
      • 交叉比例法
      • 互相倒溶液
        • 多次交叉比例法
    • 等量置换
      • 体积v，倒出m→浓度为原来的1-m/v
    • 其他等量关系
      • 列方程或根据浓度定义分析
• 集合问题
  • 按属性分
    • 求A∪B
      • 两个集合：A∪B=A+B-A∩B=Ω-非A∩非B
      • 三个集合：A∪B∪C=A+B+C-(A∩B+B∩C+A∩C)+A∩B∩C
  • 按区域分
    • 两个集合
      • 全集=参加一项+参加两项+都没参加
    • 三个集合
      • 全集=参加一项+参加两项+参加三项+都没参加 A∪B∪C=参加一项+参加两项+参加三项 A+B+C=参加一项+参加两项*2+参加三项*3
• 不定方程
  • 应用
    • 整式不定方程
      • 化为ax+by=c的形式
        • 借助奇偶、整除、范围确定数值
    • 分式不定方程
      • a/x+b/y=1→(x-a)(y-b)=ab
    • 平方不定方程
      • 结合非负性和平方差等公式
    • 整体取值不定方程
      • 取最小和最大的系数来转为不等式，讨论范围得到答案
• 至少至多
  • 粉蛋糕原理
    • 总量固定，至多至少相互转换
  • 平均原理（抽屉原理）
    • 所有人全部答对或打错，先按标准平均分配，再根据余量求解
  • 表达式变形
    • 将方程转化为所求+剩余=d
• 其他问题
  • 植树问题
    • 开放型
      • 植树数量=总长/间距+1
        • 结合最小公倍数思考
    • 封闭型
      • 植树数量=总长/间距
        • 三角形四边形圆形
  • 年龄问题
    • 年龄同步增长
    • 年龄差不变
  • 鸡兔同笼
    • 列方程
• 线性规划
  • 找到两个方程的交点，带入解析式
• 最值问题
  • 二次函数
    • 抛物线
      • 求利润
      • 注意零点式的快捷解法
  • 平均值定理
    • 一正二定三相等
    • 积定和小，和定积大
• 商品利润
  • 公式
    • 利润=售价-进价
      • 求销量
        • 列方程
    • 利润率=利润/进价
      • 价格变化（打折优惠）问题
        • 掌握公式灵活变形
    • 利润=利润率*进价
    • 售价=进价*（1+利润率）
      • 求原价或标价
    • 净利润=盈利-亏损
      • 盈亏并存
  • 恢复原价
    • 原价a，先降p%，再增p%/(1-p%) 原价a，先增p%，再降p%/(1+p%)
• 比例及百分率
  • 比例
    • 定比例问题
      • 知总求部
        • 总量*对应比例
      • 知部求总
        • 部分量/对应比例
      • 知部求部
        • 确定联系各部分的中间量，再设未知数求解
    • 变比例问题
      • 某量不变
        • 统一不变量份数
      • 总量不变
        • 统一总量份数
      • 差量不变
        • 统一差量份数
      • 谁不变统一谁
      • 各量都变
        • 列方程
  • 百分率
    • A比B大p%，(A-B)/B A是B的p%，A=B*p%
      • 比后面的对象是分母 注意：是和比的区别
        • A比B大p%≠B比A小p%