计数原理

这是一篇关于计数原理的思维导图，主要内容包括：规律与应用，二项式定理，排列组合，两个计数原理。总结全面细致，适合做为复习资料。

计数原理

• 两个计数原理
  • 分类加法计数原理
  • 分布乘法计数原理
  • 应用
    • 在使用计数原理解决问题时，一定要分清完成这件事是有n类办法还是有n个步骤，分类要做到“不重不漏”，分布要做到“步骤完整”
      • 类与类之间要互斥
      • 步与步之间要相互独立
• 排列组合
  • 排列
    • 定义
    • 排列数公式
    • 全排列
      • 特别地，从n个不同元素中取出n个不同的元素（即全部取出）排成一列，叫做n个元素的一个全排列.
    • 阶乘
  • 组合
    • 定义
    • 组合数公式
• 二项式定理
  • 二项式定理
    • • 右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式
  • 通项
  • 二项式系数
    • 性质
      • 对称性
      • 单调性
        • 先增大，后减小
      • 最大值
    • 杨辉三角
      • 每个数等于其肩膀上的两个数之和
• 规律与应用
  • 易错点
    • 在应用计数原理解题时，很多题呈现出类中有步，步中有类，分类与分步相互交织的状态
    • 在应用分类加法计数原理的时候，类与类之间要互斥（没有交集），并且所有类的并集（和）为全集（所有可能），即分类要“不重不漏”，标准统一.
    • 在应用分布乘法计数原理时，“步”与“步”之间要相互独立（互不影响），且有明显的“承接”关系，所有“步”完成才算是把一件事完成.
    • 错把无序问题理解成有序问题，把有序问题理解成无序问题
  • 易混点
    • 排列与排列数，组合与组合数是不同的概念，要区分清楚.
    • 二项式系数的最大值是确定的，而系数的最大值需要借助数列求最大项的方法计算得到.
  • 分组问题
    • 问题：将A、B、C、D、E、F6个元素分成3组
    • 平均分组(2:2:2)
    • 非平均分组(1:2:3)
    • 混合分组(1:1:4)
    • 在解题时，一般采取先分组后排序，分步进行
    • 随机分组(隔板法)
      • • 6个元素中间形成5个空，随机选取2个，可分成3组
  • 排序问题
    • 特殊位置特殊安排
      • 特殊元素优先安排
        • 相邻问题用捆绑法
          • 相隔问题用插空法
    • 相邻相隔互为补集
      • 直接困难用间接法
  • 二项式定理的应用
    • • 令x=0
      • 令 x=1
        • • 二项式系数和
      • 令x=-1
    • 系数和