第一章 函数、极限、连续

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第一章 函数、极限、连续

• 函数
  • 函数的概念：自变量、因变量、定义域、值域、对应关系、去心邻域
  • 函数的性质
    • 单调性
    • 奇偶性
    • 周期性
    • 有界性
  • 常见函数
    • 符号函数
    • 反函数
    • 复合函数
    • 基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
    • 初等函数：由常数与基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合所构成
• 极限
  • 极限的概念
    • 数列的极限
    • 函数的极限
      • 自变量趋于无穷大
      • 自变量趋于有限值
  • 极限的性质
    • 极限唯一性
    • 有界性
      • 单调有界准则：单调有界数列必有极限，即单调递增（减）有上（下）界的数列必有极限
    • 保号性
    • 极限值与无穷小之间 ：limf(x)=AÛf(x)=A+α（x）
  • 无穷小量
    • 概念、极限存在的充要条件是左右极限存在且相等
    • 无穷小的比较
      • 高阶无穷小 0
      • 低阶无穷小 ∞
      • 同阶无穷小 C
      • 等价无穷小 1
      • 无穷小的阶 k
    • 无穷小的性质
      • 有限个无穷小的和是无穷小
      • 有限个无穷小的积是无穷小
      • 无穷小量与有界量的积是无穷小
  • 无穷大量
    • 概念
    • 无穷大量的比较
      • a^x>>x^b>>ln^an (a>0,b>0,a>1)
    • 无穷大量的性质
      • 两个无穷大量的积仍为无穷大
      • 无穷大量与有界变量之和仍为无穷大
    • 无穷大量与无界变量：去穷大量必为无界变量，而无界变量不一定为无穷大量。如：Xn=｛n，n为奇数；0，n为偶数
  • 求极限
    • 有理运算法则四则
    • 常用基本极限：1^∞，两个重要极限，多项式的除法
    • 抬e：底数为函数，指数仍为函数
    • 等价无穷小求极限
    • 洛必达法则
    • 泰勒公式
    • 夹逼准则
    • 定积分
• 连续
  • 连续性的概念
    • 左连续、右连续 函数在X0处连续的充要条件是在X0处既左连续又右连续
    • 在（a,b)内连续，在x=a处右连续，在x=b处左连续，则在[a,b]上连续
  • 间断点
    • 定义：在去心邻域内有定义，但在X0处不连续
    • 第一类间断点：左右极限都存在
      • 可去间断点：左右极限存在且相等的间断点
      • 跳跃间断点：左右极限存在但不相等的间断点
    • 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在
      • 无穷间断点：在左或右极限为∞
      • 振荡间断点：在x趋近某一值，数值在某一范围内无穷多次振荡。如在x=0处的y=sin1/x
  • 闭区间连续函数的性质
    • 最值定理
    • 有界性定理
    • 介值定理
    • 零点定理