微分中值定理与导数

这是一篇关于微分中值定理与导数的思维导图，主要内容包括：导数应用，微分中值定理。便于知识点的理解和记忆。

微分中值定理与导数

• 微分中值定理
  • 结论：若x=a为f(x)极值点Þf'(a)=0或f'(a)不存在
  • 费马引理：设f(x)在x0处可导，如果函数f(x)在x0处取得极值，则f'(x)=0
  • 罗尔定理
  • 拉格朗日中值定理
  • 柯西中值定理
  • 泰勒公式（麦克劳林）
    • 佩亚诺型余项
    • 拉格朗日余项
• 导数应用
  • 函数的单调性
  • 函数的极值
    • 极值的必要条件
    • 极值的第一充分条件
    • 极值的第二充分条件
  • 函数的最大值与最小值
  • 函数的凹凸性
    • 定义：f(x1+x2/2)<f(x1)+f(x2)/2,则为凹，反之，为凸
    • 定理
      • y=f(x）在[a,b]上连续，在（a,b)上二阶可导，若f''(x)>0,则函数在[a,b]上图形是凹的
      • y=f(x）在[a,b]上连续，在（a,b)上二阶可导，若f''(x)《0,则函数在[a,b]上图形是凸的
    • 拐点：连续曲线弧上凹与凸的分界点
      • 拐点的必要条件
      • 拐点的第一充分条件
      • 拐点的第二充分条件
  • 曲线的渐近线
    • 水平渐近线
    • 铅直渐近线
    • 斜渐近线
  • 函数的作图
  • 曲线的弧微分与曲率
    • 公式：弧微分 曲率 曲率半径 曲率中心
  • 一些证明计算
    • 方程的根：可利用零点定理 两边极限求值 各区间单调性
    • 函数不等式：利用拉格朗日与函数单调性
    • 利用中值定理证明：拉格朗日最常见，其他罗尔 费马也有涉及