有理数

这是一个关于有理数详细思维导图，内容包括有理数的定义、分类、运算以及相关规定。适合作为学习和复习的参考材料。

有理数

• 分类
  • 正数
    • 大于0
  • 负数
    • 小于0
  • 有理数（正负分）
    • 正数
      • 正整数
      • 正分数
    • 0
    • 负数
      • 负整数
      • 负分数
  • 有理数（定义分）
    • 整数
      • 正整数
      • 0
      • 负整数
    • 分数
      • 正分数
      • 正负数
• 数轴，相反数和绝对值
  • 数轴
    • 由原点，正方向，单位长度组成的一条直线
    • 任意一个有理数都可以用数轴上的一个点表示
  • 相反数
    • 只有符号不同的两个数字，我们称其中一个为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数
      • 例：-5与5互为相反数
    • 特别地，0的相反数是0
    • 任何有理数都有相反数，一个数a的相反数可以表示为- a
    • 一个数的相反数的相反数是它本身
    • 互为相反数的两个数相加，和为0
  • 绝对值
    • 一个数在数轴上所表示的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值，用符号｜a｜表示数a的绝对值
    • 一个正数的绝对值是它本身
      • 例：5的绝对值是5
    • 一个负数的绝对值是它的相反数
      • 例：-5的绝对值是5
    • 零的绝对值是它本身/它的相反数
      • 例：0的绝对值是0
• 有理数的大小比较
  • 归纳
    • 两个负数的大小比较可以不利用数轴，利用这两个数的绝对值进行比较两个负数，绝对值大的那个数反而更小
  • 数字大小关系
    • 正数＞零＞负数
• 有理数的加减
  • 加法法则
    • 同号两数相加，取原来相同的符号，并把绝对值相加
    • 异号两数相加，如果这两个数的绝对值相等，它们的和为零（互为相反数的和为零），如果绝对值不相等，其和的符号为绝对值较大的符号，其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差
    • 任何一个数与0相加，所得的结果不变
  • 减法法则
    • 减去一个数等于加上这个数的相反数
    • 零减去任何一个有理数，等于这个有理数的相反数
  • 有理数加法的运算律
    • 加法交换律：a+b=b+a
    • 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
• 有理数的乘除
  • 乘法法则
    • 两数相乘同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
    • 任何数与0相乘都得0
    • 几个非零数相乘，积的符号与负乘数个数有关：当负乘数的个数是奇数时，积的符号为负，当负乘数的个数是偶数时，积的符号为正
  • 除法法则
    • 两数相除，同号得正，异号得负，两数绝对值相除
    • 0除以任何不为0的数等于0
    • 甲数除以乙数（零除外）等于甲数乘以乙数的倒数
    • 一个数除以一个比1大的数所得的商小于这个数本身一个数除以一个比1小的正数所得的商大于这个数
• 有理数的乘方
  • 乘方定义与归纳
    • 一般地将n个相同因数a相乘，记作a^ n
    • 特别地1^ n = 1，0^ n = 0（n是正整数）
    • 正数的任何次幂都是正数
    • 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数
    • 0的任何非零次幂都是0
• 有理数混合运算
  • 有理数运算顺序
    • 先乘方，后乘除，再加减；同级运算从左到右；如果有括号，先算小括号，后算中括号，再算大括号
  • 归纳
    • 括号前面是负号，去掉括号要变号
• 归纳
  • 如果有一个有理数a，那么｜a ｜=
    • a，a ＞0
    • 0，a = 0
    • - a，a < 0