小学数学知识体系

这是一篇关于数学知识体系的思维导图，主要内容包括：代数，运算，数，单位，几何，统计，应用。是一份非常有价值的学习资料。

数学 知识体系

• 代数
  • 等式(定义：表示两个数量或算式相等的式子叫做等式)
    • 方程(定义：含有未知数的等式叫方程)
  • 比（定义：两个数相除又叫做两个数的比)
    • 比的意义
      • a:b=c(b≠0)
        • a为前项，:为比号，b为后项，c为比值
    • 与分数、除法的关系
  • 比例
    • 基本性质
      • 比例定理
        • • 反向定理
          • 更比定理
          • 合比定理
          • 分比定理
          • 合分比定理
      • 正/负比例
        • 正比例
        • 负比例
• 运算
  • 方法
    • 加法(定义：把两个数合并成一个数的运算)
      • 名称
        • 加数
        • 和
      • 公式
        • 加法交换律：a+b=b+a
        • 加法结合律：a+b+c=a+(b+c)=b+(a+c)
        • 加数+加数=和
          • 求总数：部分数+另一部分数=总数
        • 加数=和-另一个加数
          • 求剩余数：总数-部分数=另一部分数
    • 减法（定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算)
      • 名称
        • 被减数
        • 减数
        • 差
      • 公式
        • 减法性质：a-b-c=a-(b+c)
        • 带号搬家：a-b-c=a-c-b
        • 差=被减数-减数
          • 求两数的差：大数-小数=相差数
        • 减数=被减数-差
          • 求比一个数少几的数：大数-相差数=小数
        • 被减数=减数+差
          • 求比一个数多几的数：小数+相差数=大数
    • 小数加减：小数点对齐 分数加减：分母相同，分子相加减；若分母不同先通分。
    • 乘法（定义：求几个相同加数的和的简便运算)
      • 名称
        • 因数
        • 积
      • 公式
        • 乘法交换律：a×b=b×a
        • 乘法结合律:a×b×c=a×(b×c)=b×(a×c)
        • 乘法分配律：(a±b)×c=a×c±b×c
        • 积=因数×因数
          • 求几个相同加数的和：每份数×份数=总数
        • 因数=积÷另一个因数
          • 把一个数分成几份，求每份是多少：总数÷份数=每份数
    • 除法（定义：已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算)
      • 名称
        • 被除数
        • 除数
        • 商
        • 余数
      • 公式
        • 除法性质：a÷b÷c=a÷(b×c),(b≠0，c≠0)
        • 带号搬家：a÷b÷c=a÷c÷b,(b≠0，c≠0)
        • 商不变规律： a÷b=(a÷c)÷(b÷c)，(b≠0，c≠0) a÷b=(a×c)÷(b×c)，(b≠0，c≠0)
        • 商=被除数÷除数
          • 求一个数是另外一个数的几倍：几倍数÷1倍数=倍数
        • 除数=被除数÷商
          • 求1倍数：几倍数÷倍数=1倍数
        • 被除数=商×除数
        • 被除数=除数×商+余数
        • 除数=(被除数-余数)÷商
    • 小数加减：先按整数乘法法则相乘，再按被乘数和乘数一共几位小数，从右边起点小数点。对于除法，先将除数变为整数，对应被除数也向右移动几位，再计算。 分数乘除：分子相乘积做分子，分母相乘积做分母。对于除法等于分数乘这个数的倒数
    • 指数函数
      • 平方(定义：一个数的平方是此数与它的本身相乘所得的乘积，也可视为求指数为2的幂的值。)
        • 平方等于它本身的数是0、1
      • 立方(定义：三个相同的数相乘，叫做这个数的立方)
        • 立方等于它本身的数有0、1、-1 正数的立方是正数，0的立方是0，负数的立方是负数
      • y=a^x(a>0且a≠1) (x∈R)
  • 顺序
    • 先乘除后加减，有括号的先小括号后中括号最后大括号
• 数
  • 整数
    • 正整数
    • 0
    • 自然数
      • 分类1
        • 奇数(定义：不能被2整除的自然数)
          • 例：1、3、5、7、9......
        • 偶数(定义：能被2整除的自然数)
          • 例：0、2、4、6、8........
        • 性质
          • 加减法
            • 奇数±奇数=偶数
            • 偶数±偶数=偶数
            • 奇数±偶数=奇数
          • 乘法
            • 奇数×奇数=奇数
            • 偶数×偶数=偶数
            • 奇数×偶数=偶数
      • 分类2
        • 质数/素数(定义：只有1和它本身两个因数的自然数)
          • 例：2、3、5、7、11......
            • 最小的质数是2 所有的质数中，只有2是偶数
        • 合数(定义：除了1和它本身，还有别的因数的自然数)
          • 例：4、6、8、9、10......
            • 最小的合数是4
        • 1
          • 1既不是质数，也不是合数
        • 0
      • 分类3
        • 能被1整除
          • 任何自然数
            • 例：0、1、2
        • 能被2整除
          • 个位数字是0、2、4、6、8的数
            • 例：0、118
        • 能被3整除
          • 各位上数字的和能被3整除的数
            • 例：0、57
        • 能被4整除
          • 一个数的末两位数能被4整除
            • 例：0、516
        • 能被5整除
          • 个位数字是0、5的数
            • 例：0、20
        • 能被7整除
          • 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数字的2倍，结果差是7的倍数，则该数能被7整除。
            • 例：0、133
        • 能被8整除
          • 一个数的末三位数能被8整除
            • 例：0、1064
        • 能被9整除
          • 各位上数字的和能被9整除的数
            • 例：0、981
        • 能被10(2和5)整除
          • 个位数字是0的数
            • 例：0、230
        • 能被11整除
          • 偶数位的数字和与奇数位的数字和相减，所得的差能被11整除，则该数能被11整除。
            • 例：0、517、715
        • 能被13整除
          • 一个数的末三位数与这个数去掉末三位数后得到的数之差是13的倍数
            • 例：0、1599
        • 能被25整除
          • 一个数的末两位数能被25整除
            • 例：0、1175
        • 能被125整除
          • 一个数的末三位数能被125整除
            • 例：0、1250
        • ......
        • 整数a除以整数b(b≠0)，除得的商为整数且没有余数，则就说a能被b整除或b整除a 0能被任何数整除，结果得0
          • 除尽
            • 两个数相除，所得的商是整数或有限小数，且没有余数，就是除尽
      • 自然数的意义： 基数：表示实物的多少，例：3个 序数：表示实物的次序，例：第3个
        • 最大/小数
          • 最小的数是0，没有最大自然数 1是自然数的基本单位 一位数：最小的是1，最大的是9 两位数：最小的是10，最大的是99 三位数：最小的是100，最大的是999
    • 负整数
    • 整数的个数是无限的，没有最大、最小的整数
  • 分数
    • 分类
      • 真分数(定义：分子比分母小的分数)
      • 带分数(定义：由整数和真分数组成的分数)
      • 假分数(定义：分子比分母大或者相等的分数)
      • 可互化
      • 小数
        • 按整数部分划分
          • 纯小数(定义：指整数部分为0的小数)
            • 例：0.34
          • 带小数(定义：指整数部分不为0的小数)
            • 例：3.14
        • 按小数部分划分
          • 有限小数(定义：小数部分后有有限个数位的小数)
            • 例：0.34
          • 无限小数(定义：小数部分后有无限个数位的小数)
            • 循环小数(定义：从小数部分的某1位起，1个数字或几个数字依次不断的重复出现)
              • 纯循环小数
                • 例：
              • 混循环小数
                • 例：
            • 不循环小数(定义：小数部分有无限多个数字，且没有依次不断地重复出现的1个数字或几个数字)
              • 例：
      • 百分数（定义：一个数是另一个数的百分之几，那么这个数叫做百分数)
        • 成数(表示生产或经营增长情况的一种记数或记量简称)
          • 例：60%(六成)
        • 折扣(把商品按原定价格扣除一个百分数出售)
          • 例：80%(八折)
    • 基本性质
    • 其他
      • 因数(定义：如果y能被x整除(x不等于0)，则x就叫做y的因数)
        • 公因数(定义：y和z公有的因数，叫做y和z的公因数)
          • 最大公因数(定义：在y和z所有的公因数中，最大的一个就是y和z的最大公因数)
            • 约分(定义：把一个分数化成和它本身相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分)
            • 互质数（定义：两个数的公因数仅为1)
              • 2和任何奇数都是互质数 1是所有非0自然数都是互质数 两个不同的质数互质 相邻的两个自然数互质 相邻的两个奇数互质
            • 最简分数(定义：一个分数的分子和分母是互质数)
          • 1是所有非0自然数的公因数 1的倒数是他本身
        • 一个数的因数，n个数的公因数/最大公因数均是有限的
      • 倍数(定义：如果y能被x整除(x不等于0)，则y就叫做x的倍数)
        • 公倍数(定义：y和z公有的倍数，叫做y和z的公倍数)
          • 最小公倍数(定义：在y和z所有的公倍数中，最小的一个就是y和z的最小公倍数)
            • 通分(定义：把n个异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数)
        • 一个数的倍数，n个数的公倍数是无限的 n个数的最小公倍数是有限的
      • 求最大公因数/最小公倍数，应运用分解质因数(短除法)的方法
  • 神奇数字
    • 走马灯数：142857
      • 据说在埃及胡夫金字塔中发现： 若将它分别乘以1-6，会像走马灯一样循环显示； 若将它乘以7，则得到999999
    • 缺8数：12345679
      • “清一色”：乘数是1至81中9的倍数
        • 例：12345679×9=111111111
        • ......
        • 例：12345679×81(9×9)=999999999
      • “三位一体”：乘数12-78中3的倍数，但不是9的倍数的数
        • 例：12345679×12=148148148
        • ......
        • 例：12345679×78=962962962
      • "轮流休息"
        • 乘数1-9(b)中不是3或9的倍数，得数会缺少0和除3、6、9以外的一位数字(9-b)。
          • 例：12345679×1=12345679(缺0和8)
          • ......
          • 例：12345679×b=???????(缺0和9-b)
        • 乘数10-17(ab)中不是3或9的倍数，得数会缺少除3、6、9以外的一位数字(9-a÷10-b)
          • 例：12345679×10=123456790(缺8(9-1-0))
          • ......
          • 例：12345679×ab=???????(缺9-a÷10-b)
• 单位
  • 计数单位 (进率都是10)
    • 个、十、百、千、万、十万、百万、千万、 亿、十亿、百亿、千亿 、兆、十兆、百兆、千兆、
    • 京、十京、百京、千京、垓、十垓、百垓、千垓、 秭、十秭、百秭、千秭、穰、十穰、百穰、千穰、 沟、十沟、百沟、千沟、涧、十涧、百涧、千涧、 正、十正、百正、千正、载、十载、百载、千载、 极、十极、百极、千极、
    • 恒河沙、十恒河沙、百恒河沙、千恒河沙、 阿僧祗、十阿僧祗、百阿僧祗、千阿僧祗、 那由他、十那由他、百那由他、千那由他、 不可思议、十不可思议、百不可思议、千不可思议、 无量大海、十无量大海、百无量大海、千无量大海、 大数、十大数、百大数、千大数......
  • 长度
    • 公制
      • 名称
        • 毫米(mm)、厘米(cm)、分米(dm)、米(m)、千米/公里(km)
      • 换算
        • 1米=10分米=100厘米=1000毫米
        • 1千米/公里=1000米
    • 市制
      • 1市里=0.5公里=500米
      • 3市丈=10米
      • 3市尺=1米
      • 3市寸=10厘米
  • 角
    • 名称
      • 度(°)
  • 面积
    • 公制
      • 名称
        • 公顷(ha)、平方千米/公里(km2)、平方米(m2)、平方分米(dm2)、平方厘米(cm2)、平方毫米(mm2)
      • 换算
        • 1平方千米(公里)=100公顷=100万平方米
        • 1平方米=100平方分米=10000平方厘米
        • 1公顷=10000平方米
    • 市制
      • 1市亩=0.0667公顷
  • 体积
    • 公制
      • 名称
        • 立方米(m3)、立方分米(dm3)、立方厘米(cm3)
      • 换算
        • 1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米
  • 容积
    • 公制
      • 名称
        • 毫升(ml)、升(l)
      • 1升=1立方分米=1000毫升
      • 1毫升=1立方厘米
  • 重量
    • 公制
      • 名称
        • 克(g)、千克/公斤(kg)、吨(t)
      • 换算
        • 1千克/公斤=1000克
        • 1吨=1000千克/公斤
    • 市制
      • 1市斤=500克
      • 1市两=50克
  • 日期
    • 名称
      • 世纪(c.)、年(yr.)、季度、月、旬、日
    • 换算
      • 1世纪=100年
      • 1年=12个月
      • 1月=30天(约)
      • 上旬：1-10日；中旬：11-20日；下旬：21-月底
      • 1星期=7日
  • 时间
    • 名称
      • 时(h)、分(min)、秒(s)
    • 换算
      • 1分=60秒
      • 1时=60分
  • 货币
    • 人民币
      • 名称
        • 元、角、分
      • 换算
        • 1元=10角
        • 1角=10分
  • 价格
    • 名称
      • 元/公斤、元/斤、元/个
  • 速度
    • 名称
      • 公里(千米)/时、米/时、米/分、米/秒
    • 换算
      • 1米/秒=60米/分=3600米/时=3.6公里/时
• 几何
  • 点
  • 线
    • 曲线(任何一根连续的线条都称为曲线。
      • 直线(特点：没有端点，长度无限，不能度量)
      • 射线(特点：1个端点，长度无限，不能度量)
      • 线段(特点：2个端点，长度有限，可以度量)
      • 折线(特点：多条线段顺次收尾依次相接组成的曲折连线)
      • 圆弧(特点：圆上任意两点间的部分)
    • 垂线(特点：相交的两条直线相交成直角，互相垂直，两条直线交点叫垂足)
    • 平行线(特点：不相交的两条直线相互平行，距离处处相等，平行线间垂直线段最短)
  • 角
    • 分类
      • 锐角
        • 小于90°
      • 直角
        • 90°
      • 钝角
        • 大于90°且小于180°
      • 平角
        • 180°
      • 优角
        • 大于180°且小于360°
      • 周角
        • 360°
    • 补角
      • 两个角的和是180°
    • 余角
      • 两个角的和是90°
  • 平面
    • 三角形(内角和180度，两个边长度的和必然大于第三边，两个边长度的差小于第三边，具有稳定性)
      • 分类
        • 按边分类
          • 普通三角形(定义：三条边都不相等的三角形)
          • 等腰三角形(定义：至少有两边相等的三角形)
            • 等边三角形(定义：三条边的长度都相等的三角形)
        • 按角分类
          • 锐角三角形(定义：三个内角都是锐角的三角形)
          • 直角三角形(定义：有一个角是直角的三角形)
            • 边长
          • 钝角三角形(定义：有一个角是钝角的三角形)
        • 度量
          • 周长
            • C=a+b+c
              • C为周长，a、b、c是三角形的三条边
          • 面积
            • S=½ah
              • S为面积，a为底，h为高
    • 四边形
      • 分类
        • 平行四边形(性质：对边平行且相等，两棱角互补，两条对角线相互平分的封闭图形，是中心对称图形)
          • 长方形/矩形(性质：对边相等，对边平行，邻边垂直的封闭图形)
            • 正方形(性质：两组对边分别平行，四条边都相等，四个角都是90度，对角线互相垂直、平分且相等的封闭图形)
              • 度量
                • 周长
                  • C=4a
                • 面积
                  • S=
                • C为周长，S为面积，a为边长
          • 菱形(性质：四条边相等，两棱角互补，两条对角线相互平分的封闭图形，是轴对称图形)
            • 度量
              • 周长
                • C=4a
              • 面积
                • S=ah=½Dd
              • C为周长，S为面积，a为底，h为高，D、d分别为长、短对角线
          • 度量
            • 周长
              • C=2(a+b)
            • 面积
              • S=ab
            • C为周长，S为面积，a为长，b为宽
          • 度量
            • 周长
              • C=(a+h)×2
            • 面积
              • S=ah
            • C为周长，S为面积，a为底，h为高
        • 梯形(性质：只有一组对边平行的四边形)
          • 不规则梯形
          • 直角梯形(性质：一个腰垂直于底，其中两个角是直角)
          • 等腰梯形(性质：两条腰相等，是轴对称图形)
          • 度量
            • 周长
              • a+b+c+d
            • 面积
              • ½（a+b)h
            • C为周长，S为面积，a为上底，b为下底，h为高，c、d为两个腰
    • 圆形(性质：有无数条半径和无数条直径，且同圆内圆半径长度永远相等，是轴对称/中心对称图形)
      • 扇形(性质：半径相等，弧长是圆的周长的一部分)
        • 度量
          • 周长
          • 面积
          • π为圆周率，C为周长，S为面积，n为扇形圆形角，r为半径
      • 圆环(性质：一个空心的圆)
        • 度量
          • 周长
            • C=2π(R+r)
          • 面积
          • π为圆周率，C为周长，S为面积，R为外圆半径，r为内圆半径
      • 椭圆(性质：圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线。)
        • 度量
          • 周长
            • C=2πb+4(a-b)
          • 面积
            • S=πab
          • π为圆周率，C为周长，S为面积，a为长半轴长，b为短半轴长
      • 度量
        • 周长
          • C=2πr=πd
        • 面积
        • π为圆周率，C为周长，S为面积，r为半径，d为直径
  • 立体
    • 长方体(性质：有6个面，每组相对的面完全相同，有12条棱，8个顶点)
      • 正方体(性质：有6个面，每个面完全相同，有12条棱，8个顶点)
        • 度量
          • 表面积
          • 体积
          • S为表面积，V为体积，a为棱长
      • 度量
        • 表面积
          • S=2(ab+ah+bh)
        • 体积
          • V=abh
        • S为表面积，V为体积，a、b、h分别为长、宽、高
    • 圆柱体(性质：两个底面是半径相等的圆，侧面展开的图是长方形)
      • 圆锥体(性质：侧面是曲面，只有1条高)
        • 度量
          • 表面积
          • 体积
          • S为面积，V为体积，r为圆锥底面半径，l为母线长，h为高
      • 度量
        • 侧面积
        • 表面积
        • 体积
        • S为面积，C为底面周长，V为体积，r为底面半径，h为高
    • 球体(性质：球的截面是圆，任意一点到球心的距离等于半径)
      • 度量
        • 表面积
        • 体积
        • S为面积，V为体积，r为半径
• 统计
  • 运动
    • 平移（定义：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定距离，叫图形的平移)
    • 旋转（定义：物体围绕一个点或一个轴做圆周运动)
• 应用
  • 平均数应用题
    • 普通
      • 总数量=平均数×总份数
      • 平均数=总数量÷总份数
      • 总份数=总数量÷平均数
    • 等差数列
      • 和=(首项+尾项)×项数÷2
      • 平均数=(首项+尾项)÷2
  • 和、差、倍问题
    • 和差问题
      • (和+差)÷2=较大数
      • (和-差)÷2=较小数
    • 和倍问题
      • 和÷(1+倍数)=一倍量
      • 一倍量×倍数=另一个数
    • 差倍问题
      • 数量差÷倍数差=一倍量
      • 一倍量×倍数=另一个数
  • 植树问题
    • 沿直线线段植树
      • 段数=棵数-1
      • 总距离=棵距×(棵数-1)
      • 棵距=总距离÷(棵数-1)
      • 棵数=总距离÷棵距+1
    • 只有一端植树
      • 总距离=棵距×棵数
      • 棵数=总距离÷棵距
    • 沿封闭式圆曲线植树
      • 总距离=棵距×棵数
      • 棵数=总距离÷棵距
      • 棵距=总距离÷棵数
  • 行程问题
    • 普通
      • 路程=速度×时间
      • 时间=路程÷速度
      • 速度=路程÷时间
    • 相遇
      • 总路程=速度和×相遇时间
      • 相遇时间=总路程÷速度和
      • 速度和=总路程÷相遇时间
    • 追及
      • 路程差=速度差×追及时间
      • 追及时间=路程差÷速度差
      • 速度差=路程差÷追及时间
    • 流水行船
      • 顺水速度=船速+水速
      • 逆水速度=船速-水速
      • 船速=(顺水速度+逆水速度)÷2
      • 水速=(顺水速度-逆水速度)÷2
    • 火车行驶
      • 普通
        • 过桥时间=(桥长+车长)÷火车速度
        • 火车速度=(桥长+车长)÷过桥时间
        • 桥长+车长=火车速度×过桥时间
      • 相向而行
        • 相遇时间=(车长+车长)÷速度和
        • 速度和=(车长+车长)÷相遇时间
        • 车长+车长=速度和×相遇时间
      • 同向而行
        • 追及时间=(车长+车长)÷速度差
        • 速度差=(车长+车长)÷追及时间
        • 车长+车长=速度差×追及时间
    • 时钟问题
      • 两指针成直线需要的时间=（原来两指针的间隔格数±30)÷(1-1/12)
      • 两指针成直角需要的时间=（原来两指针的间隔格数±15或45)÷(1-1/12)
      • 两指针重合需要的时间=原来两指针的间隔格数÷(1-1/12)
  • 年龄问题
    • 几年后年龄=大小年龄差×倍数差-小年龄
    • 几年前年龄=小年龄-大小年龄差×倍数差
  • 工程问题
    • 工作总量=工作效率×工作时间
    • 工作效率=工作总量÷工作时间
    • 工作时间=工作总量÷工作效率
  • 盈亏问题
    • 两盈
      • 参与分配对象总数=两次盈数之差÷两次分得的差
    • 两亏
      • 参与分配对象总数=两次亏数之差÷两次分得的差
    • 一盈一正
      • 参与分配对象总数=盈÷两次分得的差
    • 一正一亏
      • 参与分配对象总数=亏÷两次分得的差
    • 一盈一亏
      • 参与分配对象总数=（盈+亏）÷两次分得的差
    • 分配物品的总数=每个分配对象分得的数量×参与分配的对象总数±盈/亏
  • 鸡兔同笼
    • 假设全是鸡
      • 兔的只数=（总足数-2×总头数）÷2
      • 鸡的只数=总头数-兔的只数
    • 假设全是兔
      • 鸡的只数=（4×总头数-总足数）÷2
      • 兔的只数=总头数-鸡的只数
  • 浓度问题
    • 溶液浓度=溶质的质量/溶液的质量×100%
    • 溶质质量+溶剂质量=溶液质量