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这是一篇关于数学知识体系的思维导图,主要内容包括:代数,运算,数,单位,几何,统计,应用。是一份非常有价值的学习资料。
编辑于2025-03-13 12:42:25这是一篇关于数学知识体系的思维导图,主要内容包括:代数,运算,数,单位,几何,统计,应用。是一份非常有价值的学习资料。
这是一篇关于现代文学家谱系的思维导图,通过思维导图,提供了直观的了解方式,展示了他们之间的关联以及各自的主要成、社会地位、及主要作品。
这是一篇关于明太祖.朱元璋[洪武]1328年10月21日-1398的思维导图,明太祖朱元璋(1328年10月21日~1398年6月24日),字国瑞,原名朱重八、朱兴宗,濠州钟离(今安徽凤阳)人,汉族。他是明朝的开国皇帝,年号“洪武”,在位时间为1368年至1398年。
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这是一篇关于数学知识体系的思维导图,主要内容包括:代数,运算,数,单位,几何,统计,应用。是一份非常有价值的学习资料。
这是一篇关于现代文学家谱系的思维导图,通过思维导图,提供了直观的了解方式,展示了他们之间的关联以及各自的主要成、社会地位、及主要作品。
这是一篇关于明太祖.朱元璋[洪武]1328年10月21日-1398的思维导图,明太祖朱元璋(1328年10月21日~1398年6月24日),字国瑞,原名朱重八、朱兴宗,濠州钟离(今安徽凤阳)人,汉族。他是明朝的开国皇帝,年号“洪武”,在位时间为1368年至1398年。
数学 知识体系
代数
等式(定义:表示两个数量或算式相等的式子叫做等式)
方程(定义:含有未知数的等式叫方程)
比(定义:两个数相除又叫做两个数的比)
比的意义
a:b=c(b≠0)
a为前项,:为比号,b为后项,c为比值
与分数、除法的关系
比例
基本性质
比例定理
反向定理
更比定理
合比定理
分比定理
合分比定理
正/负比例
正比例
负比例
运算
方法
加法(定义:把两个数合并成一个数的运算)
名称
加数
和
公式
加法交换律:a+b=b+a
加法结合律:a+b+c=a+(b+c)=b+(a+c)
加数+加数=和
求总数:部分数+另一部分数=总数
加数=和-另一个加数
求剩余数:总数-部分数=另一部分数
减法(定义:已知两个数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算)
名称
被减数
减数
差
公式
减法性质:a-b-c=a-(b+c)
带号搬家:a-b-c=a-c-b
差=被减数-减数
求两数的差:大数-小数=相差数
减数=被减数-差
求比一个数少几的数:大数-相差数=小数
被减数=减数+差
求比一个数多几的数:小数+相差数=大数
小数加减:小数点对齐 分数加减:分母相同,分子相加减;若分母不同先通分。
乘法(定义:求几个相同加数的和的简便运算)
名称
因数
积
公式
乘法交换律:a×b=b×a
乘法结合律:a×b×c=a×(b×c)=b×(a×c)
乘法分配律:(a±b)×c=a×c±b×c
积=因数×因数
求几个相同加数的和:每份数×份数=总数
因数=积÷另一个因数
把一个数分成几份,求每份是多少:总数÷份数=每份数
除法(定义:已知两个数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算)
名称
被除数
除数
商
余数
公式
除法性质:a÷b÷c=a÷(b×c),(b≠0,c≠0)
带号搬家:a÷b÷c=a÷c÷b,(b≠0,c≠0)
商不变规律: a÷b=(a÷c)÷(b÷c),(b≠0,c≠0) a÷b=(a×c)÷(b×c),(b≠0,c≠0)
商=被除数÷除数
求一个数是另外一个数的几倍:几倍数÷1倍数=倍数
除数=被除数÷商
求1倍数:几倍数÷倍数=1倍数
被除数=商×除数
被除数=除数×商+余数
除数=(被除数-余数)÷商
小数加减:先按整数乘法法则相乘,再按被乘数和乘数一共几位小数,从右边起点小数点。对于除法,先将除数变为整数,对应被除数也向右移动几位,再计算。 分数乘除:分子相乘积做分子,分母相乘积做分母。对于除法等于分数乘这个数的倒数
指数函数
平方(定义:一个数的平方是此数与它的本身相乘所得的乘积,也可视为求指数为2的幂的值。)
平方等于它本身的数是0、1
立方(定义:三个相同的数相乘,叫做这个数的立方)
立方等于它本身的数有0、1、-1 正数的立方是正数,0的立方是0,负数的立方是负数
y=a^x(a>0且a≠1) (x∈R)
顺序
先乘除后加减,有括号的先小括号后中括号最后大括号
数
整数
正整数
0
自然数
分类1
奇数(定义:不能被2整除的自然数)
例:1、3、5、7、9......
偶数(定义:能被2整除的自然数)
例:0、2、4、6、8........
性质
加减法
奇数±奇数=偶数
偶数±偶数=偶数
奇数±偶数=奇数
乘法
奇数×奇数=奇数
偶数×偶数=偶数
奇数×偶数=偶数
分类2
质数/素数(定义:只有1和它本身两个因数的自然数)
例:2、3、5、7、11......
最小的质数是2 所有的质数中,只有2是偶数
合数(定义:除了1和它本身,还有别的因数的自然数)
例:4、6、8、9、10......
最小的合数是4
1
1既不是质数,也不是合数
0
分类3
能被1整除
任何自然数
例:0、1、2
能被2整除
个位数字是0、2、4、6、8的数
例:0、118
能被3整除
各位上数字的和能被3整除的数
例:0、57
能被4整除
一个数的末两位数能被4整除
例:0、516
能被5整除
个位数字是0、5的数
例:0、20
能被7整除
一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数字的2倍,结果差是7的倍数,则该数能被7整除。
例:0、133
能被8整除
一个数的末三位数能被8整除
例:0、1064
能被9整除
各位上数字的和能被9整除的数
例:0、981
能被10(2和5)整除
个位数字是0的数
例:0、230
能被11整除
偶数位的数字和与奇数位的数字和相减,所得的差能被11整除,则该数能被11整除。
例:0、517、715
能被13整除
一个数的末三位数与这个数去掉末三位数后得到的数之差是13的倍数
例:0、1599
能被25整除
一个数的末两位数能被25整除
例:0、1175
能被125整除
一个数的末三位数能被125整除
例:0、1250
......
整数a除以整数b(b≠0),除得的商为整数且没有余数,则就说a能被b整除或b整除a 0能被任何数整除,结果得0
除尽
两个数相除,所得的商是整数或有限小数,且没有余数,就是除尽
自然数的意义: 基数:表示实物的多少,例:3个 序数:表示实物的次序,例:第3个
最大/小数
最小的数是0,没有最大自然数 1是自然数的基本单位 一位数:最小的是1,最大的是9 两位数:最小的是10,最大的是99 三位数:最小的是100,最大的是999
负整数
整数的个数是无限的,没有最大、最小的整数
分数
分类
真分数(定义:分子比分母小的分数)
带分数(定义:由整数和真分数组成的分数)
假分数(定义:分子比分母大或者相等的分数)
可互化
小数
按整数部分划分
纯小数(定义:指整数部分为0的小数)
例:0.34
带小数(定义:指整数部分不为0的小数)
例:3.14
按小数部分划分
有限小数(定义:小数部分后有有限个数位的小数)
例:0.34
无限小数(定义:小数部分后有无限个数位的小数)
循环小数(定义:从小数部分的某1位起,1个数字或几个数字依次不断的重复出现)
纯循环小数
例:
混循环小数
例:
不循环小数(定义:小数部分有无限多个数字,且没有依次不断地重复出现的1个数字或几个数字)
例:
百分数(定义:一个数是另一个数的百分之几,那么这个数叫做百分数)
成数(表示生产或经营增长情况的一种记数或记量简称)
例:60%(六成)
折扣(把商品按原定价格扣除一个百分数出售)
例:80%(八折)
基本性质
其他
因数(定义:如果y能被x整除(x不等于0),则x就叫做y的因数)
公因数(定义:y和z公有的因数,叫做y和z的公因数)
最大公因数(定义:在y和z所有的公因数中,最大的一个就是y和z的最大公因数)
约分(定义:把一个分数化成和它本身相等,但分子和分母都比较小的分数,叫做约分)
互质数(定义:两个数的公因数仅为1)
2和任何奇数都是互质数 1是所有非0自然数都是互质数 两个不同的质数互质 相邻的两个自然数互质 相邻的两个奇数互质
最简分数(定义:一个分数的分子和分母是互质数)
1是所有非0自然数的公因数 1的倒数是他本身
一个数的因数,n个数的公因数/最大公因数均是有限的
倍数(定义:如果y能被x整除(x不等于0),则y就叫做x的倍数)
公倍数(定义:y和z公有的倍数,叫做y和z的公倍数)
最小公倍数(定义:在y和z所有的公倍数中,最小的一个就是y和z的最小公倍数)
通分(定义:把n个异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数)
一个数的倍数,n个数的公倍数是无限的 n个数的最小公倍数是有限的
求最大公因数/最小公倍数,应运用分解质因数(短除法)的方法
神奇数字
走马灯数:142857
据说在埃及胡夫金字塔中发现: 若将它分别乘以1-6,会像走马灯一样循环显示; 若将它乘以7,则得到999999
缺8数:12345679
“清一色”:乘数是1至81中9的倍数
例:12345679×9=111111111
......
例:12345679×81(9×9)=999999999
“三位一体”:乘数12-78中3的倍数,但不是9的倍数的数
例:12345679×12=148148148
......
例:12345679×78=962962962
"轮流休息"
乘数1-9(b)中不是3或9的倍数,得数会缺少0和除3、6、9以外的一位数字(9-b)。
例:12345679×1=12345679(缺0和8)
......
例:12345679×b=???????(缺0和9-b)
乘数10-17(ab)中不是3或9的倍数,得数会缺少除3、6、9以外的一位数字(9-a÷10-b)
例:12345679×10=123456790(缺8(9-1-0))
......
例:12345679×ab=???????(缺9-a÷10-b)
单位
计数单位 (进率都是10)
个、十、百、千、万、十万、百万、千万、 亿、十亿、百亿、千亿 、兆、十兆、百兆、千兆、
京、十京、百京、千京、垓、十垓、百垓、千垓、 秭、十秭、百秭、千秭、穰、十穰、百穰、千穰、 沟、十沟、百沟、千沟、涧、十涧、百涧、千涧、 正、十正、百正、千正、载、十载、百载、千载、 极、十极、百极、千极、
恒河沙、十恒河沙、百恒河沙、千恒河沙、 阿僧祗、十阿僧祗、百阿僧祗、千阿僧祗、 那由他、十那由他、百那由他、千那由他、 不可思议、十不可思议、百不可思议、千不可思议、 无量大海、十无量大海、百无量大海、千无量大海、 大数、十大数、百大数、千大数......
长度
公制
名称
毫米(mm)、厘米(cm)、分米(dm)、米(m)、千米/公里(km)
换算
1米=10分米=100厘米=1000毫米
1千米/公里=1000米
市制
1市里=0.5公里=500米
3市丈=10米
3市尺=1米
3市寸=10厘米
角
名称
度(°)
面积
公制
名称
公顷(ha)、平方千米/公里(km2)、平方米(m2)、平方分米(dm2)、平方厘米(cm2)、平方毫米(mm2)
换算
1平方千米(公里)=100公顷=100万平方米
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1公顷=10000平方米
市制
1市亩=0.0667公顷
体积
公制
名称
立方米(m3)、立方分米(dm3)、立方厘米(cm3)
换算
1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米
容积
公制
名称
毫升(ml)、升(l)
1升=1立方分米=1000毫升
1毫升=1立方厘米
重量
公制
名称
克(g)、千克/公斤(kg)、吨(t)
换算
1千克/公斤=1000克
1吨=1000千克/公斤
市制
1市斤=500克
1市两=50克
日期
名称
世纪(c.)、年(yr.)、季度、月、旬、日
换算
1世纪=100年
1年=12个月
1月=30天(约)
上旬:1-10日;中旬:11-20日;下旬:21-月底
1星期=7日
时间
名称
时(h)、分(min)、秒(s)
换算
1分=60秒
1时=60分
货币
人民币
名称
元、角、分
换算
1元=10角
1角=10分
价格
名称
元/公斤、元/斤、元/个
速度
名称
公里(千米)/时、米/时、米/分、米/秒
换算
1米/秒=60米/分=3600米/时=3.6公里/时
几何
点
线
曲线(任何一根连续的线条都称为曲线。
直线(特点:没有端点,长度无限,不能度量)
射线(特点:1个端点,长度无限,不能度量)
线段(特点:2个端点,长度有限,可以度量)
折线(特点:多条线段顺次收尾依次相接组成的曲折连线)
圆弧(特点:圆上任意两点间的部分)
垂线(特点:相交的两条直线相交成直角,互相垂直,两条直线交点叫垂足)
平行线(特点:不相交的两条直线相互平行,距离处处相等,平行线间垂直线段最短)
角
分类
锐角
小于90°
直角
90°
钝角
大于90°且小于180°
平角
180°
优角
大于180°且小于360°
周角
360°
补角
两个角的和是180°
余角
两个角的和是90°
平面
三角形(内角和180度,两个边长度的和必然大于第三边,两个边长度的差小于第三边,具有稳定性)
分类
按边分类
普通三角形(定义:三条边都不相等的三角形)
等腰三角形(定义:至少有两边相等的三角形)
等边三角形(定义:三条边的长度都相等的三角形)
按角分类
锐角三角形(定义:三个内角都是锐角的三角形)
直角三角形(定义:有一个角是直角的三角形)
边长
钝角三角形(定义:有一个角是钝角的三角形)
度量
周长
C=a+b+c
C为周长,a、b、c是三角形的三条边
面积
S=½ah
S为面积,a为底,h为高
四边形
分类
平行四边形(性质:对边平行且相等,两棱角互补,两条对角线相互平分的封闭图形,是中心对称图形)
长方形/矩形(性质:对边相等,对边平行,邻边垂直的封闭图形)
正方形(性质:两组对边分别平行,四条边都相等,四个角都是90度,对角线互相垂直、平分且相等的封闭图形)
度量
周长
C=4a
面积
S=
C为周长,S为面积,a为边长
菱形(性质:四条边相等,两棱角互补,两条对角线相互平分的封闭图形,是轴对称图形)
度量
周长
C=4a
面积
S=ah=½Dd
C为周长,S为面积,a为底,h为高,D、d分别为长、短对角线
度量
周长
C=2(a+b)
面积
S=ab
C为周长,S为面积,a为长,b为宽
度量
周长
C=(a+h)×2
面积
S=ah
C为周长,S为面积,a为底,h为高
梯形(性质:只有一组对边平行的四边形)
不规则梯形
直角梯形(性质:一个腰垂直于底,其中两个角是直角)
等腰梯形(性质:两条腰相等,是轴对称图形)
度量
周长
a+b+c+d
面积
½(a+b)h
C为周长,S为面积,a为上底,b为下底,h为高,c、d为两个腰
圆形(性质:有无数条半径和无数条直径,且同圆内圆半径长度永远相等,是轴对称/中心对称图形)
扇形(性质:半径相等,弧长是圆的周长的一部分)
度量
周长
面积
π为圆周率,C为周长,S为面积,n为扇形圆形角,r为半径
圆环(性质:一个空心的圆)
度量
周长
C=2π(R+r)
面积
π为圆周率,C为周长,S为面积,R为外圆半径,r为内圆半径
椭圆(性质:圆锥曲线的一种,即圆锥与平面的截线。)
度量
周长
C=2πb+4(a-b)
面积
S=πab
π为圆周率,C为周长,S为面积,a为长半轴长,b为短半轴长
度量
周长
C=2πr=πd
面积
π为圆周率,C为周长,S为面积,r为半径,d为直径
立体
长方体(性质:有6个面,每组相对的面完全相同,有12条棱,8个顶点)
正方体(性质:有6个面,每个面完全相同,有12条棱,8个顶点)
度量
表面积
体积
S为表面积,V为体积,a为棱长
度量
表面积
S=2(ab+ah+bh)
体积
V=abh
S为表面积,V为体积,a、b、h分别为长、宽、高
圆柱体(性质:两个底面是半径相等的圆,侧面展开的图是长方形)
圆锥体(性质:侧面是曲面,只有1条高)
度量
表面积
体积
S为面积,V为体积,r为圆锥底面半径,l为母线长,h为高
度量
侧面积
表面积
体积
S为面积,C为底面周长,V为体积,r为底面半径,h为高
球体(性质:球的截面是圆,任意一点到球心的距离等于半径)
度量
表面积
体积
S为面积,V为体积,r为半径
统计
运动
平移(定义:在平面内,将一个图形沿着某个方向移动一定距离,叫图形的平移)
旋转(定义:物体围绕一个点或一个轴做圆周运动)
应用
平均数应用题
普通
总数量=平均数×总份数
平均数=总数量÷总份数
总份数=总数量÷平均数
等差数列
和=(首项+尾项)×项数÷2
平均数=(首项+尾项)÷2
和、差、倍问题
和差问题
(和+差)÷2=较大数
(和-差)÷2=较小数
和倍问题
和÷(1+倍数)=一倍量
一倍量×倍数=另一个数
差倍问题
数量差÷倍数差=一倍量
一倍量×倍数=另一个数
植树问题
沿直线线段植树
段数=棵数-1
总距离=棵距×(棵数-1)
棵距=总距离÷(棵数-1)
棵数=总距离÷棵距+1
只有一端植树
总距离=棵距×棵数
棵数=总距离÷棵距
沿封闭式圆曲线植树
总距离=棵距×棵数
棵数=总距离÷棵距
棵距=总距离÷棵数
行程问题
普通
路程=速度×时间
时间=路程÷速度
速度=路程÷时间
相遇
总路程=速度和×相遇时间
相遇时间=总路程÷速度和
速度和=总路程÷相遇时间
追及
路程差=速度差×追及时间
追及时间=路程差÷速度差
速度差=路程差÷追及时间
流水行船
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
船速=(顺水速度+逆水速度)÷2
水速=(顺水速度-逆水速度)÷2
火车行驶
普通
过桥时间=(桥长+车长)÷火车速度
火车速度=(桥长+车长)÷过桥时间
桥长+车长=火车速度×过桥时间
相向而行
相遇时间=(车长+车长)÷速度和
速度和=(车长+车长)÷相遇时间
车长+车长=速度和×相遇时间
同向而行
追及时间=(车长+车长)÷速度差
速度差=(车长+车长)÷追及时间
车长+车长=速度差×追及时间
时钟问题
两指针成直线需要的时间=(原来两指针的间隔格数±30)÷(1-1/12)
两指针成直角需要的时间=(原来两指针的间隔格数±15或45)÷(1-1/12)
两指针重合需要的时间=原来两指针的间隔格数÷(1-1/12)
年龄问题
几年后年龄=大小年龄差×倍数差-小年龄
几年前年龄=小年龄-大小年龄差×倍数差
工程问题
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率
盈亏问题
两盈
参与分配对象总数=两次盈数之差÷两次分得的差
两亏
参与分配对象总数=两次亏数之差÷两次分得的差
一盈一正
参与分配对象总数=盈÷两次分得的差
一正一亏
参与分配对象总数=亏÷两次分得的差
一盈一亏
参与分配对象总数=(盈+亏)÷两次分得的差
分配物品的总数=每个分配对象分得的数量×参与分配的对象总数±盈/亏
鸡兔同笼
假设全是鸡
兔的只数=(总足数-2×总头数)÷2
鸡的只数=总头数-兔的只数
假设全是兔
鸡的只数=(4×总头数-总足数)÷2
兔的只数=总头数-鸡的只数
浓度问题
溶液浓度=溶质的质量/溶液的质量×100%
溶质质量+溶剂质量=溶液质量