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高中必修一数学
高中必修一数学核心知识点，涵盖核心内容，非常方便大家学习。适用于考试复习、预习，提高学习效率。赶紧收藏一起学习吧！
编辑于2025-03-22 13:54:42- 高中数学
- 指对函数
- 三角函数处理
- 相似推荐
- 大纲
高中数学必修一
集合与逻辑
含义
概念
元素组成的整体
元素与集合的关系
∈（属于）和∉（不属于）
三要素
确定性：指集合中的元素必须明确且唯一，即对于任意对象，可以明确判断它是否属于该集合。 互异性：要求集合中的元素必须互不相同，即同一元素不能重复出现。 无序性：无序性指集合中的元素排列顺序不影响集合本身。
分类
有限集：有有限个元素 无限集：有无限个元素 空集：∅（没有任何元素 满足三要素）
表示
列举法：A={a,b,c,…} 描述法：A={x|x∈R} Venn图：画图略
基本关系
包含关系
子集
A⊆B（或B⊇A）叫做A包含于B（或B包含A）
真子集
A⊂B（或B⊃A） 叫做A真包含于B
空集与集合的关系
空集是任何集合的子集
个数
子集个数
2n个
真子集个数
2n-1个
非空子集个数
2n-1个
非空真子集个数
2n-2个
相等关系
元素相同（排列可以不同）
互为子集
基本运算
交集运算
A∩B={x|x∈A,且x∈B} 即一个元素既属于A又属于B
A⊆B 则A∩B=A
A∩∅=∅
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C 我们可以推广到任意个集合的交集运算
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
并集运算
A∪B={x|x∈A,或x∈B} 即一个元素来自于A或来自于B 重复的元素只写一次
A⊆B 则A∪B=B
A∪∅=A A∪A=A
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
若A∩B=∅ 则card(A∪B)=card(A)+card(B)
补集运算
CUA={x|x∈U,且x∉A} 即一个元素属于U 但不属于A
A ∪ ∁UA = U
A ∩ ∁UA = ∅
∁U(∁UA) = A
∁UU = ∅
∁U∅ = U
∁U(A ∩ B) = ∁UA ∪ ∁UB
∁U(A ∪ B) = ∁UA ∩ ∁UB
复杂运算
对称差集
定义
两个集合中仅属于其中一个集合的元素 即消除公共部分
运算
A⊕B = (A∪B)−(A∩B)
A⊕B = (A−B)∪(B−A)
元素个数
定义
集合的元素个数（即集合的基数，记作 |A| 或 card(A)）
运算
|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|
我们可以推广到n个集合
笛卡尔积
定义
两个集合所有元素的有序对组合
运算
A×B = {(a,b) | a∈A, b∈B}
一般不考 记第2个 第2个是容斥原理
量词条件命题
条件
充分条件
定义
若A成立，则B必然成立（A能保证B发生）
理解
A是B的充分条件 ≡ B是A的必要条件 即A⊆B A就是B的充分条件
必要条件
定义
若B成立，则A必然成立（A是B发生的前提）
理解
B是A的必要条件 ≡ A是B的充分条件 即B⊆A B就是A的必要条件
充要条件
定义
A和B互为充分必要条件
理解
A → B 且 B → A 即A=B A与B互为充要条件
既不充分也不必要条件
定义
A与B之间无必然逻辑联系
有它就行 没它不行 互为充要 两者随意
命题
命题
定义
如果P，则Q 记作P→Q
真命题
定义
P为真时Q必为真的命题
假命题
定义
存在P为真时Q为假的命题
逆命题
定义
如果Q，则P 记作Q→P
否命题
定义
如果¬P,则¬Q 记作¬P→¬Q
逆否命题
定义
如果¬Q，那么¬P 记作¬Q→¬P
量词
全称量词
含义
表示某个命题对指定范围内的所有个体都成立
符号
∀（读作：任意）
存在量词
含义
表示某个命题在指定范围内至少存在一个个体成立
符号
∃（读作：存在）
一元二次函数、方程及不等式
不等式的性质
九大性质
对称性
若a>b 则b<a
传递性
若a>b,b>c 则a>c
可加性
若a>b 则a±c>b±c
可乘性
若a>b,c>0 则ac>bc(或a/c>b/c)
若a>b,c<0 则ac<bc(或a/c<b/c)
同向不等式可加性
若a > b ，c > d ，那么a + c > b + d
同向正值不等式可乘性
若a > b>0 ，c > d>0 ，那么ac > bd
正值不等式可乘方
若a > b>0 ，n∈N，n > 1 ，那么an>bn
正值不等式可开方
若a > b>0 ，n∈N，n≥2，那么n√a>n√b
倒数法则
若a > b ，ab>0 ，那么1/a<1/b
比大小
作差比较大小
若a-b>0 则a>b
若a-b=0 则a=b
若a-b<0 则a<b
作商比较大小
一定是同号！
若a/b>1 则a>b
若a/b=1 则a=b
若a/b<1 则a<b
基本不等式
a+b/2≥√ab 当且仅当a=b时取等号
一正二定三相等
延伸
拓展1
a1+a2+…+an/n≥n√a1a2…an 当且仅当a1=a2=…=an时取等号
√a2+b2/2≥a+b/2≥√ab≥2/(1/a)+(1/b) 当且仅当a=b时取等号（a,b>0）
糖水不等式
a+m/b+m>a/b(a>b>0,m>0)
柯西不等式
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 当且仅当ac=bd时取等号
(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2 存在实数k 使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时取等号
权方和不等式
a2/x+b2/y≥(a+b)2/x+y 当且仅当a2/x=b2/y时取等
a1m+1/b1m+a2m+1/b2m+1+…+anm+1/bnm≥(a1+a2+…+an)m+1/(b1+b2+…+bn)m 当且仅当a1m+1/b1m=a2m+1/b2m=…=anm+1/bnm时取等
三角不等式
|sinx|≥1
绝对值不等式
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| 当且仅当a和b同号(或至少一个为0)取等
“1”的妙用
利用已知条件中的“1”
构造“1”作为乘积或分母
变量替换引入“1”
利用“1”进行放缩
一元二次不等式
二次函数解析式
高次不等式
奇穿偶不穿
奇次方时穿过数轴 偶次方时不穿过数轴 区间符号看题目 如果带等号就是[] 不带等号就是()
函数的概念与性质
含义
映射
定义
是数学中描述两个集合之间元素对应关系的概念，通常记为：f：A→B
三要素
定义域：即所有输入元素的集合 A就是定义域
对应关系：f
陪域：即输出元素的取值范围 B为陪域
表示
f(a)=b
b=f(a)称为a的像 若b=f(a)那么a称为b的一个原像
值域：所有像的集合 即{f(a)|a∈A} 是陪域B的一个子集
类型
单射
不同的x对应不同的y。
满射
每个y都有对应的x。
双射
既是单射也是满射
不学也不考 根本可以不用看
概念
两个非空数集之间的对应关系，满足唯一确定 表示为y=f(x)
三要素
定义域
对应关系
值域
表示方法
解析式法
图表法
列表法
常见类型
初等函数
一次函数
解析式
f(x)=ax+b (a≠0)
二次函数
解析式
f(x)=ax2+bx+c (a≠0)
根指函数
解析式
f(x)=n√x (n≥2)
幂函数
解析式
f(x)=xa
指数函数
解析式
f(x)=ax (a≠1)
对数函数
解析式
f(x)=logax (a≠1)
三角函数
正弦
f(x)=sinx
余弦
f(x)=cosx
正切
f(x)=tanx
余切
f(x)=cotx
正割
f(x)=secx
余割
f(x)=cscx
复合函数
反函数
f-1(x)
绝对值函数
f(x)=|x|
取整函数
分段函数
分离常数法
当f(x)=ax+c/bx+d (a/b=k)时 则f(x)=ax+dk+c-dk/bx+d=k+c-dk/bx+d
性质
单调性
当x1<x2时
f(x1)≤f(x2)
f(x)为非严格递增函数
f(x1)<f(x2)
f(x)为严格递增函数
f(x1)≥f(x2)
f(x)为非严格递减函数
f(x1)>f(x2)
f(x)为严格递减函数
高中阶段一般都是 对任意x1<x2 f(x1)<f(x2)为增 对任意x1<x2 f(x1)>f(x2)为减
奇偶性
奇函数
关于原点对称
f(-x)=-f(x)
eg：sinx,xa(a∈2n+1,n∈N)
偶函数
关于y轴对称
f(x)=f(-x)
eg：cosx,xa(a∈2n,n∈N)
非奇非偶函数
eg：x+n(n∈R,且n≠0)
周期性
存在一个正数T ，使得对于定义域内的任意x ，都有f(x +T) = f(x) ，其中最小的正数 T 被称为最小正周期。
我们把这种函数就叫做周期函数 具有周期性
连续性
在定义域内的每一个点x0处，都满足limx→x0f(x) = f(x0)
也就是说函数图像没有间断的地方
可导性
如果函数在某一点x0处的导数 f'(x0)存在，那么就称函数在该点可导
可导的函数一定是连续的，但连续函数不一定可导
凹凸性
凹函数
函数图像向上凹 满足f(x1+x2/2)≥f(x1)+f(x2)/2
凸函数
函数图像向下凸 满足f(x1+x2/2)≤f(x1)+f(x2)/2
琴生不等式
对称性
eg：f(x)=sinx 关于直线x=π/2+2kπ(k∈Z)对称
反函数
偶函数通常无反函数
定义
设函数y=f(x)的定义域为D，值域为R。若存在一个函数 y = f-1(x) ，使得对于R中的每一个y，在D中都有唯一的x满足f(x)=y，则称f-1(x)是f(x)的反函数
一定是双射函数！！
单调性
若原函数严格单调递增（或递减），则反函数也严格单调递增（或递减）
奇偶性
若原函数是奇函数，则其反函数也是奇函数；偶函数通常没有反函数（除非定义域对称且为常函数）
运算
f(f-1(x))=x(定义域是f-1(x)的值域)
f-1(f(x))=x(定义域是f(x)的定义域)
幂函数
解析式
f(x)=xa
定义域
当a∈Z或a∈N时
R(但a=0时x≠0)
当a为负数时
x≠0
当a为分数时
保证根号内非负
值域
当a∈2n(n∈N)时
[0,+∞)
当a∈2n+1(n∈N)时
R
特殊
a=1
a=2
a=3
a=-1
a=1/2
a=0
单调性
若a>0 则函数在(0,+∞)上递增
若a<0 则函数在(0,+∞)上递减
奇偶性
若a∈2n(n∈N)
偶函数
若a∈2n+1(n∈N)
奇函数
若a为分数或无理数
通常来讲为非奇非偶函数
凹凸性
二阶导判断
若a>1或a<0，函数在(0, +∞)上是凸函数
若0<a<1，函数在(0,+∞)上是凹函数
过定点(1,1) 若a>0 x=0处的函数值为0（定义域包含0）
对勾函数与飘带函数
解析式
f(x)=ax+b/x(a>0,b>0)
对勾函数
定义域
{x|x≠0}
值域
(-∞,-2√ab]∪[2√ab,+∞)
单调性
(-∞,-√b/a]∪[√b/a,+∞)递增
[-√b/a,0)∪(0,√b/a]递减
奇偶性
奇函数
图像特征
以x=0为渐近线
以y=ax为渐近线
f(x)=ax+b/x(a>0,b<0)
飘带函数之一！
定义域
{x|x≠0}
值域
R
单调性
(-∞,0)∪(0,+∞)递增
奇偶性
奇函数
图像特征
以x=0为渐近线
以y=ax为渐近线
函数变换
平移变换
左加右减自变量，上加下减常数项
对称变换
关于x轴对称
f(x)→-f(x)
关于y轴对称
f(x)→f(-x)
关于原点对称
f(x)→-f(-x)
关于y=x对称
f(x)=f-1(x)
翻折变换
沿x轴翻折
f(x)→|f(x)|
沿y轴翻折
f(x)→f(|x|)
伸缩变换
横坐标拉伸
函数y=f(x)的图象横坐标变为原来的1/ω(ω>0)倍 (纵坐标不变) 得到y=f(ωx) ω>1为压缩0<ω<1为拉伸
纵坐标拉伸
函数 y=f(x)的图象纵坐标变为原来的 A(A>0) 倍 (横坐标不变)，得到y=Af(x)。A>1为拉伸，0<A<1为压缩
指对函数
指数
运算
a-m/n=1/am/n=1/n√am
am+n=am×an
(am)n=amn
指数函数
解析式
y=ax(a>0,a≠1)
定义域
R
值域
(0,+∞)
奇偶性
非奇非偶函数
单调性
当a>1时
单调递增
当0<a<1时
单调递减
定点
(0,1)
对数
运算
logaM+logaN=loga(MN)
logaM-logaN=loga(M/N)
logaMn=nlogaM
logab=logcb/logca(c>0 c≠1)
alogaN=N
logab·logba=1
logambn=n/m logab
对数函数
解析式
y=logax(a>0,a≠1)
定义域
(0,+∞)
值域
R
奇偶性
非奇非偶函数
单调性
当a>1时
单调递增
当0<a<1时
单调递减
定点
(1,0)
零点二分法
零点存在定理
条件
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)<0
结论
在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点
二分法
定区间，算中点，缩范围，重迭代
三角函数
重难点！
任意角与弧度制
任意角
定义
由一条射线绕端点旋转形成的角，可表示为所有实数
表示方法
正角
逆时针旋转的角
负角
顺时针旋转的角
零角
未旋转的角
终边相同的角
所有与角 α 终边相同的角可表示为： α + 360°k（k∈Z）
弧度制
定义
用弧长与半径的比值度量角的单位，符号为 rad
三角函数
正弦
sin=y/r
余弦
cos=x/r
正切
tan=y/x
余切
cot=x/y
正割
sec=r/x
余割
csc=r/y
三角恒等变换
多记 多推导
诱导公式
正弦
sin(π-a)=sinx
sin(π+a)=-sina
sin(-a)=-sina
sin(π/2-a)=cosa
sin(π/2+a)=cosa
sin(3π/2-a)=-cosa
sin(3π/2+a)=-cosa
余弦
cos(π-a)=-cosa
cos(π+a)=-cosa
cos(-a)=cosa
cos(π/2-a)=sina
cos(π/2+a)=-sina
cos(3π/2-a)=-sina
cos(3π/2+a)=sina
正切
tan(π-a)=-tana
tan(π+a)=tana
tan(-a)=-tana
tan(π/2-a)=cota
tan(π/2+a)=-cota
tan(3π/2-a)=cota
tan(3π/2+a)=-cota
余切
cot(π-a)=-cota
cot(π+a)=cota
cot(-a)=-cota
cot(π/2-a)=tana
cot(π/2+a)=-tana
cot(3π/2-a)=tana
cot(3π/2+a)=-tana
奇变偶不变，符号看象限，看前不看后 ①a+kπ/2 k为奇数时 sin→cos cos→sin tan→cot k为偶数时 不改变 ②把a想为一限角 旋转到哪个就是哪个 ③看诱导公式之前三角函数对应象限的正负性
二倍角公式
正弦
sin2a=2sinacosa
余弦
cos2a=cos2a-sin2a=1-2sin2a=2cos2a-1
正切
tan2a=2tana/1-tan2a
三倍角公式
正弦
sin3a=3sina-4sin3a
余弦
cos3a=4cos3a-3cosa
正切
tan3a=3tana-tan3a/1-3tan2a
半角公式
正弦
sin(a/2)=±√1-cosa/2
余弦
cos(a/2)=±√1+cosa/2
正切
tan(a/2)=±√1-cosa/1+cosa=sina/1+cosa=1-cosa/sina
辅助角公式
asinα±bcosα=√a2+b2 sin(α+φ) 其中tanφ=b/a
asinωxcosωx±bcos2ωx=(√a2+b2)/2 sin(2ωx±φ)±b/2 其中a>0 b>0 tanφ=b/a
三角函数间关系公式
sin2a+cos2a=1
tana=sina/cosa
1+1/tan2a=1/cos2a
tana*cota=1
(sina±cosa)2=1±2sinacosa
和差公式
正弦
sin(a±b)=sinacosb±cosasinb
余弦
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
正切
tan(a+b)=tana+tanb/1-tanatanb
tan(a-b)=tana-tanb/1+tanatanb
和差化积公式
正弦
sinA+sinB=2sin(A+B/2)cos(A-B/2)
sinA-sinB=2cos(A+B/2)sin(A-B/2)
余弦
cosA+cosB=2cos(A+B/2)cos(A-B/2)
cosA-cosB=-2sin(A+B/2)sin(A-B/2)
积化和差公式
正弦
sinacosb=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)]
cosasinb=1/2[sin(a+b)-sin(a-b)]
余弦
cosacosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]
sinasinb=1/2[cos(a-b)-cos(a+b)]
降幂公式
正弦
sin2a=1-cos2a/2
余弦
cos2a=1+cos2a/2
其它
sinacosb=1/2sin2a
升幂公式
正弦
1-cosa=2sin2a/2
余弦
1+cosa=2cos2a/2
其他
1±sina=(sin(a/2)±cos(a/2))2
万能公式
正弦
sinθ=2tan(θ/2)/1+tan2(θ/2)
余弦
cosθ=1-tan2(θ/2)/1+tan2(θ/2)
正切
tanθ=2tan(θ/2)/1-tan2(θ/2)
三角形内角三角函数公式
sin(A+B)=sinC
cos(A+B)=-cosC
tan(A+B)=-tanC
sin (A+B)/2=cos(C/2)
cos (A+B)/2=sin(C/2)
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
cos2A+cos2B+cos2C+2 cosAcosBcosC =1
tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanA/2tanC/2=1
正切恒等式
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
平方差公式
sin2a-sin2b=sin(a+b)sin(a-b)
cos2a-cos2b=-sin(a+b)sin(a-b)
cos2a-sin2b=cos(a+b)cos(a-b)
常用公式变式
cos2acos4acos8a…cos2na=1/2n×sin2n+1a/sin2a
三角函数的图像与性质
正弦函数
解析式
y=sinx
定义域
R
值域
[-1,1]
单调性
[2kπ-π/2,2kπ+π/2]单增(k∈Z)
[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]单减(k∈Z)
周期性
2π
奇偶性
奇函数
对称性
x=kπ+π/2(k∈Z)
(kπ,0)
余弦函数
解析式
y=cosx
定义域
R
值域
[-1,1]
单调性
[2kπ-π,2kπ]单增(k∈Z)
[2kπ,2kπ+π]单减(k∈Z)
周期性
2π
奇偶性
偶函数
对称性
x = kπ(k∈Z)
(kπ+π/2,0)
正切函数
解析式
y=tanx
定义域
{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}
值域
R
单调性
(kπ-π/2,kπ+π/2)单增(k∈Z)
周期性
π
奇偶性
奇函数
对称性
(kπ/2,0)(k∈Z)
三角型函数的图像与性质
正弦型函数
解析式
y=Asin(ωx+φ)
定义域
R
值域
[-|A|,|A|]
单调性
[2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)单调递增
[2kπ+π/2,2kπ+3π/2](k∈Z)单调递减
周期性
T=2π/|ω|
对称性
x=kπ+π/2(k∈Z)
(kπ,0)
余弦型函数
解析式
y=Acos(ωx+φ)
定义域
R
值域
[-|A|,|A|]
单调性
[2kπ-π,2kπ]单增(k∈Z)
[2kπ,2kπ+π]单减(k∈Z)
周期性
T=2π/|ω|
对称性
x = kπ(k∈Z)
(kπ+π/2,0)
反三角函数
反正弦函数
解析式
y=acrsinx
反余弦函数
解析式
y=arccosx
反正切函数
解析式
y=arctanx
双曲三角函数
双曲正弦函数
解析式
f(x)=ex-e-x/2
双曲余弦函数
解析式
f(x)=ex+e-x/2
双曲正切函数
tanhx=sinhx/coshx
解析式
f(x)=ex-e-x/ex+e-x
拓展
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
余弦定理
a2=b2+c2-2bccosA
张角定理
sin(∠BAC)/AD=sin(∠BAD)/AC+sin(∠CAD)/BC
三余弦定理
cosθ1·cosθ2=cosθ3
三正弦定理
sinθ1·sinθ2=sinθ3
正弦面积公式
1/2absinC