【030】Mathematics

数学（Mathematics ）其中包含应用及资料分析，分别有综合分析、比例类、增长类、统计术语、工程问题、行程问题以及经济问题等。

Math

• 增长类
  • 增长率
    • 现期-基期 ＝ 增长量 基期 基期
    • 现期 -1 基期
    • 当 r≤2% 或 现期 超过 增量50倍以上时，r 可近似看成 增量/现期
    • 增速比较
      • 问哪年增长最快？
        • 在r＞20%时，现期 基期倍数差距大，好算
          • 现期÷基期
      • 问每年增率＞10%有几个？
        • 方法一：增量＞基期×10%
        • 方法二：基期×1.1＜现 → r＞10%
      • 同比增速 与 环比增速 做比较
        • 基期小，增速大
      • 增长率上升：比较增长率；绝对量上升：只要增长率＞0即可
    • Tip：
      • 有正负：增长率=增速=增幅=-5% 减少率=5% 无正负：变化幅度(绝对值率)=5%(增长5% / 减少5%)
      • 2015年比2014年增长了500% =2015年比2014年高5倍 =2015年是2014年的6倍
      • 增长N倍
        • N=增长率，N倍=N×100%
      • 减少率一般不超过100%，除非由正变负
      • 名义增长率
        • 没有去除掉价格变动因素得到的增长率（正常计算）
      • 实际增长率
        • (按年份/按可比价计算）：去除掉价格变动因素得到的增长率
        • 求2018年实际现期=2018年名义现期÷（1+名义r）×（1+实际r）
    • 间隔增长率
      • r1 + r2 + r1r2
        • 其中一个 r 百分数化为分数 = 一个做分母100
        • 一个化小数直接相乘
        • 两个＞10%相乘，结果＞1；10%×10%=1
        • r1和r2都小于10%，可忽略r1×r2
        • 问2013和2015年的增长率
          • r1=2014年增长率 r2=2015年增长率
      • 间隔倍数=1+间隔 r
    • 混合增长率
      • 识别：已知现期，求r →混合增长率
      • 计算：线段法——距离和量成反比 混合之前写两边，混合之后写中间 分析：混合 r 居中但不中，偏向 量/基期 大的
        • 公式
          • 盐(溶质)=盐水(量)×浓度
            • 蒸发、加水 都是溶质不变，浓度不断变化——对溶质赋值
            • 浓度N的溶液到出a%再加满，浓度变为 N×(1-a%)
          • 增长量 =基期(量)×增长率
            • 房/地产 进/出口 1~11＞全年＞12
          • 总数=人数×平均数
          • 利润=成本×利润率
      • 量为分数，求至少，向上取整
        • eg：量=4.2取5
    • 年均增长率
      • 比较年均增长时，若年份差相同，只比较 “现期/基期”
      • 1月~6月~11月，都相差5个月
      • • 求 年均r时 拿选项 从简代入 居中代入
  • 增长量
    • 现期-基期
    • 现期×r 1+r
      • 若r≈ 1 ,则 增长量≈ 现期 N N+1
      • 若r≈ 1 ,则 减少量≈ 现期 - N N－1
      • 误差：同大同小； r 算大，量则大 （背分数转换表1/15、1/16）
      • 百分数和分数转换表
        • 1/15=6.7%，1/16=6.25%，1/5.5=18.5%
        • 技巧：近似相等、近似取中、倍数转化、相互转化100%对换
    • 基期×r
    • 增量比较时，1+r差不多大，只比较“现期×r”即可
      • "大大则大"
      • “一大一小”看速度 谁速度大听谁的
      • 放缩比较
        • 一个乘数扩大跟比较对象一样，另一个乘数缩小相应倍数
      • 排序题
        • 减量排序：两两排序 -10＞-20
        • 增量排序：正＞负
      • 量尺题干图：柱状图形高度差
    • Tip
      • 提问是从大到小
        • 优先看选项最大/最小，能区分4个选项各不相同
      • 提问：销量环比下跌的月份有几个？
        • 求增长量下降的月份 注意求1月份=用当年12月份求出基期，再与1月对比
    • 间隔增长量
      • 现期×间隔r = 现期 1＋间隔r N+1
    • 年均增长量
      • “十三五”规划（2016－2020年）
      • （现期-基期）÷年份差
  • 现期
    • 基期×(1+r)
    • 基期量+增长量
    • 保持增量不变
      • 算出增量，逐年递增
    • 保持增速不变
      • C=B²+A
        • A过去，B现在，C未来
      • 答案高于“保持增量不变”
    • 现期追赶
      • 可以蒙第二年/第二小的答案
  • 基期
    • 现期 1+r
      • r＜5%时，则 现期 ≈ 现期×(1-r) 1＋r
      • 当r＜1%，可以不算，现期≈基期
      • 其他情况下，则截位，直除
    • 现期-增长量
    • 间隔基期（前年）
      • 提问：两年前的基期量是多少？
        • 现期 1+间隔r
        • 现期 1+现r1 1+去r2
    • 基期比重
      • A × 1+b B 1+a
    • Tip
      • 注意：提问基期
        • 2013年1~5月（基期）支出最多的三类是？
• 比例类
  • 比重类
    • 现期比重
      • 局部 整体
        • 占前 占后
        • 局部＞整体，比重上升；反之下降
        • “先看选项再算”
    • 基期比重
      • 基期比重 基期倍数 基期平均
        • A × 1+b B 1+a
        • 两边分开算，算A/B即可
          • 1+b 看整体＞1，＜1，＝1 1+a
            • a，b增长率接近 相当于=1
            • a＞b 相当于 整体＜1；a＜b 相当于 整体＞1
          • 1+b当a≈b时，（a,b相差≤5%）可以近似看做1+(b-a) 1+a
        • 迷惑选项：有选项=A÷B，该选项和正确选项接近
    • 两期比重
      • 识别：两个时期，一个比重
        • A × a-b B 1+a
          • a＞b 上升； a＜b 下降；
          • a=b,两期不变
          • 比重变化＜|a-b
      • 两期比重=平均数增长量
      • 两期比重：先看正负，再选最小
  • 平均倍数类
    • 3月比1月低≠1月比3月高比字后面为分母
    • 占前÷占后
    • “每”字之后为分母
      • “平均每人”
    • 平均
      • Tip
        • 5~10个数求平均数：削峰填谷
        • 注意：平均数可能要除两次
      • 现期平均
        • 均后÷均前
          • 人均、月均
          • 出现几次均除几次
          • 总数÷个人
          • 当年 美元的 年平均价 是多少人民币？
        • 识别：当年年份+平均
      • 基期平均
        • A×1+b B 1+a
          • 当a≈b时，（a,b相差≤5%）可以近似看做1+(b-a)
          • 切记：基期平均 记得✖️后半部分（大于1/小于1）
      • 两期平均
        • 识别：两个时间+平均（均、每）
        • 两期比重=平均数增长量=现均-基均
          • A × a-b B 1+a
        • 两期平均 提问：2014年(现期)商品房 平均销售价格 高于 上年同期水平的 地区有几个？
          • 平均销售价格= 商品房销售额 商品房销售面积
        • 平均数增长率
          • a-b 1+b
            • 当选项差距较大时，可以忽略1+b
            • a=分子增速 b=分母增速
              • a＞b，上升；a＜b，下降
          • 提问：商品房单位面积的平均销售价格均比上年增长了？% 2015年(现期)从业人员人均完成收入约比上年同期增长？%
    • 倍数
      • A是B的几倍？
        • A B
      • A比B高几倍？
        • A -1 B
      • 基期倍数
        • A × 1+b B 1+a
• 综合分析类
  • 坑
    • 提问
      • 能够推出 / 不能推出
      • 说法正确 / 说法错误
      • 几个项目的现期r均为增长——表示“小幅增长” 未知去年r ，不能选“匀速发展”、“持续增长”
      • 求“数字之前的差值”=绝对值
        • 求2015年12月
          • 2016年1 环比 r 2016年1
        • 同年1月对比：
          • 2016年1 同比 r 2016年1
        • 基期小，增速大
      • 2017年 的同比增速 比2016年 快多少？
        • 求2017年的r - 2016年的r
    • 选项
      • 局部和整体
        • 题干：表格里面有全国，提问只问地区
        • 问从大到小进行排序：问城镇和农村花费时间占比 a＞b＞c＞d 选项 要城镇和农村的abcd占比大小 都是按这样排序
        • 材料“某省”，选项“全国”
      • 有 “不到1万”，可能是几千，记得带单位算
      • 列表中有“不确定数” 任何人数下都要考虑到这个“不确定数”
    • Tip
      • “持平”=没变化=r为0
      • 累计增速、累计增量
      • 把选项的答案当做已知条件去算
  • 专有名词
    • 出口＞进口 → 顺差（贸易盈余） 出口＜进口 → 逆差（贸易赤字）
      • 送分题：选项 两个顺逆，两个值 先估算所求是 顺/逆， 选项一个值是题干直接相减的值
      • 贸易差额 又称 净出口、贸易余额
    • 成数
      • 一成=1/10
    • 翻番
      • 翻n番=×2的n方
    • 负增长
      • 收窄
        • 绝对值变小
      • 回落
        • 变小
    • 常年（年平均）≠常年同期3月（所有3月的平均）
    • 增加值≈GDP=三个产业增加值的总称
    • “十三五”规划（2016－2020年）
      • 十一五：2006~2010
      • 十二五：2011~2015
  • 调查问卷
    • 结合 容斥问题
      • 列表A中一定有人是列表B → 有人是 A∩B → A+B＞100%
• 速算类
  • 坑
    • 单位陷阱
      • 区分：百分号%，千分号‰（出生率、死亡率）
      • 万亿、亿
        • 亿=万×万
      • 选项有明显的 十倍、百倍关系、万、千
    • 时间陷阱
      • 年份 年均与月均 同比与环比
    • 表述陷阱
      • 将近、不大于、超过、不小于
  • 截位直除
    • 比较选项大小，优先判断数量级，再截首位比较
    • 看选项 是否需要考虑位数
      • 注意 小于1W=有可能是几千
      • 判断位数 分数是否＞1%
      • 数字相同/ 位数相同(小数点位置相同)，不考虑小数点
    • 加减法算多一位
    • 除两次：优先算位数接近的
    • 首位不同，截前两位计算
    • 次位差＞首位，截前两位
    • 次位差≤首位，截三位
  • 计算
    • A÷比1小=比A大 A÷比1大=比A小
    • A×比1大=比A大 A×比1小=比A小
    • 百分数
      • 1倍=100%
      • %×0.1=‰
    • 整数时直接叠加，有小数时错位相加
      • 1.1倍：原数+小一位数；×1.1=a+0.1a 1.5倍：原数+原数一半； ×11=a×10+a ; ×0.9=a-0.1a ; ×0.5=a÷2 ；
    • 尾数法、末尾数字法题干不能有约为，只有加减乘能用尾数法
    • A ÷ C = D × A B D B C
  • 比较
    • 分子、分母同大同小看速度 分母快，看分母；同分子
      • 两分子/分母之前相差几分之几/几倍
        • 687~893 = 相差1+1/3 1153~1883 = 相差1.7倍
    • 横向查看： 两分数接近 比较大小时
      • 分子1-分子2(小)=a；分母1-分母2(小)=a a/分子2 ＜ a/分母2(小)， 则看分母 分母小 分数大 更适用于分子间 分母间相减后相等时
• 行程问题
  • 题型
    • a,b,c围着三个圈交于一点转动，下次相聚于交点的时间？ 先求出a,b,c围一圈跑各自的时间，再求出三个时间的公倍数 分数公倍数，先通分，求分子公倍数，再除分母，即是三个数的公倍数
    • 跑步题：步距×步数=速度
    • 不同时间相向出发后相遇，速度×时间分开相加
    • 直线上同向：a速度匀速增加，b匀速减少，速度相等时距离最大
    • 两列车错车而过的路程=两列车长度相加
    • 均匀加速 / 减速一段时间后， 求平均速度：v平均=（初始速度+匀加/减后速度）/2
    • 问题有“最大”、“最小” 考虑极端情况 要想途中遇到的车辆最多：所有车辆应该在途中遇到，不能在起点/终点 这样车间隔越多，路程越长
    • 人在自动人行道 逆行=逆流 → 行走速度=步行速度-行道速度
  • 普通行程
    • 路程=速度×时间
    • 平均速度
      • 非等距离求平均速度
        • S 通用 t
      • 等距离求平均速度
        • 2ab a+b
      • 等时间求平均速度：两速度相加/2
  • 比例行程
    • 确定不变量 → 找比例 → 算份数
    • 路程、时间、速度：有一个一定时，另外两个可以结合比例求解
  • 相对行程
    • 相遇追及
      • 相遇
        • S和=V和 t遇
          • 直线相遇
          • 环形相遇
            • (V1+V2)t=1圈
        • 相遇公式：针对匀速运动，有间隙休息的不能用 ❤有间隙休息的题目 只能带入排除
      • 追及
        • S差=V差t追
          • 直线追及
          • 环形追及
            • (V快-V慢)t=1圈
      • 多次相遇/追及
        • 直线
          • 两地出发，往返第n次相遇，共走（2n-1）个全程
            • 相遇两次：3S=3S1+3S2
            • （2n-1）S=V和×t遇
          • 两次相遇后 双岸：全程S+S2=3S1 单岸：3S1=2S-S2
          • 同地出发，第n次相遇，共走2n个全程
        • 环形
          • 同地反向出发，第N次相遇，共走N圈
            • n圈=V和×t
          • 同地出发，第N次追及，S差=n圈
            • n圈=V差×t
    • 顺水逆水
      • V顺=V船+V水 V逆=V船-V水
      • 静水速度=V船= V顺+V逆 2
      • 漂流速度=V水= V顺-V逆 2
      • 顺水：S=t 顺×（V船+V水）=t顺×V顺 逆水：S=t 逆×（V船-V水） =t逆×V逆
  • Tip
    • 相对而行、相反方向、相向、反向、背向——相遇 同向——追及
    • ❤题目S=Vt三量关系中 包含至少两项具体数字——使用公式法 ❤题目S=Vt三量关系中 包含至多一项具体数字——使用赋值、比例法
      • 只给时间，没有其他量，设路程为时间公倍数
    • 跑道求距离： 超过一半的，要从另外一头数距离
    • 等距离求平均速度 往返 注意：往返时间/单程时间
    • 1m/s=3.6km/h 1km/h=1/3.6m/s
    • 坑时间：相遇时间≠全程时间，记得看清题干问题 再过多长时间，才能…？算出总时间-前面的时间
    • 人比车慢3/4≠车比人快3/4
• 经济问题
  • 基础经济
    • 利润=收入(售价)-成本(进价)
    • 利润率= 利润 成本
      • 资料分析：利润率= 利润 售价
      • 成本×利润率=利润
    • 售价=成本×（1+利润率）
    • 折扣= 售价 定价
    • Tip
      • 赚了多少 → 总利润
      • 获利50%=成本×0.5
      • 1t =1k 公斤=2k 斤 1斤=500g
      • 百分数、比例、倍数，没有具体值时，一定要考虑赋值
      • 主体多、关系乱、情况多——采用列表法
      • 售价降300，利润也降低300
      • 共少付了22%：少付的钱=原来×22%
      • 注意看清 销售额 和 单价 题干单位：每元/斤，每元/10斤，吨
      • 题目中有函数图，可以看下是否有相似三角形得出比例
  • 题型
    • 打折后获利降低 a=（打折前售价-打折后售价)×打折的件数 x倍成本 × y倍总件数 a ÷ xy =成本×数量=进货总价
    • 盈利=售价-成本-中介费，注意审题
    • 实际盈利=卖掉股票收入 - 本金 - 融资 - 融资×融资利息率
    • 年化利率：年收益÷本金 ×100%
    • 函数最值问题：
      • x为负 开口向下，y=0取最大值
      • 求出 x= (x1+x2) 2
    • 年利率：年利息÷本金 ×100%
    • 折扣+折扣率=100%
    • 卖出股价=卖出总收入(本金+利润)÷股数 卖出百分之几=卖出总股数的百分之几
  • 合并付费
    • 先分开买，再合并买，问省了多少钱？ 省的钱=便宜商品的原价×折扣差
  • 分段经济
    • ❤水电费 ❤出租车费 ❤税费
    • 每段费用分别计算，求和后即为总费用
• 最值问题
  • ❤至少...保证... ❤无论如何安排…都
    • 最不利的情况：反向其他全算完+1=目标
    • 方法：要保证同种情况的至少有N个， 应考虑最不利情况——每种情况各取（n-1）个，然后再+1
    • 只适用于三种情况数量相同：m种情况，同情况至少n： （） =m × n(n-1)+1
    • 题型
      • 每人在4项选两项，至少5人完全相同 结合排列组合：4项选两项→用C=6种可能 则 4人×6种 + 1 6种可能都有4人 5人完全相同
      • 不够n的有几取几
      • 有排列组合时要确定好情况数m
  • 某个主体最....?
    • ❤定位X、推其他、加和 ❤问少选多，问多选少 ❤题干有无“各不相同”的条件
    • ❤问谁设X ❤反向，把其他人设出来 ❤汇总、求和，解X
    • 题型
      • 至少多少？向上取整；至多多少？向下取整；
      • 考法：左边取X，右边取X，全部设X
      • 得到最多的人至少多少？设其为X 最多的至少 → 其他尽可能多 要总数最少，则要量最大的尽可能少
      • 题干没有‘’互不相同”，则其他名次可并列一样
  • 最值思维
    • 此消彼长
    • 找极端请款
• 工程问题
  • 工程量=效率×时间
  • 已知时间
    • 1、总量赋值（时间公倍数） 2、算效率=总量÷时间 3、看问题列方程
      • 公倍数
        • 公倍数求法：公倍数里不能除的数照抄 其他继续除
        • A流水每配装3辆汽车需4h，B流水每配装4辆汽车需5.5h 设一轮为 4和5.5的公倍数：44h
    • 已知多个完工时间
      • ❤按人头算：(甲效×甲时+乙效×乙时)=总量 ❤按时间算：(单独做量+合作量-休息没做量)=总量
      • 甲乙丙做T1完成，甲乙用T2做1/N，甲用T3做剩下 ❤先求 甲乙、甲完成总量所需时间
  • 已知效率比
    • 1、效率赋值（满足比例） 2、算总量=效率×时间 3、看问题列方程
    • 甲3天的量相当于乙两天的量 效率比：甲：乙=2：3
    • 识别：效率比：效率倍数、效率相当于
      • 甲乙两人合作效率可增加1/5 ——（甲+乙）×6/5
      • “效率相当""型号相同""每组/台效率相同"“产能=效率".....赋效率=1
      • ❤甲是乙的a倍，是丙的b倍，是丁的c倍——赋效率 ❤甲是乙的1.5倍，则设：甲：3x，乙：2x ❤实际效率为原来的1.2倍，实际：原来=6:5 ❤倍数记得转换成效率比 ❤设效率比值a,b,c，算出a,b,后带入求出c即可 ❤人数×2，时间减半
  • 有具体单位数值
    • 1、设效率为未知数 2、根据工作过程列方程
    • 具体单位的工作量
      • 考虑倍数特性
        • 总量=时间的倍数
    • 甲、乙做项目I、II，谁做 I 快谁做，II同； ❤求时间最短？一个先做完，再合作
    • 题干总量为几分之几时，设总量为分母公倍数
    • 题目中有单位，不赋值
  • 题型
    • 错误率=错别字数/总页数
    • 水管、燃烧时间、电量...
    • 求效率提高多少？总量是赋值的，则r=(现效-基效)/基效
    • 渗水情况：（注水效率-渗水效率)×T=总
    • 甲乙 合作A，乙丙 合作B 则 （A+B)总量/甲乙丙 效率=总完成时间
    • 丙少出的 由甲乙分担——总数和原来一样(方程等式)
    • 生产甲需2a,3b，乙需5a，4b,已经总a=200，总b=240 解题：设总甲=x，总乙=y，2x+5y=200; 3x+4y=240
    • A流水每配装3辆汽车需4h，B流水每配装4辆汽车需5.5h 设一轮为 4和5.5的公倍数：44h
  • 计算
    • X是Y的小数倍，可以把小数转化为整数
    • 负→正，大于号变小于号
    • 1 刻钟=15分钟
    • 三个等式未知方程：ax+by=cx+dy=ex+fy 拆开两两方程计算 求出x,y
  • 坑
    • 求剩余的量，切记 总数-已完成
    • 后来增派 切记+原来的量
    • 求甲乙合作比计划提前几天？