考研高数思维导图

这是一篇关于考研高数思维导图，帮助考生梳理了考试的知识点，形成了清晰的知识体系。同时，通过对每个知识点的详细解释和关联，思维导图也促进了考生对知识的理解和记忆。因此，考生在备考过程中可以充分利用这张思维导图，提高备考效率，取得更好的成绩。

高数

• 第一章.函数，极限，连续
  • 常见函数
    • 复合函数
      • 复合要看f(x)定义域与g(x)值域相交为非空
    • 反函数
    • 一些三角函数关系式
      • sec²x=1+tan²x
      • csc²x=1+cot²x
      • arcsinx+arccosx=π/2
      • arctanx+arccotx=π/2
        • arctanx+arctan1/x=π/2
  • 重要结论
    • 四个重要不等式
  • 函数性态
    • 单调性
      • 单调性判定
        • 复合函数单调性
          • 同增异减
    • 奇偶性
      • 导数的奇偶性相反
      • 连续的奇函数其原函数都是偶函数
      • 连续的偶函数其原函数中仅有一个奇函数
        • c为 0时
      • 连续函数的变上限积分函数奇偶性相反
        • 不要忽略：f(x)为偶时，则变限积分的下线只能是0
      • 奇偶性四则运算
        • 加减不改变奇偶性
        • 乘除看成正负相乘（偶正奇负）
    • 周期性
      • 判定
    • 有界性
      • 判断有界(三个结论)
        • f(x)在[a,b]连续
        • f(x)在(a,b)连续，且a右极限与b左极限均存在
          • a,b改成无穷仍成立
        • f'(x)在有限区间(a,b)有界
  • 极限概念
    • 数列的极限
      • 定义
      • 若数列Xn的极限为a，则其任意子列的极限都为a。
      • 若n个子列能拼成一个完整的数列Xn,且这些子列的极限都为a，则Xn的极限也为a
      • 单调有界准则（函数极限也满足）
    • 函数的极限
      • 定义
      • 极限的性质
        • 局部有界性
        • 保号性
          • 定义
          • 保序性
            • 1.
          • 保号等号问题
    • 无穷大与无界量
      • 无穷大量一定是无界量；但无界量不一定是无穷大
  • 函数极限计算
    • 极限运算
      • 极限是否存在
        • 与不存在乘除都是不确定
        • 存在±不存在=不存在
        • 不存在自己相加减也是不确定
    • 0/0
      • 洛
      • 等价代换(3组)
      • 泰勒(8个)
    • ∞/∞
      • 洛
      • 同除最高次
      • 抓大头(保留最高次)
    • ∞－∞
      • 通分(有分数)
      • 有理化(有根式)
      • 倒代换，令x=1/t
      • 提最高次
      • 拉格朗日(同一函数的差)
    • 0*∞
      • 同除简单因式，转化为0/0或∞/∞
    • 0º与∞º
      • 改成指数形式
    • 1^∞
      • 利用结论
    • 泰勒公式展开
      • 麦克劳林（8个）
    • 重要结论
  • 已知极限反求参数
    • 已知分母极限为零推分子
    • 已知分子极限为零推分母(要求极限不为零)
  • 数列极限的计算
    • 数列未定式
      • 将n或1/n改写为x，转化为函数未定式
    • n项和的数列极限
      • 夹逼准则
      • 定积分定义
      • 幂级数求和
    • 通项Xn由递推公式Xn+1=f(Xn)给出
      • 单调有界定理
        • 先证有界性
        • 再证单调性
          • 做差
          • 做商(数列正项)
          • 求导Xn+1=f(Xn),令y=f(x)
            • f'(x)>0,f(x)递增
              • X1<X2，数列递增
              • X1>X2，数列递减
            • f'(x)<0,f(x)递减
              • 数列不单调
        • 令n→0limXn=a，题中数列等式两段取极限，求a
      • 积分与递推式结合
        • 分部积分
      • 求极限
        • 不易求出时
          • 夹逼
          • 结合上一步结论
  • 无穷小量阶的比较
    • 即0/0型极限
      • 求导定阶
      • 等价无穷小代换
      • 泰勒公式
      • 结论
        • • 当被积函数为常数时，此时m为0
  • 连续与间断点
    • 连续
      • 定义
        • 极限值等于函数值
      • 性质
      • 定理
        • 最值
          • f在I内必有最大和最小值
        • 介值
          • 不相等的f(a)与f(b)之间的任意数c，至少有一个k，使f(k)=c,
        • 零点
          • f(a).f(b)<0，必有f(k)=0,k在ab之间
    • 间断
      • 第一类
        • 左右极限都存在
          • 跳跃
            • 左右极限不相等
          • 可去
            • 左右极限相等
      • 第二类
        • 左右极限至少有一个不存在
          • 振荡
            • sin1/x在x->0处
          • 无穷
            • tanx
      • 找间断点
        • 先找无定义的点
          • 分母为0
          • linx等等
        • 当分母有无定义点，要使整体极限存在，其分母应该对应有零点，否则为无穷
• 第二章.一元函数微分学
  • 导数与微分概念
    • 导数
    • 微分
    • 三者间的关系
  • 题型
    • 导数与微分概念
      • 分段函数在分段点处导数一般用定义
      • 判断可导性
        • 几何方法
          • 导数不可导在几何上表示与坐标轴有夹角
        • 用定义判断（左右导数存在且相等）
          • 什么时候定点可以不告诉
            • 题目告诉导数存在
            • 题目告诉连续
            • 题目什么都没有说时，一定要有定点
          • 一定要从两边趋近
            • 看分母可否两方向趋近
        • 结论
  • 导数与微分的计算
    • 复合函数
      • 链式法则，由外到内
    • 隐函数
      • 代入求导
      • 公式法F(x,y)=0，dy/dx=–F'(x)/F'( y)
    • 反函数
      • x=φ(y)，由y=f(x)确定
        • dx/dy=1/f'( x)
        • d²x/dy²=–f''/f'³
        • 一般会告诉你y等于多少，直接代入原式把此时的x求出来，最后对y求导后取导数再把x代入
    • 参数方程
      • y=f(x)由x=x(t), y=y(t)确定
        • dy/dx=y'(t)/x'( t)
        • d²y/dx²=(y"x'–y'x")/x'³
    • 分段函数
      • 分段点处
        • 导数定义
      • 其他点处
        • 求导公式
    • 高阶导数
      • 递推公式(3组)
        • 分式
        • ln
        • sin，cos
      • 莱布尼茨公式
      • 泰勒( x=0)
        • 利用8个常见函数的泰勒公式，得到f(x)本身的泰勒公式
        • 由泰勒公式系数的唯一性，知an=f^(n)(0)/n!，得f^(n)(0)=an*n!
      • 高阶导公式
  • 导数应用之切线与法线
    • 直角坐标
      • 切线方程
        • y-y0=(x-x0)f'(x0)
      • 法线方程
        • y-y0=-(x-x0)/f'(x0)
      • 切线与法线联系：k1*k2=-1
    • 参数方程
      • f'(x0)=y'(t)/x'(t)|t-t0
    • 极坐标r=r(θ)
      • 转化为参数方程x=r(θ)*cosθ，y=r(θ)*sinθ
        • f'(x)=y'(θ)/x'(θ)|θ-θ0
  • 导数应用之渐近线
    • 水平
      • x→∞limf(x)=c
    • 垂直
      • x→x0limf(x)=∞，其中x0为分母为零或lnx为零的点
    • 斜
      • 斜率
        • x→∞lim(y/x)=a
      • 截距
        • x→∞lim(y-ax)=b
      • 求斜渐进线时快速的方法是把它化成一次形式加高阶无穷小
    • Tip：若同一侧有水平渐近线，则无斜渐近线
  • 导数应用之曲率
    • 曲率
    • 曲率半径
      • R=1/k
    • 曲率圆和曲线在切点
      • 切线相同，曲率相同
      • 在该点一阶导，二阶导都相同
      • 在切点附近有相同凹凸性
  • 导数应用之极值与最值
    • 极值点
      • 驻点
      • 导数不存在的点
    • 充分条件1
      • f(x)在x0连续，一阶导在x0的左右去心邻域异号
    • 充分条件2
      • 一阶导=0，二阶导≠0，则二阶导＞0，极小值；二阶导＜0，极大值
    • 充分条件3
      • 前n-1阶导=0，n阶导≠0（n为偶，＞2），则二阶导＞0，极小值；二阶导＜0，极大值
    • 最值的求法
      • 1.找开区间内的驻点和导数不存在的点
      • 2.找驻点和不存在的点对应的函数值还有区间端点
      • 比较大小即可
  • 导数应用之凹凸性与拐点和极值
    • 必要条件
      • f(x)在x0二阶可导，且（x0，f(x0)）为拐点，
        • f(x)在x0处连续，且二阶导数=0
    • 充分条件1
      • f(x)在x0连续，二阶导在x0的左右去心邻域异号
    • 充分条件2
      • 二阶导=0，三阶导≠0
    • 充分条件3
      • 前n-1阶导=0，n阶导≠0（n为奇，＞3）
    • 判断极值时可用第一充分条件和第二充分条件，而当时隐函数是可将一阶导表达式写出再用第一充分
    • 求极值当导数不存在时
      • 定义法
      • 第一充分条件(f必须连续)
    • 结论
  • 导数应用之证明不等式
    • 法一:单调性
      • 化简，构造辅助函数
      • 求导，得到单调区间
      • 带入端点证明不等式
    • 法二:拉格朗日(同一函数的差)
    • 构造辅助函数公式法
  • 导数应用之方程根的存在性及个数
    • 1.存在性
      • 零点定理
      • 罗尔定理
    • 2.根的个数
      • 单调性
      • 罗尔定理推论
    • 3.方法与技巧
      • 化简构造辅助函数
      • 求导得到单调区间
      • 代入端点，利用零点定理
      • 含参数的，先分离参数，分离参数时，务必注意分母或者x取不到的情况
  • 微分中值定理
  • 微分中值定理的证明题
    • 证明含有ξ一个点的等式
      • 构造辅助函数的方法
        • 分析法(还原法)
        • 微分方程法
        • 归纳
      • 法一:零点定理 (构造辅助函数过程中没有用到积分)
        • 化简构造辅助函数
        • 代入端点，利用零点定理
      • 法二:罗尔中值定理
        • 化简构造辅助函数
          • 直接法(3大类)(最后一类分3小类)
          • 原函数法
            • 将ξ改为x，化简为容易积分的形式
            • 积分去掉导数符号
            • 移项构造辅助函数，为了简单，c取0
        • 代入端点，利用罗尔中值定理
    • 证明含有ξ，η两个点的等式
      • 不要求ξ≠η
        • 先对f(x)拉格朗日
        • 再对f(x)，g(x)用柯西
      • 要求ξ≠η
        • 分区间[a,c]，[c,b]分别用一次拉格朗日
    • 证明含有高阶导数的等式或不等式（n>=2）
      • 拉格朗日余项泰勒公式，x0取端点/中点/极值点
• 第三章.一元函数积分学
  • 定积分概念
  • 原函数存在性
    • 谈原函数一定要在给定区间上
    • f(x)在I上连续，则f(x)必有原函数
    • 有间断的f(x)只有在I上有振荡间断点，f(x)才可能有原函数
  • 可积性
    • 可积与原函数存在无关，可积条件下才可以用牛顿莱布尼茨
    • 定积分存在的必要条件
      • f(x)在闭区间上可积，则f(x)在闭区间上有界
      • 简记：区间有限，函数有界
    • 定积分存在的充分条件
    • 可积的重要结论
      • 原函数与可积
        • 原函数存在未必可积
        • 可积未必有原函数
  • 变限积分函数
    • 连续性
    • 可导性
  • 不定积分的计算
    • 分段函数
      • 分区间求原函数
      • 由原函数可导必连续，连续函数左极限=右极限，得c1,c2......的关系（此处一定要注意：记得求c，不同段不是一个c）
    • 有理函数
      • 其中P，Q为多项式
        • 法一：分母因式分解，分子待定系数（基本用不上）
        • 法二：分子拆项（用的多）
        • 法三：倒代换，令x=1/t
    • 重要公式计算
    • 无理函数
      • 法一：三角代换
        • 令x=asint
        • 令x=atant
        • 令x=asect
      • 法二：根式代换
        • （ax+b）^(1/n)=t
        • [(ax+b)/(cx+d)]^(1/n)=t
        • (ax+b)^(1/m)与(ax+b)^(1/n)，令(ax+b)^(1/l)，l为m，n的最小公倍数
    • 指数有理式
      • 指数代换
        • 令e^x=t或a^x=t
    • 三角有理式
      • 法一：三角公式
      • 法二：万能代换
        • 令tan(x/2)=t，则x=2arctant dx=2/(1+t²)，sinx=2t/(1+t²)，cosx=(1-t²)/(1+t²)
    • 被积函数含有对数函数，反三角函数
      • 法一：分部积分
        • 把对数函数，反三角函数看作u，另外一个凑微分，看作v
      • 法二：整体代换
        • 令对数函数，反三角函数=t
  • 定积分的性质
    • 积分不等式
    • 奇偶性，周期性
    • 积分中值定理
  • 定积分的计算
    • 分段函数
      • 利用区间可加拆开
    • 对称区间
      • 奇偶性
    • 周期函数
      • 周期性
        • f(x)以T为周期，从任何点开始积分，积满一个周期，就等于0到T的积分
    • 被积函数含有变限积分函数，抽象函数的倒数
      • 法一：分部积分，将变限积分函数看作u，另一个凑微分，看作v
      • 法二：交换积分次序（二重积分）
    • 形如∫a到b,f(x)/(f(x)+g(x))的积分
      • 区间再现换元法
    • 分部积分表格法
    • 重要结论
  • 反常积分
    • 暇点在内部，利用区间可加拆开
    • 无穷区间上的反常积分
    • 无界函数的反常积分（瑕积分）
    • 反常积分敛散性的判定
      • 定义法（计算）不推荐
      • 比较判别法
        • 大收小收，小发大发
      • 比较法的极限形式
        • 常用结论
          • p积分
            • p>1收
          • q积分
            • q<1收
          • 万能公式
            • 伽马函数
  • 定积分应用
    • 1. 几何应用
      • 1. 平面图形面积
        • 直接用二重积分
          • • 根据积分区域D选择积分方法
        • 常用面积公式
          • 椭圆
          • 极坐标形式
      • 2. 空间体的体积
        • 旋转体的体积
          • 元素法（一元定积分）
          • 二重积分
        • 已知截面面积的体积
        • 常见图像体积
          • 球
          • 圆锥
      • 3. 曲线弧长
        • 直角坐标
        • 参数方程
        • 极坐标
      • 4. 旋转体侧面积
    • 2. 物理应用
      • 变力沿直线所做的功
      • 液体的压力
      • 引力
  • 证明含有积分的等式或不等式
    • 单调性，微分中值定理，综合定积分性质，计算方法
    • 当题目中给单调性时，考虑变上限积分
• 第四章.多元函数微分学
  • 多元函数概念
    • 重极限
      • 定义
      • 计算
        • 先粗略估计再验证
          • • 若n＞m，一般可微=0
            • 若n＝m，一般不存在
    • 偏导数
    • 全微分
      • 全微分定义：
      • 可微的判断
      • 连续可导可微的关系
      • 经典例子(0,0)处
        • 连续、不可导、不可微
        • 不连续、可导
        • 可导、不可微
        • 可微、偏导数不连续
  • 求多元复合函数的偏导数与全微分
    • 链式法则
  • 求多元隐函数的偏导数与全微分
    • 法一：带入求导(复合函数求导法)
    • 法二：公式法
    • 法三：全微分形式不变性
    • 全微分方程
  • 变量代换化简偏微分方程
  • 求无条件极值
    • 第一步：求驻点：
    • 第二步：AC-B²
      • ＞0
        • A＞0，极小值
        • A＜0，极大值
      • ＜0
        • 不是极值
      • =0
        • 无法判定（用定义）
  • 求条件极值(边界最值)
    • 法一：拉格朗日乘数法
      • 当图形不封闭时要考虑端点
      • 令L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)，则 消λ，得（x0,y0）,最后比较
        • 当约束条件不止为一个时，要设对应的u，λ
        • 求解时用矩阵解方程组
    • 边界端点也要考虑
    • 法二：解φ（x，y），得y=y(x),代入f（x,y）,转化为一元函数极值
  • 求闭区域上的最值
    • 求内部驻点
    • 求边界最值（条件极值）
    • 最后比较
• 第八章.多元函数积分学
  • 空间解析几何
    • 向量
      • 数量积(点乘)
      • 向量积(叉乘)
      • 混合积
    • 平面与直线
      • 平面
        • 平面方程
          • 点法式
          • 一般式
          • 截距式
        • 点到平面的距离
      • 直线
        • 直线方程
          • 对称式
          • 参数式
          • 一般式
        • 点到直线的距离
      • 平面，直线的位置关系(平行，垂直，夹角)
        • 利用平面的法向量n，直线的方向向量s
    • 曲面与曲线
      • 曲面
        • 曲面方程
          • 一般式
            • F(x,y,z)=0或z=f(x,y))
        • 旋转曲面
        • 柱面
        • 常见的二次曲面
          • 球面
          • 椭球面
          • 圆柱面
          • 圆锥面
          • 单叶双曲面
          • 双叶双曲面
          • 旋转抛物面
          • 椭圆抛物面
      • 曲线
        • 曲线方程
          • 参数式
          • 一般式
    • 多元函数微分学的几何应用
      • 曲面的切平面与法线
      • 曲线的切线与法平面
    • 方向导数与梯度，散度，旋度
      • 方向导数
        • 定义
        • 偏导数乘方向余弦
        • 梯度的方向是方向导数取最大的方向，故其模就是方向导数最大值
      • 梯度，散度，旋度
  • 三重积分
    • 三重积分概念
    • 直角坐标
      • 先重后单
      • 先单后重
    • 柱坐标变换
    • 球坐标变换
    • 奇偶性
    • 轮换对成性
  • 曲线积分
    • 第一类曲线积分
      • 计算
        • 奇偶性（偶倍奇零）
        • 对称性
    • 第二类曲线积分
      • 计算
        • 格林公式
        • 判断与路径无关
        • 斯托克斯公式
  • 曲面积分
    • 第一类曲面积分
      • 计算
        • 投影转化为二重积分
        • 奇偶性
        • 对称性
    • 第二类曲面积分
      • 计算
        • 直接投影
          • • 其他面类似
        • 转换投影法（三合一公式）
        • 高斯公式
  • 多元函数积分学的物理应用
• 第七章.无穷级数
  • 数项级数敛散性的判定
    • 级数收敛
      • 基本定理
    • 正项级数
      • 法一：比较判别法
        • 一般形式（放缩找对象）
        • 极限形式（等价找对象）
        • 比较对象
          • P级数
          • 等比级数
      • 级数收敛散性
        • 级数收敛的必要条件
        • 收敛+收敛=收敛
        • 有括号的级数
        • 常见级数敛散性判断
      • • 法二：比值判别法(n!)
        • 法三：根值判别法(n次方)
        • 法四：积分判别法
          • 用于P级数
          • 用于P级数推广
    • 交错级数
      • 法一：莱布尼茨判别法
      • 法二：拆项
    • 任意项级数
      • 绝对收敛与条件收敛三条性质
  • 求幂级数的收敛半径与收敛域
    • 法一：阿贝尔定理
      • 发散能推外部发，收敛能保内部收
      • 一点收敛，内部绝对收敛
      • 一点发散，外部一定发散
      • 端点可能绝对收敛，条件收敛，发散
    • • 法二：比值定理(n!)
      • 法三：根值定理(n次方)
  • 幂级数求和
    • 利用常见函数的幂级数
      • 先求收敛域
      • 再化简或逐项求导(有分母)，逐项积分(没有分母)， 转化为8个常见函数的幂级数
    • 级数求和技巧
      • 整式型级数求和
      • 阶乘型级数求和
      • 分式型级数求和
        • • 注意收敛域，未包含的点，代入(x=0)或取极限（x≠0）
    • 综合微分方程
      • x^(2n)或x^(3n)缺项极严重的，求导
  • 幂级数展开
    • 有理函数
      • 第一步：分母因式分解(拆项)
      • 化简为1/(1+a(x-x0))
      • 利用1/(1+x)或1/(1-x)展开
    • 对数函数
      • 第一步：化简为ln[1+a(x-x0)]
      • 第二步：利用ln(1+x)展开
    • 反三角函数
    • 常见展开
  • 无穷级数的证明题
  • 傅里叶级数
    • 狄利克雷收敛定理
• 第六章.常微分方程
  • 一阶微分方程
    • 可分离变量dy/dx=f(x)g(x)
    • 一阶齐次dy/dx=f(y/x)
    • 一阶线性
      • 齐次 y'+ P(x)y=0
      • 非齐次y'+ P(x)y= Q(x)
    • 伯努利方程
      • 其中z是关于x的一阶线性非齐次
    • 全微分方程
      • 法一：原函数法
      • 法二：第二类曲线积分
  • 二阶常系数线性微分方程 y"+py'+ q1y=f(x)
    • 解的性质与结构
      • y1,y2是齐次的两线性无关解，y*1与y*2是非齐次的两特解
      • 定理1
        • 齐次方程的通解
      • 定理2
        • 非齐次方程的通解
      • 定理3
        • 他们系数相加为1
      • 定理4
        • 叠加原理
          • 齐次
          • 非齐次
    • 已知微分方程的解反求微分方程的解
      • 第一步：齐次方程的解→特征根→特征方程→齐次方程
      • 第二步：将y*代入方程→f(x)→非齐次方程
    • 解二阶常系数线性微分方程
      • 齐次
      • 非齐次
        • 先求齐次方程的通解
        • 再求非齐次方程的特解
          • • 看f(x)中的λ是否为齐次的解，k就是λ的重复次数
          • • 多项式次数不同
            • • 特解中的多项式是两个同次的不同多项式，次数m取f(x)中最高次)
        • 齐通+特解=非齐次通解
  • 高阶常系数线性微分方程
  • 可降阶的微分方程
    • 可降阶的微分方程
      • 缺y
      • 缺x
  • 欧拉方程
  • 变量代换求解二阶变系数线性微分方程
  • 微分方程的综合题
    • 综合导数的几何意义
    • 综合定积分的几何意义
    • 综合变限积分
    • 综合重积分
    • • 直接将微分方程中的f(x)表示出来再去积分，不要直接解f(x)
• 第五章.二重积分
  • 二重积分概念
  • 交换积分次序
    • 直角坐标 x↔y
    • 直角坐标与极坐标（x,y）↔(r,θ)
    • 极坐标 r↔θ
      • 把他们看成直角坐标系
      • 直接在原图变换
  • 二重积分的计算
    • 分段函数
      • 利用区域可加拆开
    • 对称区域
      • D关于x轴或y轴对称
        • 奇偶性
      • D关于y=x对称
        • 轮换对称性
    • 积分区域为圆域或被积函数含有f(x^2+y^2)或f(y/x)
    • Tip：含有x^2+y^2的一般用极坐标
  • 证明含有二重积分的等式或不等式
    • 讲义P197考前看一下