统计

这是一篇关于统计的思维导图，主要内容包括：成对数据的统计相关性，一元线性回归模型，独立性检验，规律与应用。

统计

• 成对数据的统计相关性
  • 散点图
    • 成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图.我们把这样的统计图叫做散点图
  • 相关关系
    • 概念
      • 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系
    • 线性相关
      • 如果两个变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称它们有线性相关关系
      • 分类
        • 正相关
          • 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现增加的趋势
        • 负相关
          • 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势
    • 非线性相关
      • 如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
  • 相关系数
    • 定义
    • 向量夹角
    • 性质
      • 1.rxy的取值范围是[-1,1]. （1）当0<rxy<1时，称{xi}和{yi}正相关； （2）当-1<rxy<0时，称{xi}和{yi}负相关； （3）当rxy=0时，称{xi}和{yi}不相关.
      • 2.|rxy|越接近于1,变量x,y的线性相关程度越高，这时数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)分散在一条直线附近.
      • 3.|rxy|越接近于0,变量x,y的线性相关程度越低.
      • 4.rxy具有对称性，即rxy=ryx
      • 5.rxy仅仅是变量x与y之间线性相关程度的一个度量. rxy=0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有关系，它们之间可能存在非线性关系.
  • 回归分析
    • 定义
      • 由散点图求出回归直线并进行统计推断的过程叫作回归分析.
    • 回归直线方程
      • 如果具有相关关系的两个变量x,y可用方程y=a+bx来近似刻画，则称y=a+bx为y关于x的一元线性回归方程，其中a,b称为回归系数.
• 一元线性回归模型
  • 随机误差
  • 定义
  • 最小二乘法
  • 公式
    • 样本中心
• 独立性检验
  • 列联表
    • 将两个(或两个以上)分类变量进行交叉分类得到的频数分布表称为列联表
  • 独立性检验
    • 利用统计量c2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验.
    • 卡方公式
    • 解题步骤
      • （1）提出统计假设H0：X与Y之间没有关系；
      • （2）根据2´2列联表计算c2的值；
      • （3）查临界值表确定临界值x0，作出判断.
    • 检验结果
      • （1）如果c2>10.828，就有不少于99%的把握认为“X与Y之间有关系”；
      • （2）如果c2>6.635，就有不少于95%的把握认为“X与Y之间有关系”；
      • （3）如果c2>3.841，就有不少于90%的把握认为“X与Y之间有关系”；
      • （1）如果c2£3.841，就认为还没有充分的证据显示“X与Y之间有关系”.
• 规律与应用
  • 易错点
    • （1）计算容易出错，尤其是在数据比较多的情况下，更要耐心和细心
    • （2）c2一般要求保留小数点后三位
    • （3）非线性相关问题在拟合的时候，先转化为线性相关问题
  • 易混点
    • （1）函数关系是两个变量之间具有确定性的对应关系，而相关关系是不确定关系
    • （2）正相关和负相关一般指线性相关问题，在非线性相关问题中，一般不讨论
    • （3）在线性相关的条件下，才能计算相关系数，相关系数的大小和正负均有明确的意义
  • 方法技巧
    • （1）如果题目中给出相关的数据，一定要充分利用已知数据进行计算.
    • （2）没有给出列联表的题目，要自己根据题目绘制列联表.
    • （3）在计算相关系数和回归直线时，要根据数据的大小和整齐程度选择恰当的公式.