有理式

数学分式全掌握：从基础到解法一网打尽！ 分式是形如A/B的表达式（B含字母且B≠0），与整式共同构成代数核心。分式方程涉及解法和增根判断，运算涵盖整数指数幂（如a⁻ⁿ=1/aⁿ）及加减乘除。关键性质包括约分（化为最简分式）、通分（找最简公分母）及基本变形规则。理解单项式、多项式为基础，熟练运用分式方程解法，避免增根陷阱，数学进阶更轻松！

有理式

• 整式（integral expression）
  • 单项式
    • 定义
      • 单项式（monomial）都是数或字母的乘积，单独的一个数或一个字母也是单项式
      • 次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项数的次数（degree of monomial）。 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数（coefficient）。
    • 运算
      • 加
        • 数字加法中所有运算律都可运用于单项式的加法。
      • 减
        • 数字减法中所有运算律都可运用于单项式的减法。
      • 乘
        • 数字乘法中所有运算律都可运用于单项式的乘法。一般的单项式与单项式相乘，把它们的系数同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式。
      • 除
        • 数字除法中所有运算律都可运用于单项式的除法。一般的单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式。对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
  • 多项式
    • 定义
      • 一个单项式的和叫做多项式（polynomial），其中每个单项式叫做多项式的项（term）。不含字母的项叫做常数项（constant term）。
      • 次数：多项式里，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数（degree of a polynomial）。 系数：多项式没有系数。
    • 运算
      • 合并同类项
        • 所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。对多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用。交换律，结合律分配律，把多项式中的同类项进行合并。把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。合并同类项后所得项的系数是合并前各同类项的系数的和且字母连同它的指数不变。
      • 去括号
        • 如果括号外的因数是正数去括号后原括号内各项的符号与原来符号相同。如果符号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
      • 添括号
        • 添括号时，如果括号前面是正号，扩到括号里的各项都不变符号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
      • 乘法
        • 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 一般的，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 一般的，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
          • 平方差公式（formula for the difference of squares）
            • 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
          • 完全平方公式（formula for the square of the sum）
            • 两个数的和（或差）的平方等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的两倍。
      • 除
        • 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 任何不等于零的数的零次幂都等于一。 一般的多项式除以单项式。先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
      • 因式分解
        • 定义
          • 把多项式化成了几个整式的积的形式。像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解（factorization），也叫做把这个多项式分解因式。因式分解与整式乘法是方向相反的变形。
        • 提公因式法
          • 如果多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p，叫做这个多项式各项的公因式（common factor）。一般的如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
        • 公式法
          • 平方差
            • 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。a²-b²=(a+b）(a-b)
          • 完全平方式
            • 我们把a²+2ab+b²和这样的式子叫做完全平方式。利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解。个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍等于这两个数的和（或差）的平方。a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)²
• 分式（fraction）
  • 定义
    • 一般的如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。分式A/B中，A叫做分子，B叫做分母。
  • 性质
    • 1.当B≠0时，A/B才有意义。 2.分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 3.把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分（reduction of a fraction）。分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式（fraction in lowest terms）。分式的约分一般要约去分子和分母的所有公因式。使所得结果成为最简分式或者整式。 4.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别转化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分（reduction of fractions to a common denominator）。 5.一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母。
  • 运算
    • 加减
      • 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。1分母分式相加减，先通分变为同分母的分式，再加减。
    • 乘
      • 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。分式乘方要把分子，分母分别乘方。
    • 除
      • 分式除以分式，把除式的分子分母颠倒位置后，与被除式相乘。
  • 整数指数幂
    • a-ⁿ=1/aⁿ（a≠0）
  • 分式方程
    • 定义
      • 分母中含未知数的方程叫做分式方程（fractional equation）。
    • 解法
      • 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程。方程两边乘最简公分母。这也是解分式方程的一般方法。一般的解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此应做检验：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为零。则整式方程的解释原分式方程的解，否则这个解为增根（不是原分式方程的解）。
• x=a为增根（不是分式方程的解）
• x=a
• x=a是分式方程的解
• 整式方程
• 分式方程