第5讲 特征值与特征向量

本小节主要对特征值与特征向量进行了概述,主要概括了特征值和特征向量、相似理论以及做了一个小总结(普通矩阵与实对称矩阵的特征值与特征向量之间的关系)

第5讲 特征值与特征向量

• 特征值与特征向量
  • 定义
    • Aξ=λξ，ξ≠0λ是A的特征值，ξ对应特征值λ的特征向量
    • 常写成（λE-A）x=0
  • 性质
    • （1）特征值的性质
      • ①∑λ¡=∑a¡¡=tr(A)，其中i=1,2,...,n；tr是迹的意思
        • 特征值的和＝对角线元素之和＝矩阵A的迹
      • ②∏λ¡=|A|
        • 特征值相乘=行列式的值
    • （2）特征向量的性质
      • ①k重特征值λ至多有k个线性无关的特征向量
      • ②不同特征值 λ 对应的特征向量 ξ 线性无关
      • ③若ξ₁,ξ₂是A的属于同一特征值λ的特征向量，则k₁ξ₁+k₂ξ₂ (k₁、k₂不同时为0)仍是A的属于特征值λ的特征向量
  • 求法
    • 具体型矩阵
    • 抽象型矩阵
  • 常用的特征值和特征向量
    • 矩阵 A kA A^k f(A) Aˉ¹ A* Pˉ¹AP A的转置 特征值 λ kλ λ^k f(λ) 1/λ |A|/λ λ λ 对应的特征向量 ξ ξ ξ ξ ξ ξ Pˉ¹ξ 需要单独计算
• 相似
  • 理论
  • 矩阵相似
    • A~B
    • 定义
      • 设A,B是两个n阶方阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得Pˉ¹AP=B，则称A相似于B，记成A~B
      • 若A~B,B~C,则A~C(传递性)
    • 性质
      • （1）若A~B,则有：
        • ①r(A)=r(B)
        • ②|A|=|B|
        • ③|λE-A|=|λE-B|
          • 特征多项式,|λE-A|=0叫特征方程
        • ④A,B有相同的特征值
      • （2）若A~B,则有：
        • ①A^m~B^m
        • ②f(A)~f(B),其中f(x)是多项式
      • （3）若A~B且A可逆,则有：
        • ①Aˉ¹~Bˉ¹
        • ②f(Aˉ¹)~f(Bˉ¹),其中f(x)是多项式
      • （4）若A~B,则有：
        • ①A的转置~B的转置
      • （5）若A~B且A可逆,则有：
        • ①A*~B*
  • 矩阵的相似对角化
    • A~Λ
    • 定义
      • Pˉ¹AP=Λ
      • 设n阶矩阵A,若存在n阶可逆矩阵P,使得Pˉ¹AP=Λ,则称A可相似对角化,记A~Λ,称Λ是A的相似标准型
    • 可相似对角化的条件
      • 两个充要
        • （1）n阶矩阵A可相似对角化↔A有n个线性无关的特征向量
        • （2）n阶矩阵A可相似对角化↔A对应于每个k¡重特征值都有 k¡个线性无关的特征向量
          • 比如：二重根就有两个线性无关的特征向量才行
      • 两个充分
        • （1）n阶矩阵A有n个不同特征值⇨A可相似对角化
        • （2）n阶矩阵A为实对称矩阵⇨A可相似对角化
    • 相似对角化的步骤
      • （1）写出特征方程|λE-A|=0,求出特征值λ₁,λ₂,...,λn
      • （2）将特征值λ代入齐次方程组(λE-A)x=0，求出基础解系ξ₁,ξ₂,...,ξn
      • （3）令P=(ξ₁,ξ₂,...,ξn),使得Pˉ¹AP=Λ
  • 应用
    • 实对称矩阵的相似对角化的步骤
      • Qˉ¹AQ=Q的转置AQ=Λ
      • （1）写出特征方程|λE-A|=0,求出特征值λ
      • （2）将特征值λ代入齐次方程组(λE-A)x=0，求出基础解系ξ₁,ξ₂,...,ξn
      • （3）正交化,如:λ1=λ2=1,λ3=10,则一定有ξ1⊥ξ3,ξ2⊥ξ3，然后判断ξ1与ξ2 是否垂直(即内积是否为0)，如不垂直，则需进行施密特标准正交化，最后 得出单位向量η1,η2,η3两两垂直
      • （4）令Q=(η1,η2,η3),使得Qˉ¹AQ=Q的转置AQ=Λ
        • Q为正交矩阵
    • 反问题
      • 反求参数
        • (1)若A~B,则这些等式可求参数:
          • ①|A|=|B|
          • ②r(A)=r(B)
          • ③tr(A)=tr(B)
          • ④λA=λB
        • (2)若ξ₁是A的特征值λ₁的特征向量,则有Aξ₁=λξ₁,这便建立了若干等式,可求参数
        • (3)若λ₁是A的特征值,则有|λ₁E-A|=0,此等式可求参数
      • 反求A
        • 若有可逆矩阵P,使得Pˉ¹AP=Λ,则A=PΛPˉ¹
    • 求A^n与f(A)
      • 若A满足Pˉ¹AP=Λ⇨
        • ①A=PΛPˉ¹
        • ②A^k=PΛ^kPˉ¹
        • ③f(A)=A=Pf(Λ)Pˉ¹
• 小结
  • 普通矩阵A
    • （1）λ₁≠λ₂ ⇨ ξ₁与ξ₂线性无关
    • （2）λ₁=λ₂⇨
      • ①ξ₁与ξ₂线性无关
      • ②ξ₁与ξ₂线性相关
  • 实对称矩阵A
    • 必定可以相似对角化
    • （1）λ₁≠λ₂ ⇨ ξ₁⊥ξ₂
    • （2）λ₁=λ₂⇨
      • ①ξ₁⊥ξ₂(特殊的线性无关)
      • ②ξ₁与ξ₂线性无关