一次函数

"一次函数全攻略：从基础到应用一网打尽！ 内容涵盖：1 基础概念（函数定义、正比例函数）2. 图像变换（平移/旋转/对称）与解析式求解（待定系数法）；3 综合应用（方程不等式、面积问题、等腰三角形存在性）；4 解题技巧（铅锤法、割补法、距离公式）。重点突破图像变换三步骤：选点→坐标变换→求新解析式，助你轻松掌握一次函数核心脉络！"

一次函数

• 函数初步
  • 变量与常量
    • 在事物的变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。
  • 函数概念
    • 在某一变化过程中，如果有两个量x与y ，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么 x称为自变量，y是x的函数．
    • 当x取值时，y有且只有一个值与之对应
    • 对于每一个给定的y值，x可以有多个值与之对应
  • 函数值
    • 在y是x的函数中，对于每个确定的x的值，对应的y的值称为函数值。
  • 函数的表示方法
    • 列表法：列表给出y和x的关系
    • 图像法：用横、纵坐标表示自变量与函数对应关系
    • 解析式法：用自变量的代数式表示函数
  • 判断图像是否为函数图像
    • 画平行于y轴的直线，看与图像是否只有一个交点，只有一个交点就表示函数图像，否则不是
• 正比例函数
  • 正比例函数的定义
    • 一般地，形如 y=kx ( k为常数，k≠0 )的函数叫做正比例函数
    • 满足条件： （1）解析式是一次单项式（2）一次项系数不等于0 （3）自变量最高次数为1
  • 正比例函数的图像与性质
    • 图像是经过原点（0,0）的一条直线
    • k决定直线的倾斜程度和方向：
      • （1）k＞0图像过一、三象限，y随x的增大而增大（同增同减），上升
      • （2）k＜0图像过二、四象限，y随x的增大而减小（一增一减），下降
      • （3）|k|越大，图像越陡峭（越靠近y轴）
• 一次函数
  • 一次函数定义
    • 一般地，形如y=kx+b ( k、b为常数，k≠0 )的函数叫做一次函数。
    • 满足条件：（1）解析式是一次两项式（2）一次项系数不等于0 （3）自变量最高次数为1
  • 一次函数的图像与性质
    • 图像是一条直线
    • k决定直线的倾斜程度和方向：
      • （1）k＞0图像过一、三象限，y随x的增大而增大（同增同减），上升
      • （2）k＜0图像过二、四象限，y随x的增大而减小（一增一减），下降
      • （3）|k|越大，图像越陡峭（越靠近y轴）
    • b决定直线与y轴交点的位置：
      • （1）直线与y轴交于正半轴，b>0
      • （2）直线与y轴交于负半轴，b<0
      • （3）直线与y轴交于原点，b=0
    • 图像与坐标轴的交点
      • （1）求与x轴的交点，令y=0
      • （2）求与y轴的交点，令x=0
    • 求一次函数图像过的定点
      • 整理解析式使其不含参数；既让参数的系数为0的点为所求顶点
• 求函数解析式
  • 待定系数法求函数解析式 （一设二代三解四还原）
    • （1）根据题意设出函数解析式
    • （2）将函数图像上的点的坐标代入解析式得到关于参数的方程组
    • （3）解关于参数的方程，得到参数的值
    • （4）将参数的值代回解析式中得到函数解析式
    • 一次项系数为两点的纵坐标之差除以横坐标之差
  • 其他方法求函数解析式
    • 已知成正比例，求解析式：一般地，两个量成正比例则比值一定。
    • 已知两直线平行，求解析式：两直线平行则一次项系数相等
    • 已知增减性，求解析式：利用增减性求出直线经过的点的坐标，再利用待定系数法求解析式
• 一次函数与等腰三角形存在性问题
  • 中点坐标公式
  • 等腰直角三角形存在性问题（两定点，一动点）
    • 以两定点确定的线段为边长画两个正方形，这样的动点共6个 用三线垂直+中点公式求坐标
  • 等腰三角形存在性问题（两定点，一动点）
    • 几何法：两圆一垂，与定点AB构成等腰三角形的动点在两个圆和AB的垂直平分线上（除了与AB共线的点）
    • 代数法：根据不同线段做底分三种情况讨论，再利用两边相等根据两点距离公式建立方程
• 一次函数与面积问题
  • 1、两点的水平距离为横坐标之差的绝对值
  • 2、两点的竖直距离为横坐标之差的绝对值
  • 3、任意两点之间的距离：
  • 公式法求面积
    • 适合有水平边或竖直边的图形
  • 割补法求面积
    • 矩形框一切
    • 割补成有水平边或竖直边的图形
  • 铅锤法求三角形面积
    • 过三角形的一个顶点做x轴的垂线与顶点所对边相交； 三角形面积=铅锤高×水平宽÷2
    • 解题步骤：（1）求与铅锤高相交的直线解析式 （2）求铅锤高与直线的交点，求铅锤高 （3）求三角形面积
• 一次函数的实际应用
  • 分段函数
    • 概念：自变量在不同的取值范围内有不同的函数关系
    • 求解析式：1、利用待定系数法分段求解； 2、结果写成大括号的形式； 3、写出对应取值范围
  • 实际问题
    • ①看清横轴和纵轴的意义；
    • ②观察函数图像的变化趋势，关注拐点和交点；
    • ③利用待定系数法求出解析式根据关系式解题. 注意：取值范围
• 一次函数与方程（组） 及不等式（组）
  • 一次函数与方程（组）
    • 1、一次函数的解析式相当于一个二元一次方程
    • 2、一次函数图像上点的坐标相当于对应二元一次方程的解
    • 3、函数图像的交点坐标相当于对应二元一次方程组的解
  • 一次函数与不等式（组）
    • 图像的交点表示对应的函数值相等，谁的图像在上方谁的函数值大
    • 解题思路：找临界、分左右、比高低
• 一次函数图像的变换
  • 解题思路（1）在原函数图像上任意找出两个点，求出这个两个点变换后的坐标 （2）用待定系数法求出变换后的解析式
  • 平移
    • 平移的特征：左加右减自变量，上加下减常数项
  • 对称
    • 画草图：关于x轴对称：k、b都要变，关于y轴对称：k变，b不变 关于原点对称：b变，k不变
    • （1）关于坐标轴对称：关于谁谁不变 （2）关于原点对称：横纵坐标都要变
  • 旋转
    • 两直线垂直一次项系数互为负倒数（K1·K2=-1）
    • 旋转90°，直线垂直，先求出k，再求旋转后与坐标轴的交点，用待定系数法求解析式
• 一次函数思维导图