有理数

七年级上册第一章——有理数，层次分明，通过不同层级的分支将有理数章节的各个知识点有机整合，有助于学生系统地学习和掌握有理数相关内容。

七上第一章 有理数

• 正数与负数
  • 定义
    • 正数：大于0的数都叫作正数
    • 0：既不是正数也不是负数
    • 负数：在正数前面加上“-”（符号）的数叫作负数，负数都小于0
  • 分类
    • 实数
      • 正数
      • 0
      • 负数
• 有理数及其运算
  • 有理数的分类与定义
    • 分类
      • 按性质分
        • 整数
          • 正整数
          • 负整数
        • 分数
          • 正分数
          • 负分数
      • 按正负分
        • 正数
          • 正整数
          • 正分数
        • 0
        • 负数
          • 负整数
          • 负分数
    • 定义
      • 能化为整数与分数的数叫做有理数
  • 有理数的运算
    • 加法
      • 运算规则
        • 同号相加，符号不变，并把绝对值相加
        • 异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并将绝对值相减
      • 运算公式
        • 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
        • 交换律：a+b=b+a
    • 减法
      • 运算规则
        • 减去一个数，等于加上这个数的相反数
      • 运算公式
        • a-b-c=a-(b+c)
    • 乘法
      • 运算规则
        • 同号相乘：同号两数相乘，结果为正数，并将绝对值相乘
        • 异号相乘：异号两数相乘，结果为负数，同时将绝对值相乘
        • 乘以0：任何数乘以0都得0
        • 乘倒数：任何数乘以它的倒数，答案都等于1
      • 运算公式
        • 交换律：ab=ba
        • 结合律：(ab)c=a(bc)
        • 分配律：ab+ac=a(b+c)
    • 除法
      • 运算规则
        • 除以一个数等于乘以它的倒数
      • 运算公式
        • a÷b÷c=a÷bc
  • 裂项公式：1/ab+1/(a+1)(b+1)+……+1/(a+n)(b+n)=1/a-1/b+n(其中b=a+1)
• 绝对值与数轴
  • 绝对值
    • 定义
      • 表示一个数在数轴上与原点（0）的距离的数叫作绝对值
    • 特点
      • 一个正数的绝对值是它本身，即丨α丨=α(α﹥0)；一个负数的绝对值是它的相反数，即丨α丨=-α(α<0)；0的绝对值是0
      • 绝对值拥有非负性，即无论绝对值内数的正负，绝对值一定为正或0(由于距离有非负性)，即丨α丨=±α(±α≥0)
  • 数轴
    • 定义
      • 一条数轴，它满足以下条件：①是1条直线；②被定义有正(负)方向；③有原点；④有一定的单位长度。凡满足①②③④的，一般都可称为"数轴"
    • 特点
      • 在数轴上，在原点左边的数都比0小，反之，在原点右边的数都比0大(在以右为正方向时)
      • 互为相反数的数在数轴上，都关于原点对称
  • 在数轴上，表示两点之间的距离公式为AB=|A-B丨，表示两点之间的中点公式为AB中点=1/2(A+B)
• 有理数的比较大小
  • 同号比大小
    • 同号两数比较大小，谁绝对值大谁大
  • 异号比大小
    • 异号两数比较大小，正数>0>负数
• 有理数的乘方
  • 定义
    • 表示几个相同的数相乘的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；右上角稍小的数叫作指数，表示几个数相乘的个数；指数下的数叫作底数，表示重复相乘之数。例如：有n个数a相乘，可表示为aⁿ，其中aⁿ=a·a·a·……·a(n个a)
  • 公式
    • aⁿ·bⁿ=(ab)ⁿ
    • aⁿ·aᵐ=aⁿ⁺ᵐ
    • aⁿ/aᵐ=aⁿ⁻ᵐ
    • a⁰=1
    • (aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ
    • a⁻ⁿ=1/aⁿ
• 科学计数法与近似数
  • 科学计数法：将一个较大数恒变化为a·10ⁿ(1≤丨a丨<10)的形式，这种计数方法叫作科学计数法
  • 近似数：四舍五入法，精确到哪一位就在此位数的前一位四舍五入