考研线代

涵盖数三考研线代全部考点，亦可用于本科学习。线代特点是概念多、易混淆，因此需要把知识点体系化，注重知识间的联系与综合运用。

线性代数

• 30分 2选择 1填空 1解答
• 1. 行列式
  • 基础,章章用
  • 概念
    • 数值
    • 二三阶行列式
      • 主对角线-副对角线
    • 排列,逆序,逆序数
      • 奇排列
      • 偶排列
    • n阶行列式
      • 总共n!项
      • 不同行不同列元素乘积代数和
  • 性质
    • 值不变
      • 转置
        • 行的性质和列的性质一样
      • 把某行的k倍加到另一行
    • 值变号
      • 两行/列互换
    • 值为0
      • 某行/列元素全为0
      • 两行元素成比例
    • 某行/列有公因数k可把k提出
      • 但注意|kA|等于k^m|A|
    • X如果行列式某行/列每一项都是两个数的和,则可以把行列式拆成俩个行列式之和
    • 行列式乘法
      • |ABC|=|A||B||C|
      • |A^2|=|A|^2
  • 按行(列)展开公式
    • 余子式
      • 去掉第i行，第j列
    • 代数余子式
      • Aij=(-1)^(i+j)Mij
      • 行列式的任一行与另一行的代数余子式乘积之和为零
    • 展开公式
    • 数字型行列式展开技巧
    • 重要公式
      • 1. 三角型
        • 上三角，下三角
          • 主对角线元素乘积
        • 副对角线
          • 副对角线元素与逆序数的乘积
      • 2. 拉普拉斯展开式（分块矩阵）
      • 3. 范德蒙展开式
        • 内容
        • 证明
          • 数学归纳法
  • 克拉默法则
    • 一般不用来求行列式，用来证明
    • 内容
    • 推论
      • n*n齐次方程组系数行列式不为0，则方程组只有一组0解
      • n*n齐次方程组有非0解，则系数行列式必为0
  • 求行列式方法
    • 求具体行列式
      • 1. 写成阶梯形向量组/三角化
        • 1. 行（列）相加后提取公因子,构造全为1的一行
        • 2. 正向消元(从上到下)
      • 2. 对角元素乘积
    • 求含有参数的行列式
      • 1. 写成阶梯形向量组/三角化
        • 1. 尽量初等行列变换整出几个0
          • 把含0多的行列倍加到其他行
        • 2. 行（列）相加后提取公因子,构造为1或-1的一行、列
        • 3. 正向消元(从上到下)
      • 2. 对角元素乘积
    • 求有结构规律的n阶行列式
      • 1. 找规律
      • 2. 递推法
        • 1. 按行列展开
        • 2. 写递推式
          • 一阶递推式
            • 构造等比数列
              • 求和
              • 相乘
          • 二阶递推式
            • 构造特征方程
        • 3. 写通项
• 2. 矩阵
  • 基础,防混淆
  • 基本知识
    • 概念
      • 一个表格
      • n阶方阵
      • 零矩阵：0
      • 同型矩阵
    • 运算
      • 加法
        • 针对同型矩阵
        • 交换律
        • 结合律
      • 数乘
        • 要乘所有元素，区别于行列式提取公因数
        • 交换律
        • 结合律
          • k(AB）=(kA)B=A(kB）
      • 乘法
        • 注意
          • 1. 无交换律
            • AB=/ BA
          • 2. 分配律
            • A(B+C)=AB+AC
          • 3. 结合律：(AB)C=A(BC)
          • 4. AB=0不能推出A=0或B=0
          • 5. AB=AC,A=/ 0, 不能推出B=C
            • 因为矩阵没有除法 A不能约
            • 判断A的逆是否存在，若存在左乘或右乘A逆可消掉A
      • 转置
        • 法则
          • XX
          • X
        • 内积、外积
          • 详见向量的运算
    • 几种特殊的矩阵
      • 对角阵
        • 定义
          • 非对角元素都为零的矩阵
          • 副对角线型的不是
        • 性质
          • 对角阵左乘一个矩阵
            • 对角元分别乘这个矩阵的对应各行
          • 对角阵右乘一个矩阵
            • 对角元分别乘这个矩阵的对应各列
          • 俩对角矩阵相乘
            • 等于对角元素分别相乘构成的对角矩阵
            • 可交换次序
          • 对角矩阵的n次方
            • 等于对角元素的n次方构成的对角矩阵
          • 对角矩阵的逆矩阵
            • 等于对角元素取倒数构成的对角矩阵
      • 单位阵
        • 主对角元素为1，其他为0的矩阵
      • 数量阵
        • 数k与单位阵的乘积
      • 上下三角阵
      • 对称阵
        • 满足A的转置等于A
      • 反对称阵
        • 满足A的转置等于-A，主对角元素为零
      • 正交矩阵
        • 定理
          • A是正交矩阵
            • 充要条件
              • AT的各行/列是单位向量且两两正交
            • 必要条件
        • 施密特正交化(正交规范化)
    • 俩矩阵关系
      • 相等
      • 等价
        • 等价矩阵
          • 定义
            • A经过有限次初等变换变成的矩阵：有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=QAP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵）
          • 充要条件
            • 矩阵B可由A的行/列线性表出
        • 性质
          • 具有反身性、对称性、传递性
          • 秩相等
            • 相关性一样
          • 极大线性无关组向量个数是一样的
      • 相似
        • 定义
          • • 方阵
            • 即AP=PB
          • P不唯一：例如实对称矩阵的P：由特征向量组成P和把P正交化后的Q
        • 性质
          • 具有反身性、对称性、传递性
        • 判断是否相似
          • 普通矩阵
            • 判断不相似
              • 必要条件
            • 判断相似
              • 借助各自的对角阵作为中间比较矩阵进行判断
                • 俩非实对称矩阵相似没有充分和充要条件，无法直接判断是否相似
          • 实对称矩阵
            • 相似充要条件
              • 有相同的特征值
      • 合同
        • 定义
          • • C可逆
            • A B是方阵
        • 性质
          • 具有反身性、对称性、传递性
        • 判断是否合同
          • 判断合同
            • 充要条件
              • • 是特征值符号相同，不是特征值
          • 判断不合同
            • 必要条件
              • 实对称矩阵的合同矩阵也对称
                • 做题的时候需证明
            • 充要条件
  • 伴随矩阵
    • 定义
      • 由矩阵A的行列式的代数余子式所构成的形如
    • 公式
      • 最基本公式
      • XX
      • 二阶矩阵的伴随矩阵
        • 主对角线互换，副对角线变号
  • 可逆矩阵
    • 定义
      • AB=BA=E成立，则称方阵A为可逆矩阵，或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵
        • 奇异矩阵就是不可逆矩阵
      • 推论
        • 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵唯一
    • A可逆的充要条件
    • 公式
      • |A| 与 |A^-1| 互为倒数， |A^-1| = 1/|A| = |A|^-1
      • A可逆，A*也可逆
    • 求逆矩阵的方法
      • 1. 普通的具体矩阵
        • 计算错了无数遍：每一次变换都要写清楚，不要在一个矩阵上乱画
        • 初等行变换
      • 2. 初等矩阵
        • 利用倍加初等矩阵与其逆矩阵的关系
      • 3. 分块矩阵
      • 4. 知道伴随矩阵和行列式
        • 求伴随矩阵
          • • 二阶最好，三阶也行
      • 5. 定义法
        • AB=E
        • 真题
          • • 解法巧妙
  • 初等(行/列)变换
    • 定义
      • 初等变换
        • 倍乘
        • 互换
        • 倍加
      • 初等矩阵
        • 单位阵经过一次初等变换
      • 等价矩阵
      • 行阶梯矩阵
      • 行最简矩阵
      • 等价标准型
    • 定理
  • 分块矩阵
    • 按块分
      • 求AB,A^n, A^(-1)
      • 分块思路
        • 尽量分成除主对角线外的元素都为0的形式
    • 按行分
      • 求秩，向量，解方程组
    • 按列分
      • 求秩，向量，解方程组
    • 公式
  • n阶抽象方阵的常用公式
    • A转置的行列式等于A的行列式
    • • 特殊地，|A|^2=|A^2|
  • 题型
    • 求矩阵高次幂
      • 对角化
        • 初等变换
        • 相似对角化
• 3. 向量
  • 小心证明,选择
  • 难点
  • 基本概念
    • n维向量
    • 零向量
      • 所有的分量都为零的向量
    • 向量相等
      • 每个分量都相等
    • 运算
      • 加法
      • 数乘
      • 内积、外积
        • 内积
          • 是个数
          • 形式
            • • >0,=各个元素的平方和=对角线元素之和 of
          • 性质
            • 对称性
            • 线性性
            • 正定性
          • 单位向量
          • 俩向量夹角
        • 外积
          • 是个矩阵
          • 定义
          • 形式
            • • 对称矩阵
          • 定理
            • XX
              • 俩向量都不是0向量
              • 有一个为0向量
                • =0
        • 求A^n
          • 利用累乘构造内积
    • 等价向量组
      • 定义
        • 两个向量组可以互相线性表出
        • 矩阵B可由A的行/列线性表出
      • 特性
        • 具有传递性、对称性、反身性。
        • 秩相等
          • 相关性一样
        • 极大线性无关组向量个数是一样的
  • 线性表出
    • 线性组合
    • 概念
      • • k是是任意常数 可以为0
    • 定理
      • 如果两个向量组可以互相线性表出↔两个向量组等价
      • 与向量组正交的非零向量，不能由此向量组表出
      • 可逆矩阵的行（列）向量组
  • 相关、无关
    • 定义
      • • k不全为0
    • 判断
      • 线性相关
        • 向量组
          • 单个向量的向量组
            • 零向量
            • 若含有
              • 线性相关向量
                • 零向量
                • 相等向量
                • 成比例向量
          • 多个向量的向量组
            • 其中一个向量可以被其它向量线性表出时
        • 几何意义
          • 两个向量共线
          • 向量坐标成比例
      • 线性无关
        • 单个向量的向量组
          • 非零向量
        • 两个向量不成比例
        • 等价表述
      • 定理
        • • 其中任意子向量的组合可能相关，也可能无关
        • 去掉向量
        • ❌
          • 推论
            • 如果两个向量组可以互相线性表出↔两个向量组等价
  • 秩
    • 极大线性无关组
      • 定义
        • • • 添加任意数量向量后向量组必线性相关
            • 向量组中的任一向量均可由该极大线性无关组线性表出
            • 且表示法唯一
      • 注意
        • 一个向量组
          • 的极大线性无关组不唯一
          • 极大线性无关组向量个数是一样的
          • 只有一个零向量
            • 没有极大线性无关组
          • 线性无关
            • 极大线性无关组就是该向量组本身
      • 求极大线性无关组
        • 弃去明显线性相关的向量
          • 零向量
          • 相等向量
          • 成比例向量
          • 为两行之和的向量
    • 向量组的秩
      • 秩的本质意义
        • 向量组的极大线性无关组的向量个数
        • 即给定向量组中，最多有几个线性无关的向量
      • 定理
        • • ↔向量组的极大线性无关组的向量个数<n
        • 俩向量组线性相关，则秩相等
        • 等价向量组
          • 秩相等
            • 相关性一样
    • 矩阵的秩
      • k阶子式
        • • 选的行列不一定相邻或连续 本质是行列式
      • 秩
        • 定义
          • 矩 阵 A 中非零子式的最高阶数r: 秩 r(A)=r
        • 基本性质
          • X
        • 相关定理
          • 等式
            • r(kA)=
              • k=0
                • 0
              • • r(A)
            • 左乘右乘可逆矩阵，秩不变
              • XX
            • • 矩阵B可由A的行/列线性表出,则A和B等价，则r(A)=r(B)
            • =其相似（对角化）矩阵的秩
          • 不等式
            • X |r(A)-r(B)|<=r(A+B)<=r(A)+r(B)
            • X
            • X
          • 伴随矩阵的秩
            • • r(A逆）=n
    • 求秩
      • 具体矩阵的
        • 看成若干个行/列向量组成的向量组
      • 具体向量组的
        • 注意本题的变形题
        • 1. 计算行列式
        • 2. 利用秩、伴随矩阵的秩和行列式的关系得到具体矩阵
        • 3. 找到极大线性无关组
        • 4. 其中所含向量的个数即秩
• 4. 方程组
  • 重点，占分多，解答题多
  • 齐次
    • 基础解系
      • • k是是任意常数可以为0
    • 定理
      • 解的情况
        • 唯一零解
        • 无穷多解
      • 克拉默法则推论
        • n*n齐次方程组有非0解，则系数行列式必为0
        • n*n齐次方程组系数行列式不为0，则方程组只有一组0解
      • • K是任意常数，不是任意非零常数
      • • 但B的列向量不一定能组成基础解析
  • 非齐次
    • 有解判定
      • 有解
        • • 唯一解
            • 克拉默法则
          • 无穷多解
      • 无 解
    • 解的结构
      • 非齐特解+齐通解
  • 方程组的应用
    • 1. 解具体方程组
      • X矩阵初等行变化(不能混杂着列变换)
        • 1. 正向消元(从上到下)
          • 化成行阶梯形(高斯消元法)
            • 同解变形
              • 1. 将两个方程组的位置互换
              • 2. 将某个方程乘一个非0常数
              • 3. 将一个方程的k倍加到另一个方程上
        • 2. 反向求解(从下到上)
          • 化成行最简
            • 同解变形
              • 1. 将两个方程组的位置互换
              • 2. 将某个方程乘一个非0常数
              • 3. 将一个方程的k倍加到另一个方程上
          • 带值求解
        • 3. 同解变形的灵活运用
          • 反复错
          • 1. 先采用传统方法
            • 消出尽可能多的0
          • 2. 特殊情况可 反向消元，正向求解
          • 3. 无法化成正三角行阶梯或行最简时
            • 化成倒三角
      • 方法
        • 基础解系法
          • 带值0、1
          • 注意把结果分数变为整数
            • 带值0，2，3，4
        • 自由变量法
          • 当后面步骤需要用到向量或矩阵
    • 2. 无具体方程组时求解
      • 由非齐次的特解求齐次解
        • 特解两两相减
      • 由齐次通解求原方程组
        • 转置
          • 求通解的通解
    • 3. 讨论未知参数
      • 带着参数进行初等行变换
    • 4. A的列行向量与x的关系
    • 5. 公共解与同解
      • 求公共解
        • 1. 两个方程组都给出，则联立方程组
        • 2. 给出方程组 (I) 的通解, 与方程组 (II) , 则将通解代入方程组 (II)
        • 3. 给出两个方程组的通解 (如上)，则令通解相等
      • 俩方程组同解
        • 线性无关解的个数相同，系数矩阵的秩相同；
        • 基础解系相同，通解也相同。
    • 6. 解矩阵方程、向量坐标
      • 1. 多个向量，向量组求解问题可以转换为方程组问题求解
      • 2. 将一个未知向量组用另一个已知向量组线性表出时
• 5. 特征值
  • 一般占大题的9分
  • 最重点，综合性最强
  • 特征值、特征向量
    • 定义
      • • A是方阵，特征向量α是非零列向量
    • 特征方程
    • 如何求特征值、特征向量
      • 基础解系法
        • • 反复错：带未知数的行列式不会化简
      • 定义法
      • 常用特征值转换
    • 定理
      • 同一特征值的特征向量的非零线性组合，仍是该特征值的特征向量
      • 不同特征值的特征向量线性无关
      • X
        • n阶矩阵
        • 用途
          • 由特征值求矩阵元素
      • 常用特征值转换
        • • 得出的仅是特征值的取值范围，可能不取某结果
      • A为上下三角形矩阵，则特征值就是对角线元素
      • E的特征值是1
      • 转置矩阵的特征值不变
  • 相似
    • 相似
      • 见矩阵章节
    • 相似对角化
      • 定义
      • A可相似对角化
        • 充分条件
          • A有n个不同的特征值
            • 则A可相似对角化
        • 充要条件
          • A有n个线性无关的特征向量
          • A的特征值重根数量= 对应线性无关特征向量的个数（通过特征方程求）
      • 判别矩阵是否相似于对角阵
        • A有n个线性无关的特征向量
      • • P中特征向量顺序和对角矩阵中特征值顺序对应
        • P是特征向量的组合，对角矩阵是特征值的组合
  • 实对称矩阵
    • 定义
      • 矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）
    • 定理
      • 实对称阵必合同于对角阵
    • • • 各个特征值不同
          • 特征向量已正交，只需单位化
        • 特征值有重根
          • 判断重根对应特征向量是否正交
            • 正交
              • 单位化
            • 不正交
              • 正交化处理
      • • Q为正交规范化的特征向量组成的矩阵
• 6. 二次型
  • 注意与特征值,特征向量的联系。概念关系反复，易混淆 一般占大题的2分
  • 重点
  • 概念
    • 定义
    • 对应矩阵
      • • A一定是实对称矩阵
    • 标 准 形 （ 平 方 和 ）
      • 只有平方项，没有混合项 （即混合项的系数全为零）的二次型
      • 不考虑对角矩阵对角元素的次序时, 标准形 唯一
      • 特征值是一个标准形的系数
    • 规范形
      • 规范形即取标准形系数的符号
      • 在二次型标准形中，平方项的 数 a, 只 是 1 ，- 1 ，0
        • 系数中1 的个数是P 个 ，- 1 的个数是q 个 ，0 的个数是n-(p+q)个
      • 对应于同一规范形的矩阵, 都是合同关系
    • 惯性指数
      • 正惯性指数
        • 正平方项的个数p
      • 负惯性指数
        • 负平方项的个数q
      • 惯 性 定 理
        • 一个二次型经过坐标变化为标准形，其正惯性指数和负惯性指数都是唯一确定的
        • 推论
          • 可逆线性变换对应同一规范形
          • 所有标准形都有一样的惯性指数
          • 一个二次型可能有多个标准形但只有一个规范形
    • 秩
      • 二次型 矩阵 A 的 秩 称 为 二 次 型 的 秩
    • 合同
      • 见矩阵章节
    • 坐 标 变 换
      • 注意
        • 利用正交变换将二次型化为标准形, 即将实对称矩阵A正交对角化
        • 求标准形矩阵的变换矩阵即求相似对角化的正交矩阵
        • 变换矩阵不唯一
  • 化普通二次型为标准形
    • 正交变换法
      • 理解掌握
      • • 即将A对角化
      • 正交变换法得到的是既相似又合同的对角阵
    • 配方法
      • 了解
      • • X C一定要可逆
      • 配方法法得到的是合同但不一定相似的对角阵
  • 正定
    • 定义
      • • 任意非零向量
      • 二次型正定即对应矩阵A正定
    • 判别二次型正定性
      • 抽象矩阵
        • 用定义
          • 注意正定矩阵是二次型的对应矩阵, 须证明对称
          • 可借用已给正定矩阵，左乘右乘矩阵，构造定义
      • 具体矩阵
        • 充要条件
          • • 规范形不能有等于0的系数
            • 可逆线性变换不改变二次型的正定性.
        • 必要条件
        • 用 配 方 法