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这份思维导图系统梳理基础知识、解题方法与高频题型,将复杂考点整理为清晰框架,帮助同学们快速掌握解题思路、提升做题效率,是备考复习的实用工具。
编辑于2026-02-28 20:30:21这份导图从基本知识、解题思路、计算方法、坑点总结、口诀大全五大维度,系统梳理核心公式、审题逻辑、速算技巧与避坑规律,帮你快速定位数据、规避常见陷阱、提升计算效率,是备考资料分析、攻克计算难点的实用工具。
这份思维导图以阅读方法、解题方法、特殊题型、特殊技巧、常用并列为框架,系统拆解题干引入、逻辑排除、选项辨析等实战思路,归纳高频并列考点与速记规律,帮你跳出死记硬背的局限,用逻辑思维高效破解常识题目,是提升做题速度与正确率的实用备考工具。
中国特色社会主义理论体系,是中国共产党在改革开放和社会主义现代化建设实践中,把马克思主义基本原理与中国具体实际相结合所形成的重大理论成果。它包括了邓小平理论、“三个代表”重要思想、科学发展观以及新时代中国特色社会主义思想等一系列理论成果。
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中国特色社会主义理论体系,是中国共产党在改革开放和社会主义现代化建设实践中,把马克思主义基本原理与中国具体实际相结合所形成的重大理论成果。它包括了邓小平理论、“三个代表”重要思想、科学发展观以及新时代中国特色社会主义思想等一系列理论成果。
数量关系
解题思路
审
审题型
优势题型
日常经常练,已经掌握的题型,基本上立马有思路,能做出来
劣势题型
日常不太擅长,或压根不会的题型,如果读完立马有思路,可以做,否则立即跳过
思
要把握每一类题目的核心,根据题目,逐一搭建思路
如行程类题,核心公式为A=B×C,给了速度,总量不变,就要立即去想着求时间
看+算
先看选项,根据选项间、题干与选项破题点直接蒙
选项间存在和差倍比关系
题干给了破题点,选项刚好满足
如题干中甲是乙的1.5倍,选项中也存在此关系,直接蒙
结合选项数据,边看边算边猜
就算有思路,也不要盲目算,而是根据题目来决定计算与否、计算多少,核心目的是解出这个题,计算越完整,越导致用时很长,甚至挤压其他模块的时间
基础方法
代入法
代入原则
最简代入原则
一定要先化简式子,减少代入量
数字敏感性原则
优先代入10、20这样的数据,再代入16、17这样的数字
最值代入
问最大,代入最大;问最小,代入最小
常用题型
年龄问题
不定方程
余数问题
多位数问题
如个位和百位互相调换……
比例法
满足C=A×B的形式就可以用
总量C不变
B或C不变
方程法
适用题型
适用于数量关系所有模块
注意事项
尽量问啥设啥
列方程尽量减少计算量
方程法类别
确定性方程
不定方程
核心思想
要抓住题目中的不变量,以不变应万变,列出方程
赋值法
底层逻辑
未知量太多→赋值让未知量减少→减少计算
注意事项
要注意各个量之间的关系,如果量已经唯一确定,不能再赋值了
如C=AB,如果已知C和B,就不能随意赋值A了
赋值的目的是减少未知量,因此要赋值最少的量,减少最多的未知量
适用情况
不定方程或不定方程组
极限法
枚举法
当情况数较少的时候,可以用枚举法,优点是思路简单,更适合考场思维
基础知识
整除特性
余数特性
均分思想
特殊方法
最小公倍数做周期,余同取余、差同做差、和同加和
核心方法
中国剩余定理,先找满足除数最大的数,再找满足除数第二小的数,第三个数不满足,就用找到的满足除数第一小和第二小的数再加上两者的公倍数,多试几次百分百能找到
比例特性
奇偶特性
尾数特性
方程特性
C=A+B型
子主题
基础题型
A=B×C
行程类
核心思想与核心方法
核心思想上,一定要把握路程=速度×时间这一核心公式,根据题目中所给的数据,去求其他数据,从而搭建出与题目设问的量之间的解题思路
核心方法上,要灵活运用比例法,给时间求速度,给速度求时间,给速度时间求路程总量;其余方法配合方程法、赋值法、画图法、极限法(鸡兔同笼)等方法解题
基础行程
平均速度
具体分类
一般平均速度
总速度=总路程/总时间
匀加速平均速度
V=(V初+V末)/2
V=V初+at
a=(V2-V1)/t
如15m/s加速到60m/s用了15s,则a=(60-15)/15=3m/s
等距离平均速度
V=2V1*V2/(V1+V2)
单程分段,路程相同(如果上下坡的距离等同,也可以用)
多程往返,上坡下坡(一般上下坡的平均速度会等于平坡)
方法总结
匀加速、匀速问题画图法,即VT图,面积即为路程(高中物理)
匀加速转化为匀速,如速度从0匀加速到90,则平均速度即为45
盈亏思想为根本的极限法,适用于二元一次方程,套用鸡兔同笼的模型即可
火车过桥
所有题型最终都可以归为两种模型,判断何种模型时,要找准参照系,车头对车头,车尾对车尾
两大类
S=S桥+S车(车身完全过桥)
S=S桥-S车(车身完全在桥)
作差法
如一辆车通过1500米的隧道用时35s,通过2000米用时45s,速度=(2000-1500)/(45-35)=50m/s,再求出车身长度,核心是S1+S车=35V,S2+S车=45V,两式做差即可把车身长度消掉;如果是完全在桥上,或者一个完全在桥上、一个完全过桥,也可以采用这种方法,可以大幅度简便计算。
流水行船
基本公式
S = VT V顺=V船+V水 V逆=V船-V水 V船=(V顺+V逆)/2 V水=(V顺-V逆)/2 2V水=V顺-V逆
方法总结
比例法为核心,通过时间量、路程量,求得速度之比,结合赋值法,灵活运用公式即可解题
相同时间甲顺流走了100,乙逆流走了50,则速度之比为V顺:V逆=2:1,赋值V顺=2,V逆=1,则V水=1/2
方程法为辅助方法,在比例法和赋值法无法解题时,可列方程解题
要灵活运用盈亏思想,判断谁盈谁亏谁余,减少计算量
相对行程
追及问题
单向直线型
一般会相差一段距离,一般会有速度差,问追击的时间要多久?
时间=路程差/速度差
把握两者形式时间不变,则路程之比=速度之比,根据路程差,用和差倍比即可求出来
猎豹追兔问题
如猎豹跑一步为2米,狐狸跑一步为2米,相同时间猎豹跑2步, 狐狸跑3步,猎豹距离狐狸30米,问猎豹跑多少米追上狐狸?
设单位时间为1s,则猎豹速度为4m/s,狐狸3m/s,则速度差为1m/s,t=30/1=30s,则需要跑30*4=120m
相同时间猎豹跑4m,狐狸跑3m,则追上时路程之比=4/3,分母分子相差的一份刚好是追击的路程差为30m,则需要跑30*4=120m
往返直线型
环形
同点追击
异点追击
相遇问题
往返直线型
环形
同点相遇
异点相遇
工程类
核心思想和核心方法
核心公式是总量=时间×效率,核心目的就是求出效率或者效率之比,通过效率去解题
核心方法上,满足某个量不变的大前提时优先使用比例法,其次使用赋值法,最后再使用方程法,辅助代入法等其他方法
怎么求效率和效率比?
直接给效率
如甲单位时间生产5个零件,乙单位时间生产8个零件
通过天数给
独干型
如完成某项工作甲需要五天,乙需要三天
赋值法求效率
赋值总量为15,甲的效率为3,乙的效率为5
总量为1求效率
甲的效率为1/5,乙的效率为1/3
合作型
分段合作型
多人组合型
具体题型
同时开工同时结束
题型识别
甲和乙同时开工,分别负责两个相同工作,丙在两者之间来回跑
核心思想
无论丙在哪边工作,那一刻甲乙丙都在同时工作,因此可以求出总的花费时间,即总量/甲+乙+丙
核心解法
先求出总的花费时间,再根据题干解题
经济利润类
基本公式
单件(即资料分析中的ABRX四量关系)
利润=售价-进价 利润率=利润/进价 售价=进价(1+利润率)
总量
总成本=单件成本×数量 总收入=单件收入×数量 总利润=单件利润×数量 总利润=总收入-总成本
相关量
折扣
基本题型
鸡兔同笼
统筹经济(最值问题)
核心思想
问最大最小,实则根据题目找到最优解,如要让某某最少,那就要让某某最多,不断反推找到满足题干目标的情况,常常会结合最值问题、至多至少等方式考察
二元一次型
求两个根,取中间值即可
最优解
问法
投入最少?成本最低?最赚钱?资金投入最佳?
思路
要从多个选择中选择最省钱的方案(利润最高、成本最低)
合并计费
若想合并后优惠力度较之前最大,则分别付款时各自优惠力度要最小
如满488打八折,一个人花了400,有两种情况,一是花了500打八折,一个是原价400买,则要选400原价的情况
增长率型
乘积增长率(C=AB)
混合增长率
方法总结
代入法
一般正向来做也能做,但计算量太大,不如反向代入会更简单
方程法
确定性方程:大都属于这一类,列方程可以减少思考时间,但是解方程很麻烦
不定方程:要灵活运用不定方程的特性解题,如尾数特性、倍速特性、奇偶特性,遇到不定方程组要消元或者赋零
赋值法
适当赋值,减少计算量
极限法
适用于鸡兔同笼模型
牛吃草问题
总量不变
草长型
草减型
牛长型
总量变化
子主题
排列组合
分步(乘法原理)和分类(加法原理)是核心
核心思路
判断属于四种情况中的哪一种情况
判断属于此种情况中的何种考点
理清楚具体解题思路,即正确分步或分类
根据思路选择排列还是组合,列式解出即可
基本知识
两大核心原理
分类
分步
分步是解决排列组合问题的核心,分类也是分步的其中一部分
乘法原理两大表现形式(是否有序)
排列(A)
组合(C)
判断用A还是用C,要看从n个元素中拿出m个元素后,是否有必要排序
两大破题点
元素
人默认为不同元素,但要注意和名额分开,名额是相同元素,如三个班级分十个人,十个人实则是名额
路灯、球等非人元素,除非特殊说明,一律按照相同元素处理
位置
有顺序要求即为位置不同,如A、B、C三所学校
无顺序要求即为位置相同,如分组,两组是一样的,要排除重复计数,进行消序
四种情况
元素不同,位置不同
四个人不同位置
位置相邻
捆绑法
六个人排成一排,甲和乙必须一起,则甲和乙可看成一个元素,内部有A2.2种排列,外部有A5.5种,分步相乘总的为A2.2A5.5
位置不相邻
插空法
六个人排成一排,甲和乙不能相邻,先不算甲和乙,四个人共产生五个空,只需要在这五个空中选两个空进行排列,其余四人进行全排列,总共有A5.2A4.4
异元进盒(排组混合,先选后排)
先分组,再全排列
如四个盒子
定序问题
题型识别
即n个元素中,m个元素的顺序是定的,有先后顺序,注意要跟相邻问题区分,这里的定序是有顺序而不一定必须相邻
如有5人参加赛跑,无人同时到达,甲比乙先到的情况有多少种?
解题方法(见例题)
可计算出排列总数,消除重复计数
不考虑位置,总数为A5.5,甲和乙重复计数两次(甲在乙前或在乙后),则为A5.5/A2.2
也可先选出定序元素的位置,再进行其他元素的排列
先对甲乙位置先定,五个位置选出两个为C5.2,其余三个位置全排列为,A3.3,总的为C5.2A3.3
元素不同,位置相同
四个人分两组
平均分组
先进行分组,再去除分组带来的重复计数
全平均分组
如4个人分2组,一组两个人,则为C4.2,两组出现重复排列计数,则为C4.2/A2.2
部分平均分组
如7个人分成3组,每组人数分别为3、2、2,则后两组出现重复计数,要消序,总数为C7.3C4.2/A2.2
元素相同,位置不同
四个球四个盒子
同元进盒
每个盒子里的元素不知道,目的是为了确定每个盒子的元素数量
不确定类
插板法
每组至少1人
9个人分成3组,每组最少一个人,可产生八个插板的位置,选出其中三个,就可以达到分成三堆的目的,即C8.3
每组至少n个人
9个人分成2组,每组最少两个人,先每个组分一人,还剩7个人,产生六个插板的位置,选出两个即可,即C6.2
分为n组,每组人数可为0
9个人分成3组(每组人数可为零),假设每组人数都借一个(重新分配的时候又回到了组里,相当于还回去了),就等价于每组最少一个人了,则为C11.2
确定类
分类讨论
9个人分成A、B两组,每组至少四个人
A5B4,则有C9.5种;A4B5,则有C9.4种。合计有C9.5+C9.4种
同元出盒
每个盒子中的元素数量确定,要根据条件从每个盒子中拿出元素
总共有AB两个盒子,分别有3个和5个小球,现在要从这两个盒子中选5个小球,A盒2个、B盒3个,有多少种方案?
A盒两个,则为C3.2,B盒三个则为C5.3,分步用乘法,则总数为C3.2C5.3
元素相同,位置相同
四个球分两组
题型分类
基础题型(见四种情况的细化考法)
一定要先判断题型,属于四种情况中的哪一种,比如异元进盒一不小心搞成了同元进盒,就会错误地用成隔板法
变形考法
配对问题
先对后单
两类元排问题
最小路径
环形排列
减一排
传球问题
涂色问题
错位重排
0、1、2、9、44、265
综合考法
拆解成基本题型
基本方法
枚举法
情况较少
排列组合法
情况较多
概率类
排列组合类
先求总数,再求满足条件的情况数(有时候也可求反面),求比值即可
古典概率类
跟屁虫概率
先随便放一个,不影响最终结果,再放跟屁虫
如甲乙去看电影,总共有六十个位置,问他两坐同一排的概率为多少?甲做哪里都不影响,随便选个位置,乙挨着坐还有5个位置,因此概率为5/60=1/12
比赛类
正面分类太复杂,就反向做
给胜率类
一般采用分类和分步,即可求出来
不给胜率类
先求出各自胜率(一般为方程法,注意设方程时要减少计算量),再分类分步求出结果
密码抓阄类
先求总数,再求成功次数(有几次机会,就是成功的次数),最后求比值
如输入密码,后两位忘了,最多可输入三次,则成功的概率为多少?总次数为A10.2=90,成功的次数为3,则概率为1/30
策略类
根据生活经验来做
易混点
1.条件概率使用的前提是各事件相互独立
如一场比赛,小李赢的概率是0.6,小王赢的概率是0.7,两人都赢的概率是?即李赢*王赢=0.6*0.7=0.42,这两个事件是相互独立的,所以用分步乘法
如一场比赛,小李赢的概率是0.3,小王赢的概率是0.2,两人都赢的概率是0.1,则有人赢的概率是多少?
思维误区:我们可以看到,按照条件概率算法,李赢+王赢=0.3*0.2=0.06,但是题干说的两者都赢的概率是0.1,说明两者之间非独立,已经被题干下了“强制结论”,就不能按照条件概率来做了
具体做法:有人赢的情况有三种,分别是李赢+王赢、李赢+王不赢、王赢+李不赢,第一种情况概率是0.1,第二种情况可以这么看,李赢的情况分为【李赢+王赢、李赢+王不赢】,则李赢+王不赢=李赢的两种情况-李赢+王不赢=0.3-0.2=0.1;同理,王赢+李不赢=0.2-0.1=0.1。则有人赢得概率=0.1+0.2+0.1=0.4
年龄问题
基础知识
年龄差不变
两组
人数相等
年龄差不随时间产生变化
人数不相等
人数差=两组总的年龄差/推移年份
两人
年龄差不随时间改变
出现倍数关系之时,份数差等于年龄差(可采用代入法)
年龄倍数往后渐小,往前渐大
45²=2025(特殊年份)
19xx各个位数之和等于年龄,加一岁年龄大一岁,年份大一年
基础方法
代入法
出现和差倍比关系之时,可采用代入法反向解题
方程法
基本上都可以用,思路简单但解方程难
倍数特性
常搭配代入法使用
如今年老王是小王年龄的三倍……
容斥类
核心方法
画图法
适用场景
不适用于公式计算,缺少公式中必需的某个量(但适用于公式的场景也可以使用,画图会更直观)
注意事项
设未知数、标数时一定要从里到外,根据条件逐一标,避免出错
基本公式(可根据画图来推导,不能死记硬背)
双集合
标准公式
总数-都不=A+B-A∩B
常识公式
总数-都不=只满足一项+只满足两项=只满足A+只满足B+只满足两项
三集合
标准公式
总数-都不=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C
非标准公式
总数-都不=A+B+C-满足两项-满足三项×2
常识公式
总数-都不=只满足一项+只满足两项+只满足三项(直观图示常识公式)
变种集合
画图法
如三个集合相交,但没有三个集合同时相交的情况
题型分类
确定类
不定方程类
最值问题
最不利构造
核心思路
无论最不利构造怎么变,核心都是取球模型,要明白什么是球,球可以是任何东西
排列组合型
排列的方式数就是球
一般思路
先考虑最糟糕的情况,再进行下一步操作
如一个箱子里有三种颜色的球各四个,问至少摸多少个球,才能保证两个球颜色一样?
每种颜色各取一个,共三个,再任取一个,肯定颜色相同,所以要取四次
秒杀思路
看哪两个选项差1,选其中大于另外一个1的选项,就是正确答案
选项数减一之后,要是n-1的倍数
容斥+最值问题
问最大
如全班有90个人,会篮球有70人,会足球的有60人,问两个都会的最多有多少人?
短板决定最多:两个都会最多的情况,就是会足球的60人都会篮球,但不能是会篮球的90人都会足球(因为会足球的只有60人)
问最小
如全班有90个人,会篮球有70人,会足球的有60人,问两个都会的至少有多少人?
反向思维:问都会的最少,那相当于要让有一项不会的最多(注意矛盾取反,不是所有都不会的最多)
全班90人,不会篮球的有90-70=20人,不会足球的有90-60=30人,那让一项不会的最多,即不会篮球的和不会足球的人完全不交叉重复,则有30+20=50人,则两者都会的人最少有90-50=40人
构造数列
方法
先求出总数,再列方程,问谁设谁
最多向下取整,最少向上取整
根据问法来设方程
问最大的至少是多少?
最大的为X,第二大的为x-1,第三大的为x-2……以此类推,再求和
问最小的最大为多少?
最小的为X,第二小的为x+1,第三小的为x-2……以此类推,再求和
问中间的最大/最小?
中间值为X,问X最大,则最大值最小,也为X;问X最小,则最小值最大,则分别为X-1、X-2……
几何类
基本公式
基本定理
相似比
在平面图形中,面积之比等于相似比的平方
在立体图形中,体积之比等于相似比的立方
相似比就是整个图形放大或缩小的倍数,跟公式中r、h等参数要区别开来
如圆锥的体积公式为1/3πr²h,假如放大了3倍,则体积就是原来的27倍,但是公式中的r是平方,h是一次方,但却是公式中的r和h共同作用导致体积变成了原来的27倍,r²贡献了9倍,h贡献了3倍
八大模型(去抖音看图更形象)
等积模型
一组平行线,拉窗帘模型
一半模型
方形拉窗帘模型
等高模型
三角形中,高相等,两个面积之比等于底边之比
风筝模型
任意四边形等角线交叉模型
S头✖️S尾=S两只翅膀乘积
蝴蝶模型
梯形等角线交叉模型
满足风筝模型,且两只蝴蝶翅膀的面积相等
沙漏模型
梯形等角线交叉去侧边模型
满足蝴蝶模型,S上三角形:S下三角形=上底边²:下底边²=上下两三角形对应侧边平方之比
鸟头模型
等角内外三角相似模型
S内:S外=等角的内三角形两边乘积:等角的外三角形两边乘积
燕尾模型
三角形三顶点连线交叉模型
S头面积之比=S尾面积之比=底边之比
基本题型
特殊题型
鸡兔同笼
最短路径
计程车计价
还原问题
时针问题
日期问题
核心原理
以一个日期为起始,间隔7n天后,对应的星期几不变
如6月20号是周五,那么6月27也是周五,以此类推……
一星期四次,无论从哪天开始算,一星期内都有四次
基础知识
跨月
一般月份
跨小月+2
跨大月+3
2月份
有28天,不变
有29天,+1
跨年
平年(2月有28天)
平年是365天
跨平年+1
闰年(2月有29天)(年份是4的倍数)
闰年是366天
跨闰年+2
星期推导
以7为加减周期,简化推导
如2月2号是星期五,求2月7号是星期几
可以看到是经过了5天,往后推导的话很麻烦,如果我们利用就±7n不变的规律,则变成往前推两天,即2月7号是星期三
基础题型
告诉你起点型
只考简单的星期推导
不告诉你起点,需要自己推导
推导出起点是哪一天
两段分开看中间连续
一段看首尾
注意事项
要注意±1的问题
统一日期起点问题,直接用日期减日期(即经过了几天)
如6月20号是周五,7月23号就是(23+10)/7=4……5,循环四个星期后也是周五, 在此基础上再往后推五天,则7月23号为周三
每过7n后,星期数一样
如20号是周四,七天后为27,也是周四
互给模型
举例说明
如小王给小张3个苹果,是小张的3倍
核心要点
两者的总数不变
如上题,两者的总数一定是4的倍数(分数比例思想)
蒙题技巧
纯蒙
最高选最高,最低选次低或者最高选最高,最低选最低
一般蒙可以分解的数,如80和73,优先蒙80
半蒙半做
根据题干某个特殊条件解题
子主题