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线性代数
根据高等教育出版社的版本整理的，包含矩阵、矩阵初等变换、线性方程组、向量的线性相关性相似矩阵及二次型等。
编辑于2021-08-23 20:54:06
- 相似推荐
- 大纲
线性代数
矩阵
概念
m*n个数排成的m行n列的数表
类型
方阵
n*n
行矩阵/行向量
只有一行
列矩阵/列向量
只有一列
同型矩阵
行数列数相等
零矩阵
元素都是零（与行数列数无关）
对角矩阵
Λ=diag(λ1,λ2...λn)
单位阵
对角矩阵对角线上的元素为一
纯量阵
λE
运算
相等
A,B同型，对应元素相等
加法
同型矩阵，对应元素相加
满足交换律、结合律
数乘
矩阵中的每一个元素与该数相乘
满足结合律、交换律和分配律
矩阵相乘
A为m*s的矩阵，B为s*n的矩阵，A*B的结果C为一个m*n的矩阵C，其中cij=ai1 b1j+ai2 b2j+...+ais bsj 记作C=AB
满足结合律和分配律（不满足交换律）
若AB=BA，称方阵A,B是可交换的
EA=AE=A
AB=O不一定能推出A=O或B=O
有特例
矩阵的幂
方阵A，A^2=A^1*A^1，A^(k+1)=A^k*A^1
转置
行与同序数的列进行交换
运算规律
对称阵
方阵的行列式
由A的元素构成的行列式（各元素位置不变）
性质
|AB|=|A||B|
伴随矩阵
逆矩阵
若AB=BA=E，则A可逆，称B为A的逆矩阵
性质
若A可逆，|A|不等于0
若|A|不等于0，则A可逆，且
|A|=0
奇异矩阵
|A|不等于0
非奇异矩阵
若AB=E(BA=E)，则B=
运算规律
矩阵多项式
性质
也就是说矩阵多项式可以交换
克拉默法则
对n个n元线性方程组
若|A|不等于零，则方程组有唯一解
也可用逆矩阵方法
矩阵分块法
子块
用若干横线和纵线分成小矩阵
分块矩阵
以子块为元素的形式上的矩阵
运算规律
A、B行数、列数、分块法相同
分块对角矩阵
性质
矩阵初等变换
定义
对换两行
以非零数k乘某一行所有元
某行乘非零k加到另一行
性质
反身性
A~A
对称性
若A~B，则B~A
传递性
若A~B，B~C，则A~C
行阶梯形矩阵
非零矩阵
非零行在零行上面
非零行的首非零元所在列在上一行首非零元所在列的右边
行最简形矩阵
行阶梯形矩阵
首非零元均为1
首非零元所在列其他元均为0
标准形（F）
左上角为单位阵（E），其余元均为0
关系
非零矩阵
行阶梯形矩阵
行最简形矩阵
标准形
初等矩阵
E经一次初等变换得到的矩阵
E(i,j)
i,j行（左乘）/列（右乘）互换
E(i(k))
k乘i行（左乘）/列（右乘）
E(ij(k))
k乘j行加到i行（左乘）/k乘i列加到j列
性质
A：m*n
对A初等行变换相当于A左乘m阶初等矩阵
对A初等列变换相当于A右乘n阶初等矩阵
方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pl，使A=P1P2…Pl
方阵A可逆的充要条件是A与E行等价
性质
A、B为m*n型矩阵
A与B行等价的充要条件为存在m阶可逆矩阵P，使PA=B
A与B列等价的充要条件为存在n阶可逆矩阵Q，使AQ=B
A与B等价的充要条件为存在m阶可逆矩阵P及n 阶可逆矩阵Q，使PAQ=B
矩阵的秩
k阶子式
A中任取k行k列，位于行列交叉处的元素不改变A中位置次序得到的k阶行列式
若A、B行等价，则A与B中非零子式的最高阶数相等
定义
A中有一个不为零的r阶子式D，且所有r+1阶子式全等于0，称D为A的最高阶非零子式，r为A的秩，记作R(A)=r
可逆矩阵称为满秩矩阵
不可逆矩阵称为降秩矩阵
性质
0≤R(A)≤min{m,n}
若A~B，则R(A)=R(B)
若存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B，则R(A)=R(B)
max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)
当B=b为非零列向量时，R(A)≤R(A,b)≤R(A)+1
R(A+B)≤R(A)+R(B)
R(AB)≤min{R(A),R(B)}
A:m*n,B:n*l,若AB=O,则R(A)+R(B)≤n
列满秩矩阵
秩等于列数
矩阵乘法的消去律
AB=O，若A为列满秩矩阵，则B=O
相似矩阵及二次型
向量的内积、长度及正交性
内积
定义
当x,y均为列向量时
性质
[x,y]=[y,x]
[λx,y]=λ[x,y]
[x+y,z]=[x,z]+[y,z]
x=0时，[x,x]=0；x不等于0时，[x,x]不等于0
施瓦茨不等式
当||x|| ||y||不等于零时
长度/范数
定义
性质
非负性
x不等于0时，||x||>0；x=0时，||x||=0
齐次性
||λx||=|λ| ||x||
单位向量
||x||=1
单位化
夹角
正交
[x,y]=0时称向量x与y正交
正交向量组
定义
一组两两正交的非零向量
性质
若n维向量组a1,...,ar为正交向量组，则a1,...,ar线性无关
标准正交基
定义
n维向量e1,...,er是V的一个基，e1,...,er两两正交，且均为单位向量
坐标公式
标准正交化
此时b1,...,br两两正交
此过程叫做施密特正交化
单位化后得到标准正交基
正交阵
定义
性质
A为正交阵的充要条件是A的列向量都是单位向量，且两两正交
若A为正交阵，则A的逆矩阵（转置）也是正交阵，且|A|=1（或-1）
若A和B都是正交阵，则AB也是正交阵
正交变换
定义
y=Px，其中P为正交阵
性质
||y||=||x||
方阵的特征值与特征向量
定义
A为n阶矩阵，数λ，n维非零向量x，若Ax=λx成立，称λ为A的特征值，x为A的对应于λ的特征向量
特征方程
|A-λE|=0
特征值即为特征方程的解
n阶矩阵A在复数范围内恒有n个特征值（重复的按次数计）
特征多项式
f(λ)=|A-λE|
性质
λ1+λ2+...+λn=a11+a22+..+ann
λ1λ2...λn=|A|
若A的m个特征值λ1,λ2,...,λm各不相等，则与之对应的特征向量p1,p2,...,pm线性无关
λ1,λ2为A的两个不同特征值，ξ1,...,ξs和η1,...,ηt分别是对应于λ1和λ2的线性无关的特征向量，则ξ1,...,ξs,η1,...,ηt线性无关
可推广至多个特征值的情形
相似矩阵
定义
称A与B相似
性质
若A与B相似，则A与B的特征多项式相同，特征值相同
若n阶矩阵A与Λ=diag(λ1,λ2,...,λn)相似，则λ1,λ2,...,λn为A的n个特征值
相似对角化
AP=PΛ
P=(p1,...,pn)
AP=(λ1p1,...,λn pn)
A pi=λi pi (i=1,2,...,n)
A能对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量
若A的n个特征值互不相等，则A与对角矩阵相似
对称矩阵的对角化
对称阵的特征值与特征向量的性质
对称阵的特征值为实数
λ1，λ2为A的两个特征值，p1,p2为对应的特征向量，若λ1不等于λ2，则p1与p2正交
A为n阶对称阵
必有正交阵P，使
其中Λ是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵
λ为A的k重根，则R(A-λE)=n-k，从而λ有k个线性无关的特征向量
二次型及其标准形
二次型
定义
用矩阵表示
A为对称矩阵
A叫做二次型f的矩阵，f叫做A的二次型
A的秩叫做二次型f的秩
标准形/法式
定义
规范形
定义
合同
定义
性质
A与B合同
若A为对称阵，B也为对称阵，且R(A)=R(B)
合同对角化
使f经x=Cy变为标准形
定理
任给f，总有正交变换x=Py，使f化为标准形
其中，λi为A的特征值
推论
任给f，总有可逆变换x=Cz，使f(Cz)为规范形
正定二次型
惯性定理
正惯性指数
二次型的标准形中的正系数的个数
负惯性指数
二次型的标准形中的负系数的个数
正定二次型
对任意x不等于0，都有f(x)>0
负定二次型
对任意x不等于0，都有f(x)<0
判定
f为正定的充要条件：标准形n个系数为正/规范形n个系数为1/正惯性指数为n
A正定的充要条件：A的特征值全正
A正定的充要条件：各阶主子式为正
A负定的充要条件：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正
补充
主子式
该定理叫做赫尔维茨定理
杂项
|a|
行列式：等于a
绝对值
向量（组）的线性相关性
n维向量
n个有次序的数组成的数组
向量组
若干个同维数的列/行向量组成的集合
线性组合
给定向量组A：a1,a2,…,am，对任意一组实数k1,k2,…,km（称为该线性组合的系数），表达式k1a1+k2a2+…+km am称为A的一个线性组合
线性表示
b是A的线性组合
B向量组中的每个向量都可由A线性表示
向量组等价
A、B能互相线性表示
性质
b由A线性表示的充要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于矩阵B=(a1,a2,...,am,b)的秩
B由A线性表示的充要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于矩阵（A,B)=(a1,...,am,b1,...,bl)的秩
A与B等价的充要条件是R(A)=R(B)=R(A,B)
可推广
利用最大无关组
此时关注秩和最大无关组即可
线性相关性
给定A，如果存在不全为零的数k1,k2,...,km，使k1a1+k2a2+...+km am=0，则称向量组A是线性相关的，否则称其线性无关
性质
A：a1,a2,...,am
A线性相关
充要条件
R(A)<m
A线性无关
充要条件
R(A)=m
A:a1,...,am;B:a1,...a(m+1)
此时称A为B的部分组
A线性相关则B线性相关
B线性无关则A线性无关
m个n维向量组成的向量组，n小于m时一定线性相关
A:a1,...,am;B:a1,...,am,b
A线性无关，B线性相关，则b必能由A线性表示，且表示式唯一
秩
最大无关组
定义
A中选出r个向量a1,...,ar，满足A0:a1,...,ar线性无关，A中任意r+1个向量线性相关，称A0为A的一个最大无关组，r称为A的秩
A0是A的一个部分组，满足A0线性无关，A的任意一个向量可由A0线性表示
性质
矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩
向量空间
定义
非空V为n维向量的集合，且对向量的加法及数乘封闭
一般地，由a1,...,am生成的向量空间为L={x=λ1a1+...+λm am|λ1,...,λm∈R}
解空间
S={x|Ax=0}
但Ax=b的解集不是向量空间
子空间
基
定义
若V中r个向量a1,...,ar线性无关，V中任意一个向量可用a1,...,ar线性表示
同时称V为n维向量空间
自然基
e1,e2,...,en
标准正交基
坐标
定义
V中取定一个基a1,...,ar，V中任意向量x可唯一表示为x=λ1a1+...+λr ar，称λ1,...,λr为x在基a1,...,ar中的坐标
变换
基组成的向量组A,B 坐标组成的向量y,z
基变换公式
B=AP
P称为从旧基到新基的过度矩阵
坐标变换公式
y=Pz
线性方程组
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a12x1+a22x2+…+a2nxn=b2 ………… an1x1+an2x2+…+annxn=bn
b1,b2,…bn全为零时，为n元齐次线性方程组
必有零解：x1=x2=…=xn=0
否则为n元非齐次线性方程组
将bi换成yi后
表示从变量x1,…xn到y1,…,yn的线性变换
矩阵相关内容
系数矩阵
未知数矩阵
常数项矩阵
增广矩阵
B=(A,b)
线性变换
与系数矩阵一一对应
其他表达形式
Ax=b
x1a1+x2a2+…+xnan=b
解
克拉默法则
相容
有解
不相容
无解
Ax=b
有解
唯一解
充要条件
R(A)=R(A,b)=n
无穷多解
充要条件
R(A)=R(A,b)<n
有解的充要条件
R(A)=R(A,b)
推广到矩阵方程AX=B
有解的充要条件为R(A)=R(A,B)
无解
充要条件
R(A)<R(A,b)
Ax=0
必有零解
有非零解
充要条件
R(A)<n
解的结构
解向量
性质
Ax=0
x=ξ1,x=ξ2为解，则x=ξ1+ξ2也为解
x=ξ1为解，则x=kξ也为解
m*n矩阵A,R(A)=r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩为n-r
Ax=b
x=η1,x=η2为解，则x=η1-η2为Ax=0的解
x=η为Ax=b的解，x=ξ为Ax=0的解，则x=ξ+η为Ax=b的解
基础解系
Ax=0的解集的最大无关组
行列式
性质
行列式与其转置行列式相等
对换两行（列），行列式变号
有两行（列）相同，行列式等于零
某行（列）*k等于行列式*k
某行（列）全部元素的公因子可提到外面
某两行（列）成比例，行列式等于零
某行若均为两个数相加，则可拆开
|a b c | |a b c| |a b c| |d+a e+b f+c | = |d e f| + |a b c| |g h i | |g h i| |g h i|
某行（列）元素*k加到另一行（列），行列式不变
行列式按行（列）展开
后续（包括矩阵）均以行为例
第i行元素除aij以外均为零，则D=aij*Aij
D，i=j
0，i≠j
i,j=1、2...n
概念
行列式
行数等于列数
本质是一个数
逆序数与排列
排列
奇排列
逆序数为奇数
偶排列
逆序数为偶数
逆序数
所有逆序的和
逆序：某对元素与标椎排列先后顺序不同时，称其构成一个逆序
对换
任意两个元素对调，其他元素不变的一次操作
一个排列中的两个元素对换，排列改变奇偶性
奇排列对换成标椎排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标椎排列的对换次数为偶数
余子式和代数余子式
余子式
划去i行，j列后剩余部分 记作Mij
代数余子式
Aij=（-1）^（i+j）Mij
计算
二阶、三阶
对角线法则
通式
常用方法
1. 整理，按行（列）展开
2. 整理到上（下）三角形行列式
类型
上（下）三角形行列式
计算：主对角线元素的乘积
特点：主对角线上（下）方元素全部为零
对角行列式
特点：主对角线上、下元素均为零
计算同上
范德蒙德行列式
常用套路
计算行列式
将一列或一行变成除一个元素外其他均为零的情况，然后按列（行）展开，重复，直到二阶
求逆矩阵
比较离谱的性质
就要用伴随阵的那个
已知一个等式
A*A的逆=E
直接上就行
已知矩阵各元素
（A,E)经行变换后变成（E,A的逆）
已知伴随阵
分块矩阵
主对角线
子块取逆
副对角线
子块取逆，位置有变
说白了还是要自己试
都可以设未知数
行最简形矩阵
给定A，PA为行最简形矩阵F，求P
(A,E)经初等行变换后(F,P)
解线性方程组
x=A^(-1)*b
先看是否齐次，再看|A|是否为0
注意判断解的情况
求特征值与特征向量
直接法
e.g. 已知AB，求BA的，直接在AB前面乘个B
有伴随矩阵
转化成逆矩阵
有时候需要无中生有
E=AA^（-1）