第三章：方程与不等式（10考点）

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第三章：方程与不等式（10）

• 常规方程与不等式（3）
  • 一次方程（组）与不等式（组）
    • 基本概念：方程，不等式
    • 消元思想：代入消元，加减消元
    • 不等式的基本性质
      • 可加性：不等式两边相加或相减同一个数，不等号方向不变
      • 可乘（除）性：不等式两边乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变
      • 传递性：a>b，b>c，则a>c；若a<b，b<c，则a<c
      • 同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d
      • 异向可减性：a>b，c<d，则a-c>b-d（大-小>小-大）
      • 同向皆正可乘性：a>b>0，c>d>0，则ac>bd
      • 可乘方性：a>b>0，则aⁿ>bⁿ>0（n属于正数，n大于1）
      • 可开方性：a>b>0，得到ⁿ√a>ⁿ√b>0（n属于正数，n大于1）
  • 二次方程与不等式
    • 基本概念：一元二次方程，一元二次不等式
    • 一元二次方程根的求解
      • △>0，方程有两个相异的实根：x1,2=-b±√b²-4ac/2a
      • △=0，方程有两个相同的实根：x1,2=-b/2a
      • △<0，方程没有实根
    • 韦达定理：x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a
      • 1/x1+1/x2=x1+x2/x1x2=-b/c
      • |x1-x2|=√△/|a|
      • 1/x1²+1/x2²=(x1+x2)²-2x1x2/(x1x2)²
      • x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2
      • x1²-x2²=(x1+x2)(x1-x2)
      • x1³+x2³=(x1+x2)(x1²+x2²-x1x2)
      • x1³-x2³=(x1-x2)(x1²+x2²+x1x2)
    • 根的分布
      • 根的正负分布（韦达定理法3模型）
        • 两根都负，x1<0，x2<0：①△≥0，②-b/a<0，③c/a>0
        • 两根都正，x1>0，x2>0：①△≥0，②-b/a>0，③c/a>0
        • 两根一正一负，x1<0<x2，或x2<0<x1：①c/a<0
        • 注意
          • 两根之和为负，两根之积为正：两根均为负数
          • 两根之和为正，两根之积为正，两根为正数
          • 两根之积为负，两根一正一负
      • 根与k关系分布（图像法5模型）
        • 一根小于k，一根大于k，即x1<k<x2或x2<k<x1：①af(k)<0
        • 两根都大于k，即x1>k，x2>k：①△≥0，②-b/2a>k，③af(k)>0
        • 两根都小于k，即x1<k，x2<k：①△≥0，②-b/2a<k，③af(k)>0
        • 两根大于k1，小于k2，即k1<x1<x2<k2：①△≥0，②k1<-b/2a<k2，③af(k1)>0，④af(k2)>0
        • 一根在（a,b），另一个根在（c,d）：①f(a)·f(b)<0，②f(c)·f(d)<0(若根的分布为闭区间，则在对应条件下取等即可)
    • 一元二次不等式的求解：
      • ①二次项系数若为负则调正，注意改变不等号方向；
      • ②求解该方程的根：十字相乘因式分解，求根公式；
      • ③按规则写解集（a>0时：大于取两边，小于取中间）
        • △>0
          • ax²+bx+c>(≥)0：x(≤)<x1并上x>(≥)x2
          • ax²+bx+c<(≤)0：x1<(≤)x<(≤)x2
        • △=0
          • ax²+bx+c>0：x≠-b/2a
          • ax²+bx+c≥0：x属于R（ y≥0恒成立）
          • ax²+bx+c<0：x无解
          • ax²+bx+c≤0：x=-b/2a
        • △<0
          • ax²+bx+c>0：x属于R（y>0恒成立）
          • ax²+bx+c≥0：x属于R（y≥0恒成立）
          • ax²+bx+c=0：x无解
          • ax²+bx+c<0：x无解
          • ax²+bx+c≤0：无解
    • 一元二次不等式的恒成立
      • ax²+bx+c>（≥）0恒成立：a>0且△<（≤0）
      • ax²+bx+c<（≤）0恒成立：a<0且△<（≤0）
  • 高次方程与不等式
    • 一元高次方程求解：因式分解（试根法（0，±1，±2），公式法，待定系数法）
    • 一元高次不等式求解（穿针引线法）
      • ①调系数：将不等式转化为一边为0，一边为因式乘积的形式，使每个因式最高次项的系数为正
      • ②求根、标根：求出各个因式的根，在数轴上从小到大依次标出
      • ③画曲线：从数轴最右端上方起，自右向左依次经过各个根画曲线，每经过一个根就要由上至下或由下至上穿过数轴（注意：奇穿偶不穿，根的个数为奇个就穿透，根的个数为偶数个就不穿透）
      • ④写解集：数轴上方为正，下方为负，根据不等号方向写出不等式的解集
      • 注意：把式子一端调整成0以后，观察式子中有没有正负性确定的式子，如a>0且△<0，x²+n（n>0）等，对于这种式子可以直接消去，只看余下式子
• 非常规方程与不等式（3）
  • 分式方程与不等式
    • 基本概念：分式方程，分式不等式
    • 分式方程的求解
      • ①去分母，方程两边同时称以最简公分母，将分式方程转化为整式方程
      • ②移项，若有括号应先去括号，注意变号，合并同类项，把未知数系数化为1，求出未知数的值（未知数系数化为1的过程中要讨论含x的式子=0与≠0的情况，=0的情况为增根，≠0的情况为根）
      • ③验根，验根时把整式方程的根代入最简公分母，若最简公分母为0，则为增根，否则就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解
  • 根式方程与不等式
    • 基本概念：根式方程，根式不等式
    • 根式方程与不等式的求解方法
      • ①确定取值范围（根号下代数式≥0，根式本身具有非负性）
      • ②平方法去掉根号后转化为整式方程/不等式进行求解
      • 所求根/解集与取值范围取交集为最终答案
  • 绝对值方程与不等式
    • 定义：绝对值方程，绝对值不等式
    • 求解绝对值方程与不等式的方法
      • 绝对值方程
        • 讨论法：讨论绝对值内部的正负性去绝对值（通常用于一次的式子）
        • 平方法：|f(x)|=|g(x)|→f(x)²=g(x)²（本身左右都有绝对值就直接平方，不用讨论正负性）
      • 绝对值不等式
        • 讨论法：讨论绝对值内部的正负性去绝对值（适用于一次式子）
        • 平方法：|f(x)|>（≥）|g(x)|→f(x)²>（≥）g(x)²；|f(x)|<（≤）|g(x)|→f(x)²<（≤）g(x)²
        • 公式法
          • |f(x)|>(≥)a：f(x)>(≥)a或f(x)<(≤)-a(a>0)
          • |f(x)|<(≤)a：-a<(≤)f(x)<(≤)a(a>0)
          • 注意：若a<0，则√f(x)>（≥）a恒成立，保证f(x)≥0即可；若a<0，且√f(x)<(≤)a，则无解
• 特殊不等式（4）
  • 均值不等式
    • 定义
      • n元均值不等式：当x1,x2,x3,…,xn为n个正实数时，其算数平均值不小于几何平均值，即x1+x2+x3+…+xn/n≥√x1x2x3…xn，当且仅当x1=x2=x3=…=xn时，等号成立
      • 二元均值不等式：对于正实数a,b，有a+b/2≥√ab→ab≤(a+b/2)²，当且仅当a=b时取等。本质：(a-b)²≥0
      • 三元均值不等式：对于正实数a,b,c，有a+b+c/3≥³√abc→abc≤(a+b+c/3)³，当且仅当a=b=c时，等号成立。本质：x³+y³+z³-3xyz=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)≥0
      • 注意：不等式成立条件只需每个x>0；取最值条件为一正（且）二定（且）三等，即全为正数，有和定或积定，能取到相等这三个条件同时满足
    • 应用
      • 正向应用
        • 一正：所有数据均为正数
        • 二定：和定积最大，积定和最小（机顶盒小）
        • 三相等：当且仅当x1=x2=x3=…=xn时，等号成立
      • 逆向应用
        • 一正：所有数据均为正数
        • 二定：和定积最小，积定和最大
        • 三相等：当且仅当这些变量分散时取到最值
      • 注意：凑均值不等式时注意要平均拆分，否则取不到相等
  • 恒成立不等式
    • 非负性相关
      • 2（x²+y²）≥(x+y)²≥4xy（取等条件：x=y）本质：x²+y²≥0，(x-y)²≥0
      • 3（x²+y²+z²）≥(x+y+z)²≥3(xy+xz+yz)（取等条件：x=y=z）本质：2(x²+y²+z²-xy-xz-yz)=2·1/2[（x-y)²+(x-z)²+(y-z)²]≥0
    • 绝对值相关
      • |x|≥±x≥-|x|
      • |x1±x2±x3±…±xn|≤|x1|+|x2|+|x3|+…+|xn|(当且仅当x1~xn同号时取等)
      • 注意：a|a-b|>|a|(a-b)时，注意a=0或a-b=0的情况；
    • 指数函数相关
      • 当0<x<1且a>b时：xa<xb，如x>x²>x³
      • 当x>1且a>b时：xa>xb，如x<x²<x³
  • 三角不等式
    • 三角不等式的应用
      • ||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|
        • 左边等号成立条件：ab≤0
        • 右边等号成立条件：ab≥0
      • ||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|
        • 左边等号成立条件：ab≥0
        • 右边等号成立条件：ab≤0
    • 对三角不等式取等条件的考察
      • 正向考察(可看成≥或≤)
        • |a+b|=|a|+|b|：ab≥0
        • |a+b|=||a|-|b||：ab≤0
        • |a-b|=|a|+|b|：ab≤0
        • |a-b|=||a|-|b||：ab≥0
      • 逆向考察（无=情况）
        • |a+b|<|a|+|b|：ab<0
        • |a+b|>||a|-|b||：ab>0
        • |a-b|<|a|+|b|：ab>0
        • |a-b|>||a|-|b||：ab<0
  • 其他不等式
    • 柯西不等式
      • 定理内容：已知数组x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn为实数，则有（x1²+x2²+…+xn²）(y1²+y2²+…+yn²)≥(x1y1+x2y2+…+xnyn)ⁿ，当且仅当x1/y1=x2/y2=…=xn/yn或者某一数组都为0时等号成立
      • 二维形式：（a²+b²）(c²+d²)≥(ac+bd)²，当ad=bc（外项积=内项积）时取等
      • 三维形式：(a²+b²+c²)(d²+e²+f²)≥(ad+be+cf)²，当且仅当a/d=b/e=c/f或某一数组都为0时取等
    • 糖水不等式
      • 0<b/a<1且k>0时：b/a<b+k/a+k（想象b,k为糖，a为水）
      • b/a>1且k>0时：b/a>b+k/a+k（想象a,b,k都为糖）
      • b/a>d/c>0时：b/a>b+d/a+c>d/c（均值居中思想）