导图社区 高等数学——一元函数积分学及其应用(反常积分)
"探索积分的边界:反常积分与判敛法全解析!本文系统梳理一元函数积分学的拓展内容:从反常积分的基本概念(瑕积分与无穷限积分)到Gamma/Beta函数简介详解两类反常积分的判敛体系(比较判敛法、p积分、Cauchy准则等),涵盖绝对收敛与条件收敛的判定通过计算实例演示带奇点的积分处理技巧,揭示极限工具在积分收敛性分析中的核心作用。"
"电磁感应:揭开磁场与电流的神秘互动!核心内容:1法拉第电磁感应定律(ξ=dΦ/dt)与楞次定律揭示感应电动势阻碍磁通变化2动生电动势(ξ=∫v×Bdl)与感生电动势(ξ=∫∂B/∂t dS)的产生机制3自感(Ψ=LI,ξ=LdI/dt)与互感(Ψ12=M12I1,ξ12=-MdI1/dt)现象4磁场能量公式(Wm=1/2LI²)展现电磁系统储能特性一整套理论完美诠释电磁相互作用本质"。
"探索磁场的奥秘,从基本定律到实际应用!本文涵盖恒定磁场、磁介质特性及电场与磁场的统一性,解析毕奥萨伐尔定律、安培环路定理等核心原理详细讨论磁场对电荷和载流导线的作用,包括霍尔效应、磁力矩等现象,并推导无限长螺线管、平面电流等特殊磁场的分布规律通过磁场高斯定理和安培定则,揭示磁通量与电流的深层联系,最后介绍分子磁矩、磁化强度等介质参数,构建完整的磁场理论框架"。
"新手买相机别踩坑!这份攻略帮你避雷又省钱关键三问:预算多少?主拍什么?要单反还是微单?富士XM5、佳能R10/R50、索尼ZVE10 II都是APSC画幅热门款,轻便性价比高全画幅建议索尼E卡口或佳能RF卡口,高感和虚化更出色记住:别贪高像素,24003300万足够优先投资好镜头,RF/E卡口选择多二手慎买快门超10万的职业机必备配件就四样:高速SD卡、备用电池、相机包和验机技巧。"
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第14章DNA的生物合成读书笔记
一元函数积分学及其应用
反常积分
概念
无穷限积分:定义在无穷区间[a,+∞)上 ∫a+∞A(x)dx=lim(b→+∞)∫abA(x)dx
p积分:∫a+∞1/xpdx 当p>1时,该无穷限积分收敛,当p≤1时,该无穷限积分发散
瑕积分:定义在区间上(a,b],其中a为奇点 ∫abA(x)dx=lim(ε→0+)∫a+εbA(x)dx
判敛法与计算举例
无穷限积分的判敛法
有界判敛法
设函数在无穷区间上非负且连续,则无穷限积分∫a+∞A(x)dx收敛的充要条件是函数F(b)=∫abA(x)dx在[a,+∞)上有界
比较判敛法
0≤f(x)≤g(x),∀x∈[a,+∞)
当∫a+∞g(x)dx收敛时,∫a+∞f(x)dx也收敛
当∫a+∞f(x)dx发散时,∫a+∞g(x)dx也发散
比较判敛法的极限形式
lim(x→+∞)f(x)/g(x)=l(为有限数或为+∞)
当0<l<+∞时,∫a+∞f(x)dx与∫a+∞g(x)dx敛散性相同
当l=0且∫a+∞g(x)dx收敛时,∫a+∞f(x)dx收敛
当l=+∞且∫a+∞g(x)dx发散时,∫a+∞f(x)dx发散
无穷限积分的线性性质
无穷限积分的Cauchy收敛准则
无穷限积分∫a+∞f(x)dx收敛的充要条件
∀ε>0,∃X>a,使得∀x1,x2∈(X,+∞),都有|∫x1x2f(x)dx|<ε
无穷限积分的绝对判敛法
若无穷限积分∫a+∞|f(x)|dx收敛,则无穷限积分∫a+∞f(x)dx也收敛
无穷限积分的绝对收敛与条件收敛的定义
绝对收敛则条件收敛
无界函数的反常判敛法
当∫a+∞g(x)dx收敛时,∫abf(x)dx也收敛
当∫a+∞f(x)dx发散时,∫abg(x)dx也发散
lim(x→+b-)f(x)/g(x)=l(为有限数或为+∞)
当0<l<+∞时,∫abf(x)dx与∫abg(x)dx敛散性相同
当l=0且∫abg(x)dx收敛时,∫abf(x)dx收敛
当l=+∞且∫abg(x)dx发散时,∫abf(x)dx发散
无界函数的反常积分的线性性质
无界函数的反常积分的Cauchy收敛准则
无界函数的反常积分∫abf(x)dx收敛的充要条件
∀ε>0,∃δ∈(0,b-a),使得∀x1,x2∈(b-δ,b),都有|∫x1x2f(x)dx|<ε
无界函数的反常积分的绝对判敛法
若∫ab|f(x)|dx收敛,则∫abf(x)dx也收敛
无界函数的反常积分的绝对收敛与条件收敛的定义
带有奇点的无穷限积分
反常积分的计算举例
Gamma函数与Beta函数简介