高等数学——一元函数积分学及其应用（反常积分）

"探索积分的边界：反常积分与判敛法全解析！本文系统梳理一元函数积分学的拓展内容：从反常积分的基本概念（瑕积分与无穷限积分）到Gamma/Beta函数简介详解两类反常积分的判敛体系（比较判敛法、p积分、Cauchy准则等），涵盖绝对收敛与条件收敛的判定通过计算实例演示带奇点的积分处理技巧，揭示极限工具在积分收敛性分析中的核心作用。"

一元函数积分学及其应用

• 反常积分
  • 概念
    • 无穷限积分：定义在无穷区间[a,+∞)上 ∫a+∞A(x)dx=lim(b→+∞)∫abA(x)dx
      • p积分：∫a+∞1/xpdx 当p>1时，该无穷限积分收敛，当p≤1时，该无穷限积分发散
    • 瑕积分：定义在区间上(a,b]，其中a为奇点 ∫abA(x)dx=lim(ε→0+)∫a+εbA(x)dx
  • 判敛法与计算举例
    • 无穷限积分的判敛法
      • 有界判敛法
        • 设函数在无穷区间上非负且连续，则无穷限积分∫a+∞A(x)dx收敛的充要条件是函数F(b)=∫abA(x)dx在[a,+∞)上有界
      • 比较判敛法
        • 0≤f(x)≤g(x),∀x∈[a,+∞)
          • 当∫a+∞g(x)dx收敛时，∫a+∞f(x)dx也收敛
          • 当∫a+∞f(x)dx发散时，∫a+∞g(x)dx也发散
      • 比较判敛法的极限形式
        • lim(x→+∞)f(x)/g(x)=l(为有限数或为+∞)
          • 当0<l<+∞时，∫a+∞f(x)dx与∫a+∞g(x)dx敛散性相同
          • 当l=0且∫a+∞g(x)dx收敛时，∫a+∞f(x)dx收敛
          • 当l=+∞且∫a+∞g(x)dx发散时，∫a+∞f(x)dx发散
      • 无穷限积分的线性性质
      • 无穷限积分的Cauchy收敛准则
        • 无穷限积分∫a+∞f(x)dx收敛的充要条件
          • ∀ε>0，∃X>a，使得∀x1，x2∈(X,+∞)，都有|∫x1x2f(x)dx|<ε
      • 无穷限积分的绝对判敛法
        • 若无穷限积分∫a+∞|f(x)|dx收敛，则无穷限积分∫a+∞f(x)dx也收敛
      • 无穷限积分的绝对收敛与条件收敛的定义
        • 绝对收敛则条件收敛
    • 无界函数的反常判敛法
      • 比较判敛法
        • 0≤f(x)≤g(x),∀x∈[a,+∞)
          • 当∫a+∞g(x)dx收敛时，∫abf(x)dx也收敛
          • 当∫a+∞f(x)dx发散时，∫abg(x)dx也发散
      • 比较判敛法的极限形式
        • lim(x→+b-)f(x)/g(x)=l(为有限数或为+∞)
          • 当0<l<+∞时，∫abf(x)dx与∫abg(x)dx敛散性相同
          • 当l=0且∫abg(x)dx收敛时，∫abf(x)dx收敛
          • 当l=+∞且∫abg(x)dx发散时，∫abf(x)dx发散
      • 无界函数的反常积分的线性性质
      • 无界函数的反常积分的Cauchy收敛准则
        • 无界函数的反常积分∫abf(x)dx收敛的充要条件
          • ∀ε>0，∃δ∈(0,b-a)，使得∀x1，x2∈(b-δ,b)，都有|∫x1x2f(x)dx|<ε
      • 无界函数的反常积分的绝对判敛法
        • 若∫ab|f(x)|dx收敛，则∫abf(x)dx也收敛
      • 无界函数的反常积分的绝对收敛与条件收敛的定义
        • 绝对收敛则条件收敛
    • 带有奇点的无穷限积分
    • 反常积分的计算举例
  • Gamma函数与Beta函数简介