高等数学——常微分方程组及其应用

"探索微分方程的奥秘，解锁数学建模的无限可能！本文系统梳理常微分方程的核心内容：从一阶可分离变量、线性方程到高阶齐次/非齐次方程解法，涵盖待定系数法、常数变易法、矩阵法和Euler方程等关键技巧重点解析线性微分方程解的结构定理，并演示如何求解形如fx)=e^αxPm(xcosβx Qn(xsinβx的特例通过消元法、降阶法等实用案例，带您掌握微分方程在科学工程中的建模应用"。

常微分方程组及其应用

• 几类简单的微分方程
  • 几类简单的微分方程
    • 称含有未知函数及未知函数的导数(或微分)的等式(等式组)为微分方程(微分方程组)，未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程组，微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数为微分方程的阶
    • 若n阶常微分方程的解中含有n个独立的任意常数，则称这样的解为该方程的通解
    • Cauchy问题或初值问题
    • 常微分方程的不含任意常数的解称为特解
    • 常微分方程解的图形称为常微分方程的积分曲线
  • 可分离变量的一阶微分方程
    • dy/dx=f(x)g(y)称为可分离变量的一阶微分方程
      • 分离变量法
  • 一阶线性微分方程
    • 若在一阶微分方程中，关于未知函数及其导数(或微分)的次数都是一次的，则称它为一阶线性微分方程，其一般形式为 dy/dx+P(x)y=Q(x)
      • 一阶线性齐次微分方程 dy/dx+P(x)y=0
        • y=Ce-∫P(x)dx
      • 一阶线性非齐次微分方程 dy/dx+P(x)y=Q(x)
        • 常数变易法
          • y=Ce-∫P(x)dx+e-∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx)
            • 一阶线性非齐次微分方程的通解等于它的一个特解与它所对应的线性齐次微分方程的通解之和
  • 可利用变量代换求解的几类一阶微分方程
    • 齐次型方程
      • f(tx,ty)=f(x,y)，则称dy/dx=f(x,y)为齐次型一阶微分方程
        • 换元然后分离变量积分
    • Bernoulli方程
      • 形如dy/dx+P(x)y=Q(x)yα的方程称为Bernullif方程
        • 令z=y1-α便可化为一阶线性非齐次方程，求出通解后用z=y1-α回代
    • dy/dx=f((a1x+b1y+c1)/(a2x+b2y+c2))
      • 令u=x-k，v=y-h便可化为齐次型一阶微分方程，求出通解后会带
  • 可降解的高阶微分方程
    • y(n)=f(x)型的微分方程
      • 多次积分
    • y''=f(x,y')型的微分方程
      • 令y'=p(x)，则y''=p'(x)，求出通解后再次积分
    • y''=f(y,y')型的微分方程
      • 令y'=z(y)，则z'=f(y,z)，化为一阶微分方程
• 高阶线性微分方程
  • 线性微分方程解的结构
    • a0(x)y(n)+a1(x)y(n-1)+a2(x)y(n-2)+···+an-1(x)y'+an(x)y=f(x)，其中+a0(x)不恒等于0，函数f(x)称为方程的自由项，若f(x)≡0，则称为n阶线性齐次微分方程
      • 若y1(x),y2(x),y3(x)···yn(x)都是n阶线性齐次微分方程的解，则C1y1(x)+C2y2(x)+C3y3(x)+···+Cnyn(x)也是解，其中C为常数
      • 若y1(x)与y2(x)都是n阶线性非齐次微分方程的解，则y1(x)-y2(x)必为对应的线性齐次微分方程的解
    • C1y1(x)+C2y2(x)+C3y3(x)+···+Cmym(x)=0，若存在m个不全为0的常数C1，C2···Cm使得成立则称y1(x),y2(x)···ym(x)线性相关
      • Wronski行列式
        • • 若y1(x),y2(x)···ym(x)在区间I上线性相关，则在I上W(x)≡0
    • 线性微分方程通解的结构
      • 设函数y1(x),y2(x),y3(x)···yn(x)为n阶线性齐次微分方程的n个线性无关的特解，而y*(x)为n阶线性非齐次微分方程的一个特解，则以下结论成立
        • 通解为y=C1y1(x)+C2y2(x)+C3y3(x)+···+Cnyn(x)
        • 特解为y=C1y1(x)+C2y2(x)+C3y3(x)+···+Cnyn(x)+y*(x)
  • 高阶常系数线性齐次微分方程的解法
    • ay"+by'+cy=0
      • ar2+br+c=0
        • 通解
          • r1≠r2
            • y=C1er1x+C2er2x
          • r1=r2=r
            • y=(C1+C2x)erx
          • r1,2=α±iβ
            • y=eαx(C1cos βx+C2sin βx)
    • a0(x)y(n)+a1(x)y(n-1)+a2(x)y(n-2)+···+an-1(x)y'+an(x)y=0
      • a0rn+a1rn-1+a2rn-2+···+an-1r+an=0
        • 通解中对应的项
          • k重实根r
            • erx(C1+C2x+···+Ckxk-1)
          • k重共轭实根α±iβ
            • eαx{(C1+C2x+···+Ckxk-1)cos βx+(D1+D2x+···+Dkxk-1)sin βx}
  • 高阶常系数线性非齐次微分方程特解的求法——待定系数法
    • f(x)=Pm(x)eαx
      • 特解y*的形式
        • α不是特征根
          • Qm(x)eαx
        • α是单特征根
          • xQm(x)eαx
        • α是二重特征根
          • x2Qm(x)eαx
    • f(x)=eαx(Pm(x)cos βx+Qn(x)sin βx)
      • 特解y*的形式
        • α±iβ不是特征根
          • eαx(TL(1)(x)cos βx+TL(2)(x)sin βx)
        • α±iβ是特征根
          • xeαx(TL(1)(x)cos βx+TL(2)(x)sin βx)
  • 高阶线性非齐次微分方程特解的求法——常数变易法
  • Euler方程
    • a0xny(n)+a1xn-1y(n-1)+a2xn-2y(n-2)+···+an-1xy'+any=f(x)
      • 令x=et，即t=lnx可化为二阶常系数线性微分方程
• 一阶常系数线性微分方程组解法举例
  • 消元法举例
  • *矩阵法举例
• 微分方程应用举例
• L=max{m,n}，函数TL(1)和TL(2)都是x的L次实系数多项式
• Qm(x)是与Pm(x)同次数的x的多项式