高等数学——多元函数微分学及其应用

多元函数微分学是高等数学的核心内容，从多元函数极限与连续出发，深入探讨偏导数、全微分、方向导数与梯度的概念与几何意义重点涵盖复合函数链式法则、隐函数微分法、Taylor公式与极值应用，并结合几何视角解析曲线弧长、曲率计算以及曲面切平面与法线的构建方法通过向量值函数和参数曲面的分析，建立起微分理论与几何直观的深刻联系，为优化问题和空间建模提供理论基础。

多元函数微分学及其应用

• 预备知识
  • Euclid空间Rn
  • 定义在空间Rn上的函数(n元函数)
• 多元数量值函数的极限与连续
  • 重极限的概念与性质
    • 设集合E⊆R2非空，二元函数f(M)=f(x,y)在E上有定义，点M0(x0,y0)是E的聚点，a∈R是常数。若∀ε>0，都存在常数δ>0，使得当M∈No(M0,δ)∩E时，恒有 |f(M)-a|<ε 则称二元函数f(x,y)在集合E上当懂点M趋近于定点M0时极限存在，并称数a为函数f(M)当M趋于M0时的重极限，通常简称f(x,y)在点(x0,y0)处以a为极限，记为f(M)→a(M→M0)，也可以记为lim(M→M0)f(M)=a，也称为二重极限
  • 累次极限的概念与性质
    • 对D内的每一个固定的y(y≠y0)，作为x的一元函数f(x,y)，它在点x0处的极限存在，即存在函数g(y)，使得lim（x→x0）f(x,y)=g(y)的一元函数g(y)在点y0处的极限存在，即存在常数a∈R,使得lim(y→y0)g(y)=lim(y→y0)(lim(x→x0)f(x,y))=a，也称为二次极限
  • 重极限与累次极限的联系
    • 若重极限和两个累次极限都存在，则三者必相等
    • 若两个累次极限都存在但不相等，则重极限一定不存在
  • 连续的概念与性质
    • 连续的定义
      • 若llim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0),即∀ε>0，总存在常数δ>0，使得当M∈N(M0,δ)∩E时，恒有|f(M)-f(M0)|<ε，则称函数f(x,y)在点M0(x0,y0)处连续
    • 有界性
      • 连续函数必有界
    • 最值定理
      • 在有界闭区间内必有最大值和最小值
• 多元数量值函数的偏导数与全微分
  • 偏导数的概念与几何意义
    • 偏导数的定义：若极限lim(∆x→0)[f(x0+∆x,.y0)-f(x0,y0)]/∆x存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的一阶偏导数，简称为对x的偏导数，记为∂z/∂x|(x0,y0)或zx(x0,y0)或fx(x0,y0)
      • 当z在M处对x与对y的偏导数都存在时，就称f(x,y)在点M处可偏导
  • 高阶偏导数的概念与性质
    • ∂(∂z/∂x)/∂x=∂2z/∂x2=fxx，称为二阶混合偏导
    • 设二阶混合偏导数fxy(x,y)与fyx(x,y)在点M0(x0,y0)的某邻域内有定义，且在点M0处连续，则必有fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0)
  • 全微分的概念与性质
    • 概念
      • 偏增量
        • f(x0+∆x,.y0)-f(x0,y0)
      • 全增量
        • f(x0+∆x,.y0+∆y)-f(x0,y0)=α∆x+β∆y+o(ρ)=∆z
          • 全微分
            • dz|(x0,y0)=α∆x+β∆y=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy
    • 性质
      • 可微的必要条件：若二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则下列结论成立 dz|(x0,y0)=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy
      • 可微的充分条件：设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内可偏导，且偏导数fx(x,y)与fy(x,y)都在带你(x0,y0)处连续，则f(x,y)必在点(x0,y0)处可微
• 多元数量值函数的微分法
  • 复合函数求偏导的链式法则
    • z在(u,v)处可微，则dz/dx=∂z/∂u·∂u/∂x+∂z/∂v·∂v/∂x
    • 复合函数的可微性
  • 隐函数微分法
    • 隐函数存在定理
      • 尽量不要使用
    • 雅可比行列式
      • dy/dx=-[∂(F,G)/∂(x,z)]/[∂(F,G)/∂(y,z)]
        • 消元求解是一样的
• 方向导数与梯度
  • 方向导数
    • 方向导数的定义
      • ∂z/∂l|M0=lim(t→o+)[f(x0+tcos α,y0+tcos β)-f(x0,y0)]/t，其中cos α和cos β是l的方向余弦
    • 方向导数存在的充分条件及计算公式
      • 若二元函数z在M0(x0,y0)处可微，则f(x,y)在点M0-处沿平面上任意方向l的方向导数都存在 ∂z/∂l|M0=fx(x0,y0)cos α+fy(x0,y0)cos β
  • 梯度
    • 梯度的定义
      • gradf(x0,y0)=▽f(x0,y0)={fx(x0,y0),fy(x0,y0)}
        • ∂z/∂l|M0=▽f(M0)·lo
• Taylor公式与极值
  • Taylor公式
  • 极值、最值与条件极值
    • 极值
      • 极值存在的必要条件
        • 若在点M取得极值，则必有fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0
      • 驻点为极值点的充分条件
        • Hf(M0)为正定矩阵时，f(M0)为f(x)的极小值 A>0且AC-B2>0
        • Hf(M0)为负定矩阵时，f(M0)为f(x)的极大值 A<0且AC-B2>0
        • Hf(M0)为不定矩阵时，f(M0)不是f(x)的极值 AC-B2<0
        • AC-B2=0时，为临界情形，无法判定
    • 最值
    • 条件极值
      • Lagrange乘数法
        • Lx(x,y,z,λ)=fx(x,y,z)+λφx(x,y,z)=0 Ly(x,y,z,λ)=fy(x,y,z)+λφy(x,y,z)=0 Lz(x,y,z,λ)=fz(x,y,z)+λφz(x,y,z)=0 Lλ(x,y,z,λ)=φx(x,y,z)=0
        • 由实际意义决定到底是极大值还是极小值
• 向量值函数
  • 极限与连续的概念与性质
  • 导数与全微分的概念与性质
  • 微分运算法则
• 多元函数微分学的几何应用
  • 曲线切线与法平面
    • 曲线的切线与法平面的定义
      • {x'(t0),y'(t0),z'(t0)}为曲线T在点M0处的切向量，即切线的方向向量，也就是曲线T在点M0处的法平面的法向量
        • 切线方程：(x-x0)/x'(t0)=(y-y0)/y'(t0)=(z-z0)/z'(t0)
        • 切平面方程：(x-x0)x'(t0)+(y-y0)y'(t0)+(z-z0)/z'(t0)=0
  • 曲面的参数方程
    • 曲面的参数方程的定义
      • ∑：x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)
    • 正则曲面与光滑曲面的定义
  • 参数曲面的切平面与法线
    • 参数曲面
      • 切平面法向量：n=ru(u0,v0)×rv(u0,v0)
      • 曲面的切平面和法线方程
        • 切平面方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
        • 法线方程：(x-x0)/A=(y-y0)/B=(z-z0)/C
    • 隐函数确定曲面
      • 切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0
      • 法线方程：(x-x0)/Fx(x0,y0,z0)=(y-y0)/Fy(x0,y0,z0)=(z-z0)/Fz(x0,y0,z0)
  • 曲线的弧长、弧微分与自然参数
    • ds=√[(x'(t))2+(y'(t))2+(z'(t))2]dt κ(t0)=||r'(t0)×r"(t0)||/||r'(t0)||3=|y"(x)|/(1+y'(x)2)3/2=|x'(t)y"(t)-x"(t)y'(t)|/((x'(t))2+(y'(t))2)3/2
• 实际上就是一个多元函数