矩阵的初等变换与线性方程组

这是一篇关于线性代数第三章——矩阵的初等变换与线性方程组的思维导图，主要内容包括：初等变换，矩阵的秩，线性方程组的解。

矩阵的初等变换与线性方程组

• 初等变换
  • • • 初等行变换
        • 解线性方程组，只能使用初等行变换
      • 初等列变换
      • 交换方程次序；数乘某一方程；一个方程加上另一方程乘以k
        • A~B，A与B等价
          • 反身性：A~A
          • 对称性：A~B则B~A
          • 传递性：若A~B，B~C，则A~C
    • 行最简形矩阵
      • A为行阶梯矩阵
        • 每个阶梯只能占一行
        • 每个阶梯的首元是非零元
          • 首元：每段竖线高度为一行，竖线的第一个元不为0
        • 阶梯下方全是0
      • 非零行的首元为0
      • 首元所在的列其他元均为0
    • 标准元：对行最简性矩阵再进行初等列变换，从而变成一种形状更简单的矩阵
  • • Q,P可使为若干初等矩阵的乘积
  • 设A为m*n矩阵，对A实行一次初等行（列）变换，相当于在A的左（右）边乘相应的矩阵
    • 可逆矩阵的行最简形矩阵
    • 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵是同一类型的初等矩阵
  • • 解矩阵方程
• 矩阵的秩
  • A的k阶子式：在m*n矩阵A中，任取k行k列，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式
    • k阶子式有
    • 矩阵的秩（最高阶非零子式）：A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式全等于0
      • 最高阶非零子式不唯一，但最高阶非零子式的阶数唯一
      • 行阶梯矩阵的秩，就是非零行的行数
  • 可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数
  • 基本性质
    • 0≤R(Amin)≤min{m,n}
    • 若A~B，则R(A)=R(B)
      • 若可逆矩阵P、Q，使PAQ=B，则R(A)=R(B)
        • PAQ相等于对A进行初等行（列）变换
    • max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)
    • R(A+B)≤R(A)+R(B)
      • R(AB)≤min{R(A)+R(B)}
    • • 若AB=O且A为列满秩矩阵，B=O
• 线性方程组的解
  • 通法
    • 增广矩阵——行最简形矩阵——还原到方程组——解出未知数
  • 在线性方程组中
    • 无解的充分必要条件为R(A)<R(B)
    • 有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(B)=n
    • 有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(B)<n
  • 齐次线性方程
    • 必有R(A)=R(B)，故该类方程组必有解
      • 若有唯一解，则为零阶
      • 若R(A)<n,则有无穷多解