第十三章 三角形

这是一篇关于第十三章 三角形的思维导图，主要内容包括：13.1 三角形 的概念，13.2 与三角形有关的线段，13.3 三角形的内角与外角，模型建构。

第十三章 三角形

• 13.1 三角形 的概念
  • • 1、三角形的概念
      • 1.定义：
        • 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
      • 2.基本元素：
        •  组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角.
      • 3.表示：
        • 顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.
  • • 2、三角形的分类
      • 1.按边分类：
      • 2、剖析：
        • ①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图）
• 13.2 与三角形有关的线段
  • 13.2.1 三角形的边
    • 1 三角形的三边关系
      • 1、定义：
        • 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
      • 2、剖析：
        • ①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三边中的任意两边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。
    • 2 三角形的稳定性
      • 1、性质：
        • 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性
      • 2、应用：
        • 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.
  • 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
    • 1 三角形的中线
      • 1.定义：
        • 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． 如图，连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作ABC的边BC上的中线.
      • 2.交点：
        •  三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部.
    • 2 三角形的角平分线
      • 1.定义：
        • 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线.
      • 2.交点：
        •  三角形的三条角平分线相交于一点.
    • 3 三角形的高
      • 1.定义：
        • 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
      • 2.交点：
        •  锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点.
• 13.3 三角形的内角与外角
  • 13.3.1 三角形的内角
    • 1 三角形的内角和
      • 1.三角形的内角和定理：
        • 三角形三个内角和等于180°.  如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角.
      • 2.三角形的内角和定理证明：
        • 主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 
    • 2 直角三角形的性质及判定
      • 1.性质：
        • 直角三角形的两个锐角互余.  表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.
      • 2.判定：
        • 有两个角互余的三角形是直角三角形.
  • 13.3.2 三角形的外角
    • 三角形的外角
      • 1.定义：
        • 三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 
      • 2.性质：
        • ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD.
        • ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B.
        • ③三角形的外角和等于360°．  求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°.
• 模型建构
  • 1、8字模型
    • 【结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D.  【证明】在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°.在△CDO中，∠C+∠D＋∠COD=180°. ∵∠AOB=∠COD，∴∠A＋∠B=∠C+∠D.
  • 2 飞镖模型
    • 【结论】如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C.  【证明】如图,延长BD交AC于点E.  ∠BEC是△ABE的外角，∵∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△CDE的外角， ∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.
  • 3 A字模型
    • 【结论】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A.  【证明】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC. 又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC＋∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A=180°＋∠A.
  • 4 老鹰抓小鸡模型
    • 【结论】如图所示，∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE.  【证明】如图，连接AF.  ∵∠DBF是△ABF的外角，∠FCE是△ACF的外角，∴∠FCE=∠CAF+∠CFA， ∴∠DBF＋∠FCE=∠BAF＋∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC， 即∠BAC+∠BFC=∠DBF＋∠FCE.
  • 5 双内角平分线模型
    • 【结论】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC =90°+∠A.  【证明】 设∠ABD=∠DBC=c，∠ACD=∠BCD=y. 由△ABC的内角和为180°,得∠A＋2x＋2y=180°.① 由△BDC的内角和为180°,得∠BDC＋x＋y=180°.② 由②得x＋y=180°-∠BDC.③ 把③代入①,得∠A＋2(180°-∠BDC)=180°，即2∠BDC=180°＋∠A， 即∠BDC =90°+∠A.
  • 6 双外角平分线模型
    • 【结论】如图所示，∠ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC=90°- ∠A.  【证明】设∠EBD=∠CBD=x，∠BCD=∠FCD=y. 由△BCD的内角和为180°,得x＋y＋∠BDC=180°.① 易得2x＋2y=180°＋∠A.② 由①得x+y=180°-∠BDC.③ 把③代人②,得2(180°-∠BDC)=180°+∠A， 即2∠BDC=180°-∠A， 即∠BDC=90°- ∠A.
  • 7 内外角平分线模型
    • 【结论】如图所示，∠ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则∠D=∠A.  【证明】设∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠ECD=y. 由外角定理得2y=∠A+2x ，① y=∠D+x.② 把②代人①,得2(∠D+x)=xA+2x , 即∠D=∠A.