第6讲 二次型

这一讲主要介绍了二次型，对二次型的定义、矩阵表示，化二次型为标准型与规范型以及正定二次型就行了简要的概括

第6讲 二次型

• 二次型的定义与矩阵表示
  • 矩阵A的写法：A的主对角元素a¡¡是平方项x¡²的系数，aij是混合项xixj的系数的一半。 如：f(x₁,x₂,x₃)=2x₁²+2x₂²+2x₃³-2x₁x₂-2x₂x₃+2x₁x₃的二次型矩阵A为：
  • 二次型的矩阵A是对称矩阵，即满足A的转置=A，上式中A叫做 f 的二次型矩阵
• 化二次型为标准型与规范型
  • 变换
    • 线性变换
      • 定义：x=Cy：称为y到x的线性变换
        • x、y均为向量
    • 可逆线性变换
      • 若线性变换的系数矩阵C可逆，即|C|≠0，则称为可逆线性变换
  • 合同
    • 定义
      • 设A,B为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得:C的转置AC=B,则称A与B合同。
    • 性质
    • 重要结论：
      • （1）可逆线性变换不会改变二次型的秩
      • （2）和对称矩阵合同的矩阵也必是对称矩阵
  • 二次型的标准型、规范型
    • 定义
      • （1）标准型：若二次型中只含有平方项,没有交叉项(即所有交叉项系数为0),
      • （2）规范型：若标准型中，系数d¡（i=1,2,...,n）仅为-1,1,0,
    • 配方法（作可逆线性变换）
      • (1)可将任何二次型化成标准型和规范型,用矩阵语言表述就是：任何实对称矩阵A,必存在可逆矩阵C,使得：C的转置AC=A
      • (2)使用
        • ①有平方项：将某个变量的平方项及其有关的混合项配成完全平方； n元要n换,缺项要补项：即如果三元二次型的完全平方个数是2，应补多一项
        • ②无平方项：
    • 正交变换法
      • （1）可将任何二次型化成标准型,用矩阵语言表述就是：任何实对称矩阵A,一定存在正交矩阵Q,使得：Qˉ¹AQ=Q的转置AQ=Λ
      • （2）使用步骤
        • ①写出二次型矩阵A，写出特征方程|λE-A|=0,求出所有的特征值λ₁,λ₂,...,λn
        • ②将特征值λ代入齐次方程组(λE-A)x=0，求出对应于特征值的特征向量(即基础解系) ξ₁,ξ₂,...,ξn
        • ③正交化、单位化：将特征向量 ξ₁,ξ₂,...,ξn正交化、单位化，得η₁,η₂,...,ηn 如:λ1=λ2=1,λ3=10,则一定有ξ1⊥ξ3,ξ2⊥ξ3，然后判断ξ1与ξ2是否垂直(即内积是否为0)， 如不垂直，则需进行施密特标准正交化，最后得出单位向量η1,η2,η3两两垂直
        • ④令Q=(η1,η2,η3),则有Qˉ¹AQ=Q的转置AQ=Λ
        • ⑤作正交变换x=Qy,
  • 惯性定理
    • 无论选取什么样的可逆线性变换，将二次型化成标准型或规范型，其正项个数p，负项个数q都是不变的，p称为正惯性指数，q称为负惯性指数。注意：正负项个数不是系数，个数只有正的！！！
    • 注
      • （1）若二次型的秩为r，则r=p+q，可逆线性变换不改变正、负惯性指数
      • （2）两个二次型（或实对称矩阵）合同的充要条件是有相同的正、负惯性指数，或有相同的秩及正（或负）惯性指数
• 正定二次型
  • 定义
    • n元二次型 f (x1,x2,...,xn)=x的转置Ax，若对任意x≠0，均有x的转置Ax>0，则称f为正定二次型，A为正定矩阵
  • 充要条件
    • ⇔对任意x≠0，有 x的转置Ax>0（定义）
    • ⇔ f 的正惯性指数p=n
    • ⇔存在可逆矩阵D，使A=D的转置D
    • ⇔
    • ⇔A的特征值λ¡>0（i=1,2,...,n）
    • ⇔A的全部顺序主子式均大于0
  • 必要条件
    • ⇦a¡¡>0（i=1,2,...,n）
    • ⇦|A|>0
  • 判定
    • 具体型二次型(常用方法)
      • 方法一：判别对应矩阵A的各阶顺序主子式是否大于0
      • 方法二：判别对应矩阵A的特征值是否全部大于0
      • 方法三：利用配方法化为标准型，判别 f 的正惯性指数p是否＝n(未知量个数)
    • 抽象性二次型