数列学习笔记

数列是以正整数集或它的有限子集为定义域的函数，是一列有序的数。本图总结了等差数列、等比数列、数学归纳法的知识点内容，值得收藏学习哦！

数列

• 数列的概念
  • 基本概念
    • 按照一定次序排列的一列数称为数列，其中每个数都叫做这个数列的项
    • 数列的一般形式可以写成a1,a2,a3...an,...简记为{an}，其中a1称为数列{an}的第一项或首项，...an称为第n项
    • ps.数列和集合的区别：
      • 数列：数，有序性，可重复
      • 集合：所有内容，无序性，互异性
  • 分类
    • 按项数多少
      • 有穷数列
      • 无穷数列
    • 按数列每一项随序号变化的情况
      • 递增数列
      • 递减数列
      • 常数列
        • 各项相等的数列
      • 摆动数列
        • 增减不定的数列
  • 与函数关系
    • 数列可以看作正整数N*（或它的有限子集）为定义域的函数an=f(n)，当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)（i=1,2,3...）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),...,f(n)...
  • 通项公式
    • 如果数列{an}的第n项和序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式
      • 实际上就是相应函数的解析式
  • 递推公式
    • 一般地，如果已知一个数列{an}的第一项或前几项，且任一项an与它的前一项或前几项的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式
  • 非所有数列都有这两项式子
  • 数列的前n项和Sn
    • 概念
      • 数列{an}从第一项起到第n项止的各项之和称作前n项和，记作Sn
    • 与通项an的关系：an=
      • S1，n=1
      • Sn-Sn-1（n-1是下标），n≥2
• 等差数列
  • 概念
    • 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
  • 等差中项
    • 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看作最简单的等差数列，A是a,b的等差中项，A=(a+b/2)
  • 通项公式
    • 如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为an=a1＋（n-1）d
      • 该公式整理后是关于n的一次函数
  • 与一次函数的关系
    • 是直线y=dx+（a1-d）上均匀排开的一群孤立的点
  • 前n项和
    • 等差数列的前n项和公式
      • 首项为a1，末项为an，项数为n的等差数列的前n项和为Sn=n(a1+an)/2
      • 首项为a1，公差为d，项数为n的等差数列的前n项和为Sn=na1+(n-1)nd/2
    • 实际应用
      • ”零存整取“
    • 此公式与二次函数的关系
• 等比数列
  • 概念
    • 定义
      • 等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，其中{an}中的每一项均不为0。
        • q=1 时，an为常数列。
  • 通项公式
    • 设等比数列{an}首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式为
  • 等比中项
    • 如果在等比数列a项和b项中，插入一个数G使a、G、b成等比数列，那么G叫做a、b的等比中项。如果G是a与b的等比中项，则有G/a=b/G。
  • 与指数型函数关系
    • 是函数y=(a1/q)·q^x图像上一些孤立的点
  • 前n项和
    • 前n项和公式
      • 若{an}首项为a1，公比为q，则前n项和公式为
    • 实际应用
      • ”定期自动转存“
• 数学归纳法*
  • 概念
    • 一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下步骤进行：
      • （归纳奠基）证明当n=n0(n0∈N)时命题成立
      • （归纳递推）假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立
      • 命题对于所有从n0开始的所有正整数n都成立
  • 基本思想
    • 先验证使结论有意义的最小正整数n0，如果当n=n0时命题成立，再假设当n=k时(k∈N*,k≥n0)时命题成立（这时命题是否成立是不确定的）。根据这个假设，如能推出当n=k+1时命题也成立，就可以递推出对于所有不小于n0的正整数，命题都成立。
  • 归纳，猜想和证明
    • 从观察一些特殊的简单问题入手，根据体现的共同性质，运用不完全归纳法做出一般命题猜想，然后从理论上证明/否定这种猜想
    • 归纳法
      • 不完全归纳法
      • 完全归纳法