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高中数学必修一
这是一张关于高中数学必修一部分内容的思维导图，涵盖集合、指数函数与对数函数、一元二次函数（方程和不等式）、三角函数以及函数的概念与性质等核心知识点。
编辑于2025-09-30 22:52:10- 函数
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必修一
集合
集合的概念
研究对象成为元素，由一些元素组成的总体叫做集合（集）
给定的集合，元素必须是确定的。例如：“1-10之间的所有偶数”构成一个集合，2、4、6、8、10是其元素。（集合中的元素不重复出现）
只要构成两个集合的元素是一样的，则两个集合相等。
a属于集合A，记做a∈A；a不属于集合A，记作a∉A
集合表示方法
列举法（利用花括号｛｝括起来表示）
例：设小于3的所有自然数组成的集合为A，那么A={1，2，3}
描述法（A是一个集合，集合中所有具有共同特征p（x）的元素x的集合表示为｛x∈A | P（x）｝）
例：x＜3的实数有无数个！利用描述法表示为｛x∈R | x＜3｝
集合间的基本关系
子集
两个集合A，B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称为集合A是集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）
如果A⊆B，且B⊆A，则A=B
例：A=｛x | x是三条边相等的三角形｝，B=｛x | x是等边三角形｝
真子集
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，即A是B的真子集，记作A⫋B（B⫌A）
例：A=｛1,2,3｝ B=｛1,2,3,4｝ ，4∈B，所以A⫋B
空集
不含任何元素的集合叫作空集！记为∅。空集是任何集合的子集
集合的基本运算
并集
由所有属于A的元素或B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B，A∪B＝｛x | x∈A，或x∈B｝
例：A=｛1,2,3｝ B＝｛4,5,6,｝，则A∪B＝｛1,2,3｝∪｛4,5,6｝
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交集
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作A∩B，即A∩B＝｛x | x∈A，且x∈B｝
例：A=｛1,2,3,4,5,6,7｝ B＝｛4,5,6,8｝，则A∩B＝｛4,5,6｝
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全集
一个集合中含有所研究问题中涉及的所有元素——称为全集，记作U
补集
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作C∪A，即С∪A＝｛x | x∈U，且x∉A｝
例：U=｛1,2,3,4,5,6,7｝ A＝｛1,2,3,4,5｝，则С∪A=｛6,7｝
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充分条件与必要条件
若p，则q为真命题！是指由p推出q，记作p ⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件
例：若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直
若p，则q和它的逆命题若q，则p均是真命题！即既有p ⇒q，又有q ⇒p就记作p⇔q，此时p即是q的充分条件，也是q的必要条件，则称p是q的充分必要条件，简称为充要条件
若两个三角形相似，则两个三角形三边成比例
全称量词与存在量词
“所有的”，“任意一个”通常称为全称量词，用符号∀表示，含有全称量词的命题，称为全称量词命题。
对M中任意一个x，p（x）成立，即∀x∈M，p（x）
否定：∃x∈M，¬p（x）
“存在一个”，“至少一个”通常称为存在量词，用符号∃表示，含有存在量词的命题叫做存在量词命题
存在M中的元素x，p（x）成立，即∃x∈M，p（x）
否定：∀x∈M，¬p（x）
全称量词命题的否定是存在量词命题
一元二次函数、方程和不等式
等式性质
如果a=b，那么b=a
如果a=b，b=c，那么a=c
如果a=b，那么a±c＝b±c
如果a=b，那么ac=bc
如果a＝b，c≠0，那么a/c＝b/c
不等式性质
如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b，即a＞b ⇔b＜a
如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即 a＞b，b＞c ⇒a＞c
如果a＞b，那么a+c＞b+c
如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc
如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b+d
如果a＞b＞0，c＞d大鱼0，那么ac＞bd
如果a＞b＞0，那么aⁿ＞bⁿ（n∈N，n≥2）
基本不等式
√ab≤（a+b）/2
√ab为整数a，b的几何平均数，（a+b）/2是整数a，b的算数平均数
二次函数与一元二次方程、不等式
把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
ax²+bx+c＞0或ax²+bx+＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0
一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图像与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集
一元二次方程ax²+bx+c=0（a＞0），设△=b²-4ac，根据△＞0，△＝0，△＜0分为三种情况，二次函数y= ax²+bx+c（a＞0）的图像与x轴位置关系也分为三种情况
函数的概念与性质
函数的概念
设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A。
x为自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A｝叫做函数的值域。
像y=-x，x<0，=x，x>0，称为分段函数
区间的概念
满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]
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满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）
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满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]
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实数集R可以用区间表示为（-∞，+∞）
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函数的表示方法
解析法，用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
列表法，列出表格来表示两个变量之间的对应关系
图像法，用图像表示两个变量之间的对应关系
函数的基本性质
单调性
如果∀x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），那么就称函数f（x）在区间D上单调递增，称为增函数
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如果∀x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），那么就称函数f（x）在区间D上单调递减，称为减函数
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最大（小）值
设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）∀x∈I，都有f（x）≤M；（2）∃x₀∈f（x₀）=M，那么我们就称M是函数y=f（x）的最大值
奇偶性
设函数f（x）的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数
设函数f（x）的定义域为I，如果都有-x∈I，且f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数
幂函数
函数y=xᵃ叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数。
对于幂函数，只研究a=1，2，3，1/2，-1时的图像与性质
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指数函数与对数函数
指数
n次方根
如果xⁿ=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*
负数没有偶次方根
0的任何次方根都是0，记作ⁿ√0=0
ⁿ√a叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数
（ⁿ√a）ⁿ=a
当n为奇数时，ⁿ√aⁿ=a;
当n为偶数时，ⁿ√aⁿ=|a|=a,a≥0或-a，a＜0
分数指数幂
正数的正分数指数幂的意义是
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正数的负分数指数幂的意义是
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0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指数幂运算性质
aʳaˢ=aʳ⁺ˢ（a＞0，r，s∈R)
（aʳ）ˢ=aʳˢ（a＞0，r，s∈R）
（ab）ʳ=aʳbʳ （a＞0，b＞0,r∈R）
指数函数
函数y=aˣ（a＞0，且a≠1），指数x是自变量，定义域是R
指数函数的图像和性质
0＜a＜1（单调递减）
a＞1（单调递增）
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对数
如果aˣ=N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N 的对数，记作x=㏒ₐN，其中a是对数的底数，N叫做真数
以10为底的对数叫做常用对数，并把㏒₁₀N记为lgN，以无理数e=2.71828…为底数的对数称为自然对数，将㏒ₑN=㏑N
当a＞0，a≠1时，aˣ=N ⇔x=㏒ₐN
复数和0没有对数
㏒ₐ1=0，㏒ₐa=1
对数运算性质
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对数换底公式
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对数函数
函数y=㏒ₐx（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中 x是自变量，定义域是（0，+∞）
对数函数的图像和性质
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函数的应用
函数的零点
使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点
方程f（x）=0有实数解⇔函数f（x）有零点⇔函数y=f（x）的图像与x轴有公共点
二分法
对于在区间[a，b]上图像连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y=f（x），通过不断的把他的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法。
子主题饿安灰暗点滴阿杜把u哈呃呃UI呢很对啊呃大u鞭打快牛的卡拿电脑黑u和房东阿杜豪赌哈DNA的互动七八九十姐姐斤斤计较巨汗哒哒不好呵护八点看看吧肚饿安灰暗点滴阿杜把u哈呃呃UI呢很对啊呃大u鞭打快牛的卡拿电脑黑u和房东阿杜豪赌哈DNA的七八九十姐姐斤斤计较巨汗哒哒不好呵护八点看看吧肚饿安灰暗点滴阿杜把u哈呃呃UI呢很对啊呃大u鞭打快牛的卡拿电脑黑u和房东阿杜豪赌哈DNA的互动七八九十姐姐斤斤计较巨汗哒哒不好呵护八点看看吧肚饿安灰暗点滴阿杜把u哈呃呃UI呢很对啊呃大u鞭打快牛的卡拿电脑黑u和房东阿杜豪赌哈DNA的互动
三角函数
任意角和弧度制
任意角
一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角
按顺时针方向旋转形成的角叫做负角
一条射线没有做任何旋转，称其形成了一个零角
所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S=｛β | β=a+k·360ᵒ，k∈Z｝
即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和
弧度制
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度制时候一个负数，零角的弧度数是0.
弧度和角度的换算
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三角函数的概念
设a是一个任意角，a∈R，他的终边OP与单位圆相交于点p（x，y）。
把点P的纵坐标y叫做a的正弦函数，记作sina，即=sina
y=sinx，x∈R
把点P 的横坐标x叫做a的余弦函数，记作cosa，即y=cosa
y=cosx，x∈R
把点P的纵坐标与横坐标的比值y/x叫做a的正切，记作tana，即y/x=tana（x≠0）以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数
y=tanx，x≠π/2+kπ（k∈Z）
终边相同的角的同一三角函数的值相等
sin（a+k·2π）=sina
cos（a+k·2π）=cosa
tan（a+k·2π）=tana
k∈Z
同角三角形的基本关系
sin²a+cos₂a=1
sina/cosa=tana
同一个角a的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角a的正切
诱导公式
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三角函数的图像与性质
正弦曲线
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余弦曲线
十姐姐斤斤计较巨汗哒哒不好呵护八点看看吧肚饿安灰暗点滴阿杜把u哈呃呃UI呢很对啊呃大u鞭打快牛的卡拿电脑黑u和房东阿杜豪赌哈DNA的七八九十姐姐斤斤计较巨汗哒哒不好呵护八点看看吧肚饿安灰暗点滴阿杜把u哈呃呃UI呢很对啊呃大u鞭打快牛的卡拿电脑黑u和房东阿杜豪赌哈DNA的互动七八九十姐姐斤斤计较巨汗哒哒不好呵护八点看看吧肚饿安灰暗点滴阿杜把u哈呃呃UI呢很对啊呃大u鞭打快牛的卡拿电脑黑u和房东阿杜豪赌哈DNA的互动
周期性
对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），f（x）叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期
正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是他的周期，最小正周期是2π
余弦函数也是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是他的周期，最小正周期是2π
奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数
单调性
正弦函数
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余弦函数
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最大值与最小值
正弦函数
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余弦函数
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正切函数的性质与图象
周期性
正切函数是周期函数，周期是π
奇偶性
正切函数是奇函数
正切曲线
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单调性
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值域
正切函数的值域是实数集R
三角恒等交换
两角差的余弦公式
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
两角和的余弦公式
cos（α+β）=cosα+cosβ-sinαsinβ
推导可得
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二倍角的正弦、余弦、正切公式
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函数y=Asin（ωx+Φ）的图像
函数 =Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0）的图象，可以用下面的方法得到：先画出函数y=sinx的图象；再把正弦曲线向左（或右）平移｜φ｜个单位长度，得到函数y=sin（ωx+φ）的图象：然后把曲线上各点的橫坐标变为原来的1/ω倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（ωx+φ）的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数y=Asin（ωx+φ）的图象.
三角函数的应用
简锴运动可以用函数y=Asin（ωx+φ），x∈[0，+∞），表示，其中A>0，ω＞0
A为简锴运动的振幅；周期是T=2π/ω； 频率由∫=1/T=ω/2π；ωx+φ为相位，φ为初相