2025秋北师大版数学七年级上册知识点梳理

这是一篇关于2025秋北师大版数学七年级上册知识点梳理的思维导图，主要内容包括：第一章 丰富的图形世界、有理数及其运算、整式及其加减、基本平面图形、 一元一次方程、数据的收集与整理等。

2025秋北师大版数学七年级上册知识点梳理

• 第一章 丰富的图形世界
  • 知识点 1：立体图形
    • 1 ．定义
      • 图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱 柱、棱锥也是常见的立体图形．
      • 拓展：常见的立体图形有两种分类方法：
    • 2 ．棱柱的相关概念
      • 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱．通常根据底面图形的边 数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、 五边形、六边形……（如下图）
      • 拓展
        • （1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形．
        • （2）长方体、正方体都是四棱柱．
        • （3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形．
    • 3 ．点、线、面、体
      • 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体；包围着体的 是面，面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相 交的地方形成点．
  • 知识点 2 ：展开与折叠
    • 有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的 平面图形称为相应立体图形的展开图．
  • 知识点 3 ：截一个几何体
    • 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、 六边形或圆等等．
  • 知识点 4 ：从三个方向看物体的形状
    • 一般地，我们从正面、左面（或右面）和上面三个方向观察同一物体。（如下图）
    • 1 ．画从三个方向看到的形状图
      • 画从三个方向看小立方块的组合体的形状图的方法:
        • ①确定从三个方向看到的组合体的行数或列数;
        • ②确定每行或每列中小正方形的个数;
        • ③根据小正方形的个数及对应位置画出从三个方向看到的形状图.
    • 2 ．由三个方向看到的形状图确定几何体
      • 三个方向看到的形状图与上下、前后、左右之间的关系:
        • (1)正面的形状图：反映几何体的左右列数和每一列的上下层数.
        • (2)左面的形状图：反映几何体的前后列数和每一列的上下层数.
        • (3)上面的形状图：反映几何体的前后行数和每一行的左右列数.
  • 知识点 5 ：正方体的展开图（11种）
  • 知识点 6 ：确定正方体的表面展开图中相对面的方法
    • 方法一：利用空间想象，先确定一个面的位置，再确定其他面的位置。
      • 如图，若将 3 作为下面，2 作为后面，则 1 为左面，4 为右面，5 为前面，6 为上面，这样就可以按 “上对下 ”“左对右 ”“前对后 ”来确定相对面.
    • 方法二：利用正方体的表面展开图中的规律确定相对面，即“隔一相对 ”（上下隔一行或左右隔一 列）如 1 对 3 ，2 对 5 ，4 对 6 ，“Z 端是对面 ”，如 1 对 4 ，3 对 6 ，2 对 5．

2025秋北师大版数学七年级上册知识点梳理

• 第二章 有理数及其运算
  • 知识点 1：正数和负数
    • 1 ．概念
      • 正数：大于 0 的数叫做正数。
      • 负数：在正数前面加上负号“－”的数叫做负数。
      • 注：0 既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数， 自然数，有理数。（不是带“－”号的数都是负数，而是在正数前加“－”的数。）
    • 2 ．意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。
  • 知识点 2：有理数
    • 1 ．概念
      • 整数：正整数、0、负整数统称为整数。
      • 分数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。）
    • 2 ．分类：
  • 知识点 3：数轴
    • 1 ．概念：
      • 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
      • 三要素：原点、正方向、单位长度
    • 2 ．对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。
    • 3 ．应用：
      • ①比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
      • ②求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。
      • （注意不带“+ ”“－”号）
  • 知识点 4：相反数
    • 1 ．概念：
      • 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。（0 的相反数是 0）
      • 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。
    • 2 ．性质：
      • 若 a 与 b 互为相反数，则a＋b=0，即 a=-b；反之，若 a＋b=0，则 a 与b 互为相反数。
    • 3 ．多重符号的化简：
      • ①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。
      • ②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数。
      • 注意：当“－”号的个数是偶数个时，结果取正号；当“－”号的个数是奇数个时，结果取负号。
  • 知识点 5 ：绝对值
    • 1 ．几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。
    • 2 ．代数意义：
      • 一个正数的绝对值是它的本身 （若|a| ＝|b| ，则 a ＝b 或 a ＝ -b）
      • 一个负数的绝对值是它的相反数
      • 0 的绝对值是 0
    • 3 ．代数符号意义
      • 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。
    • 4 ．性质：绝对值是 a (a＞0)的数有 2 个，他们互为相反数。即±a。
    • 5 ．非负性：
      • 任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。
      • 几个非负数之和等于 0 ，则每个非负数都等于 0。
      • 故若|a|＋|b| ＝0 ，则 a ＝0 ，b ＝0
    • 6 ．比较大小：
      • ①数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
      • ②代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。
      • 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。
  • 知识点 6 ：有理数的加法法则
    • 1 ．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
    • 2 ．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝 对值。互为相反数的两个数相加得 0。
    • 3 ．一个数同0 相加，仍得这个数。
  • 知识点 7 ：有理数的加法运算定律
    • 1 ．加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。
      • 即 a＋b=b＋a
    • 2 ．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。
      • 即 a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）
  • 知识点 8 ：有理数的减法法则
    • 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
    • 即 a－b=a＋（ -b）
  • 知识点 9 ：有理数的乘法法则
    • 1 ．两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
    • 2 ．任何数同 0 相乘，都得 0。
    • 3 ．多个不为 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数， 即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。
    • 4 ．多个数相乘，若其中有因数 0 ，则积等于0；反之，若积为 0 ，则至少有一个因数是 0。
  • 知识点 10：有理数的乘法运算定律
    • 1 ．乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即 a×b ＝ba
    • 2 ．乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
      • 即 a×b×c = ﹙a×b﹚ ×c ＝a×﹙b×c﹚。
    • 3 ．乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。
      • 即 a×﹙b＋c﹚ =a×b＋a×c。
  • 知识点 11：倒数
    • 1 ．定义：乘积为 1 的两个数互为倒数。
    • 2 ．性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。
      • 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1.
  • 知识点 12：有理数的除法法则
    • 1 ．除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。
      • 用字母表示为
    • 2 ．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
    • 3 ．0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。
  • 知识点 13：有理数的乘方
    • 有理数乘方的定义：求 n 个相同因数积的运算，叫做乘方．
    • 乘方的结果叫做幂，在 an 中，a 叫做底数，n 叫做指数．an 读作 a 的 n 次方，也可以读作 a 的 n 次幂．（将 an 看作是 a 的 n 次方的结果时）
  • 知识点 14：有理数的乘方法则运算
    • 1 ．正数的任何次幂都是正数。
    • 2 ．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
    • 3 ．0 的任何正整数次幂都是 0。
  • 知识点 15：有理数的混合运算
    • 1 ．先乘方，再乘除，最后加减。
    • 2 ．同级运算，从左到右的顺序进行。
    • 3 ．如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
    • 在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。
  • 知识点 16：科学计数法
    • 1 ．科学记数法概念：把一个大于 10 的数表示成 a×10n 的形式（其中a 是整数数位只有一位的数， n 为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙ 1≤|a|＜10﹚
    • 2 ．原数
      • （1）科学记数法 a×10n 表示的数，“还原 ”成通常表示的数，就是把 a 的小数点向右移动 n 位 所得到的数．
      • （2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为 检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
    • 3 ．近似数的精确度：两种形式
      • ①精确到某位或精确到小数点后某位。
      • ②保留几个有效数字。
      • 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示。
      • 例如：256000（精确到万位）的结果是 2.6×105
    • 4 ．有效数字：从一个数的左边第一个非 0 数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效 数。
      • 注意：
        • ①用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。
          • 例如：3.0×104 的有效数字是 3 ，0。
        • ②带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。
          • 例如：2.605 万的有效数字是 2 ，6 ，0 ，5。

2025秋北师大版数学七年级上册知识点梳理

• 第三章 整式及其加减
  • 知识点 1：代数式
    • 1 ．定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫 做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
      • 注意：
        • ①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；
        • ②代数式中不含有“等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；
        • ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。
    • 2 ．代数式的书写格式：
      • ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如 vt；
      • ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如 4a；
      • ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如2应写作 ；
        • 
      • ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；
      • ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如 4÷（a-4）应写作 注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。
      • ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的 后面，如(a2 -b2) 平方米。
  • 知识点 2：单项式
    • 1 ．单项式定义： 由数或字母的积组成的式子叫做单项式。
      • 注意：单独的一个数或者单独的一个字母也是单项式.
    • 2 ．单项式的系数：单项式中的数字因数叫这个单项式的系数.
      • 注意：
        • （1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。
        • （2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号。
          • 如- 4xy 2 的系数是- 4 ； - (2x2 y )的系数是- 2 ；
        • （3）对于只含有字母因数的单项式，其系数是 1 或-1，不能认为是 0。
          • 如- ab2 的系数是-1； ab 2 的系数是 1；
        • （4）表示圆周率的π, 在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。
          • 如 2 πxy 的系数就是 2.
    • 3 ．单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
      • 注意：
        • （1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是 1 的情况。如 单项式2x4 y 2 z 的次数是字母 z ，y ，x 的指数和，即 4＋3＋1=8 ，而不是 7 次，应注意字母z 的指数 是 1 而不是 0；
        • （2）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式- 24 x 2 y 3 z 4 的次数是 2＋3＋4=9 而不是 13 次；
        • （3）单项式是一个单独字母时，它的指数是 1 ，如单项式 m 的指数是 1 ，单项式是单独的一 个常数时，一般不讨论它的次数；
    • 4 ．在含有字母的式子中如果出现乘号，通常将乘号写作“ ● ”或者省略不写。
      • 例如： 100× t 可以写成100 ● t 或100t
    • 5 ．在书写单项式时，数字因数写在字母因数的前面，数字因数是带分数时转化成假分数.
  • 知识点 3 ：多项式
    • 1 ．定义：几个单项式的和叫多项式.
    • 2 ．多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项.
    • 3 ．多项式的次数多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数.
    • 4 ．多项式的项数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数.
    • 5 ．常数项：多项式里，不含字母的项叫做常数项.
  • 知识点 4 ：整式
    • 1 ．单项式和多项式统称为整式。
    • 2 ．单项式或多项式都是整式。
    • 3 ．整式不一定是单项式。
    • 4 ．整式不一定是多项式。
    • 5 ．分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。
  • 知识点 5 ：同类项
    • 1 ．定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
    • 2 ．合并同类项：
      • （1）合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
      • （2）合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
      • （3）合并同类项步骤：
        • 一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出；
        • 二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集中到不同的括号内；
        • 三合，将同一括号内的同类项相加即可.
      • （4）在掌握合并同类项时注意：
        • (1)运用加法交换律、加法结合律将单项式移动位置时，不能丢掉各项系数的符号.
        • (2)不要漏项.
        • (3)运算结果通常按某一字母的降幂(或升幂)排列.
        • 注意：合并同类项的关键是正确判断同类项。
  • 知识点 6 ：去括号
    • 1 ．去括号法则：
      • 括号前面是“ ＋ ”号，把括号和它前面的“ ＋ ”号去掉，括号里各项的符号都不改变；
      • 括号前面是“ － ”号，把括号和它前面的“ － ”号去掉，括号里各项的符号都要改变.
    • 2 ．方法总结：
      • (1)去括号时，不仅要去掉括号，还要连同括号前面的符号一起去掉．
      • (2)去括号时，首先要弄清括号前是“ ＋ ”号还是“ － ”号．
      • (3)注意法则中的“都 ”字，变号时，各项都变号；不变号时，各项都不变号．
      • (4)当括号前有数字因数时，应运用乘法分配律运算，切勿漏乘．
      • (5)出现多重括号时，一般是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，每去掉一层括号，如 果有同类项也可随时合并，为下一步运算简便化，较少差错．
    • 3 ．两点说明：
      • ①去括号法则是根据乘法分配律推出的；
      • ②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
  • 知识点 7 ：添括号法则
    • 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，
    • 添括号时，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．
  • 知识点 8 ：整式的加减
    • 1 ．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
    • 2 ．整式的加减步骤及注意问题
      • （1）整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
      • （2）去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外 是“﹣ ”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
    • 3 ．整式加减的最终结果
      • （1）不含括号、不含同类项；
      • （2）含字母项的系数不能出现带分数，带分数必须化成假分数；
      • （3）结果一般按某一字母的降幂或升幂排列.
  • 知识点 9 ： 日历中的规律问题
    • 1 ．在日历中，方框中的9 个数之和是最中间数的9 倍．如果用a 表示正中间的数，这 9 个数 的和等于 9a．
    • 2 ．任意一行或列的相邻三个数的和等于最中间数的 3 倍．设最中间的数为 a ，则任意一行或 列的相邻三个数的和为 3a．
  • 知识点 10：数与式的变化规律问题
    • 从给定的几个数与式入手，观察数与数之间的规律及式子本身存在的规律，分别进行横向、纵 向的比较，找出其中的不变部分与变化部分，确定数和式子与序号之间的关系，找出变化规律.
    • 若是一列整数，则可考虑相邻两数的和、差、积、商等方面的规律，也可以是奇、偶、平方等 方面的规律；
    • 若是等式，则可将每个等式对应写好，然后比较每一行、每一列数字之间的关系，从而找出规律；
    • 若是分数，则可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系．
  • 知识点 11：图形的变化规律问题
    • 观察、分析图形特点，挖掘相邻两个图形间的增减变化关系，有时也可将图形进行分割，从不 同角度分析图形的变化特点，从中找出规律，大胆猜想，用恰当的代数式表示规律并加以验证．

2025秋北师大版数学七年级上册知识点梳理

• 第四章 基本平面图形
  • 知识点 1：直线、射线与线段的概念
  • 知识点 2：基本事实
    • 1 ．经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线
    • 2 ．两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短
  • 知识点 3：基本概念
    • 1 ．两点间的距离： 两个端点之间的长度叫做两点间的距离。
    • 2 ．线段的等分点： 把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点
  • 知识点 4 ：双中点模型：C 为 AB 上任意一点，M、N 分别为 AC、BC 中点，则
  • 知识点 5：角的概念
    • 1 ．角的定义：
      • （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点 是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图所示，角的顶点是点 O，边是 射线 OA 、OB．
      • （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时 经过的平面部分是角的内部．如图所示，射线 OA 绕它的端点O 旋转到 OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置 OA 是角的始边，终止位置 OB 是角的终边．
      • 注意
        • （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
        • （2）平角与周角：如图 1 所示射线 OA 绕点O 旋转，当终止位置 OB 和起始位置 OA 成一条 直线时，所形成的角叫做平角，如图 2 所示继续旋转，OB 和 OA 重合时，所形成的角叫做周角．
    • 2 ．角的表示法：角的几何符号用“ ∠ ”表示，角的表示法通常有以下四种：
  • 知识点 6 ：角度制及其换算
    • 这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
    • 角度制换算：1 周角＝360 ° , 1 平角＝180 ° , 1 ° =60 ′ ，1 ′ ＝60 ″．
    • 注意：
      • 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借 位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于 60 时 要向高一位进位．
  • 知识点 7 ：钟表上有关夹角问题
    • 钟表中共有 12 个大格，把周角 12 等分、每个大格对应 30 ° 的角，分针 1 分钟转 6 ° , 时针每 小时转 30 ° , 时针 1 分钟转 0.5 ° , 利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
  • 知识点 8 ：方位角
    • 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．
    • 例如，图中射线 OA 的方向是北偏东 60 ° ;射线 OB 的方向是南偏西 30 ° .
    • 这里的“北偏东 60 ° ”和“南偏西 30 ° ”表示方向的角，就叫做方 位角．
  • 知识点 9 ：角平分线
    • 注意： 由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
  • 知识点 10：角的运算
    • 如图所示， ∠AOB 是∠1 与∠2 的和，记作： ∠AOB = ∠1+∠2；
    • ∠1 是∠AOB 与∠2 的差，记作： ∠1 = ∠AOB-∠2．
  • 知识点 11：角的比较
    • 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
    • 方法 1 ：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
    • 方法 2 ：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
      • 如比较∠AOB和∠A ′O ′B ′ 的大小：
        • 如下图，由图(1)可得∠AOBA ′O ′B ′；
        • 由图(2)可得∠AOB = ∠A ′O ′B ′；
        • 由图(3)可得∠AOB＞∠A ′O ′B ′．
  • 知识点 12：多边形及正多边形
    • 1．定义：多边形是由一些不在同一条直线上 的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做 正多边形．如图：
    • 2 ．正多边形
      • （1）各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形
      • （2）正多边形的每个内角的度数：
      • （3）正多边形每个外角的度数：
      • 平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
    • 3 ．相关概念：
      • 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
      • 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
      • 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个 n 边形有 n个内角.
      • 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
      • 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
      • 多边形公式
        • 1 ．n 边形一个顶点的对角线数： n-3
        • 2 ．n 边形的对角线总数：
        • 3 ．n 边形的外角和： 360 °
        • 4 ．补充：n 边形截去一个角后得到 n / n-1 / n-2 边形
  • 知识点 13 ：圆及扇形
    • 1 ．圆的定义：如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周， 另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段 OA 叫做半径.
    • 2 ．扇形
      • （1）圆弧：圆上任意两点 A ，B 间的部分叫做圆弧，简称弧，记作AB ， 读作“ 圆弧 AB ”或“弧 AB ”．如图：
      • （2）扇形的定义：如图，由一条弧 AB 和经过这条弧的端点的两条半径 OA ，OB 所组成的图形叫做扇形．
        • 注意：圆可以分割成若干个扇形.
      • （3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图， ∠AOB 是圆的一个圆 心角，也是扇形 OAB 的圆心角.

2025秋北师大版数学七年级上册知识点梳理

• 第五章 一元一次方程
  • 知识点 1 ：一元一次方程
    • 1 ．概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是 1 的方程；
      • 标准式：ax+b=0（x 是未知数，a 、b 是已知数，且 a≠0）；
    • 2 ．方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值
  • 知识点 2：等式的性质
    • 等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；
      • 如果 a=b，那么 a±c=b±c；
    • 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等；
      • 如果 a=b，那么 ac=bc；如果 a=b ，c0，那么；
        • 
  • 知识点 3：含参一元一次方程
    • 1 ．次数含参：主要考察一元一次方程定义
    • 2 ．常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题
    • 3 ．解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数
  • 知识点 4：解一元一次方程
    • 1 ．去分母：两边同乘最简公分母
    • 2 ．去括号：①先去小括号，再去中括号，最后去大括号；②乘法分配律应满足分配到每一项。
      • 注意：符号变化
    • 3 ．移项：把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边；
      • 注意：①移项要变符号；②一般把含有未知数的项移到左边，其余项移到右边 ．
    • 4 ．合并同类项：把方程中的同类项分别合并，化成“ ax = b ”的形式（ a ≠ 0 ）； 注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变．
    • 5 ．系数化为 1 ：方程两边同除以未知数的系数 a ，得
      • 注意：分子、分母不能颠倒
  • 知识点 5 ：一元一次方程的实际应用
    • 审：弄清题意，分清已知量和未知量，明确各数量间的关系
    • 设：设未知数，并且用含未知数的代数式表示与所列方程有关的数量列：根据题目中的数量关 系、相等关系、倍数关系以及若干倍多或少个数字列方程
    • 解：解所列的方程，求出未知数的值以及题目中所要求的相关数量的值验：检验所求的解是否 符合题意，是否符合实际意义。

2025秋北师大版数学七年级上册知识点梳理

• 第六章 数据的收集与整理
  • 知识点 1：数据的收集
    • 1 ．方式： 问卷调查、访谈、查阅资料、实地调查、试验、网上搜索等（根据具体情况合理地选择 数据收集的方式）
    • 2 ．步骤：
      • （1）明确调查的问题和目的；
      • （2）确定调查对象；
      • （3）选择调查方式；
      • （4）设计调查问题；
      • （5）展开调查；
      • （6）收集并整理数据；
      • （7）分析数据，得出结论
  • 知识点 2：普查和抽样调查
    • 1 ．普查：对所有考察对象进行全面调查叫普查
      • 优点：可以直接获得总体情况
      • 缺点：总体中个体数目较多时，普查的工作量较大
    • 2 ．总体：所要考察的对象的全体叫总体
      • 个体：组成总体的每一个考察对象叫做个体
    • 3 ．抽样调查：从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查叫做抽样调查
      • 优点：调查范围小，节省时间、人力、物力及财力
      • 缺点：没有普查得到的结果准确
      • 样本：从总体中抽取的部分个体叫做总体的一个样本，为了获得较为准确的调查结果，抽样时 要注意样本的代表性和广泛性
  • 知识点 3：数据的表示
    • 1 ．扇形统计图
      • （1）概念：用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分 占总体的百分比的大小
      • （2）特点：
        • ①反映具体问题中的部分与总体的数量关系
        • ②只能得到各部分的百分比，得不到具体数量
        • ③在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与 360 度的比
      • （3）绘制扇形统计图的步骤：计算各部分占总体的百分比；计算各部分对应的扇形的圆心角的 度数；画出扇形统计图，表上百分比；写出扇形统计图的名称．
    • 2 ．条形统计图：
      • （1）概念：一般是由两条互相垂直的数轴和若干长方形组成，两条数轴分别表示两个不同的项 目，长方形的高表示其中一个项目的数据．
      • （2）特点：能清楚地表示出每个项目的具体数据
    • 3 ．折线统计图：用折线的起伏表示数据的增减变化
    • 4 ．频数直方图
      • （1）频数：在数据统计中每个对象出现的次数称为频数
      • （2）注意：频数能反映每个对象出现的频繁程度；所有对象的频数之和等于数据总数
      • （3）绘制频数直方图的步骤：计算所给数据的最大值与最小值的差；决定组距和组数；确定分 点；列频数分布表；绘制频数直方图
      • （4）频数直方图是一种特殊的条形统计图，它将统计对象的数据进行了分组，画在横轴上；纵 轴（即长方形的高）表示各组数据的频数
      • （5）频数直方图的优点：能更清晰、更直观地反映数据的整体状况
    • 5 ．统计图的选择
      • 条形统计图：清楚地表示每个项目的具体数目
      • 折线统计图：清楚地反映事物的变化情况
      • 扇形统计图：清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比
      • 频数直方图：能更清晰、更直观地反映数据的整体状况