三角函数

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。这一思维导图主要讲述的是三角函数的相关知识点总结归纳，及一些解题方法和公式。

三角函数

• 角的定义 (任意角，qÎR)
  • 正角：逆时针旋转而成的角
  • 负角：顺时针旋转而成的角
  • 零角：射线没有旋转而成的角
  • 两制互化(单位圆里)：360°=2p，180°=p
    • 弧度=（180/p）°
  • 终边相同角的定义：A={b|b=a+k·360°，kÎZ}或A={b½b=a+2kp，kÎZ}
• 三角函数的符号
  • 由角a的象限决定：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
• 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限（为p/2的奇偶倍数） (将任意度数的角化为锐角求函数值，公式中暂且把a看作锐角)
  • 负化正：把负角用-a的诱导公式将任意负角化为正角
  • 大化小：运用2kp+a(kÎZ)的诱导公式把大于2p的角的三角函数化为[0,2p)内的三角函数
  • 小化锐：把大于p/2的角化为锐角三角函数
• 三角函数关系式 （同角）
  • 平方关系：
  • 商的关系：
• 三角恒等变换
• 三角函数定义域
  • y=sinx，y=cosx的定义域为R
  • y=tanx的定义域：x≠p/2+kp，kÎZ
• 三角函数的值域
  • 标准y=sinx和y=cosx的值域为；[-1,1]
  • 标准y=tanx的值域为R
  • 不标准的三角函数求值域
    • 化为标准型：y=Asin(wx+j)的值域为：[-A,A]
      • 二次化一次：降幂公式
      • 多角化一角：两角和差公式展开
      • 多名化一名：化归公式（辅助角公式）
    • 换元法：令t=sinx或t=cosx或t=tanx等
• 三角函数的单调性
  • y=sinx
    • 增区间：
    • 减区间：
  • y=cosx
    • 增区间：
    • 减区间：
  • y=tanx
    • 增区间：
  • y=Asin(wx+j)
    • 将wx+j带入y=sinx 的增减区间，解出x
• 三角函数的奇偶性
  • y=sinx为奇函数，y=cosx为偶函数，y=tanx为奇函数
  • Asin(wx+j) 观察j是不是p/2的整数倍
    • j不是p/2的整数倍：非奇非偶
      • 子主题
    • j是p/2的整数倍 （j=p/2·k，kÎZ）
      • k为奇数，y为偶函数
      • k为偶数，y为奇函数
• 三角函数的周期性
  • y=sinx，y=cosx的周期为2p，y=tanx的周期为p
  • y=Asin(wx+j)的周期是
  • y=Atan(wx+j)的周期是
  • y=½Asin(wx+j)½,y=½Acos(wx+j)½,y=½Atan(wx+j)½的周期均为
• 三角函数的对称性
  • 对称中心
    • y=sinx
      • (kp,0)，kÎZ
    • y=cosx
      • (p/2+kp,0)，kÎZ
    • y=tanx
      • (k·p/2,0)，kÎZ
  • 对称轴
    • y=sinx
      • x=p/2+kp，kÎZ
    • y=cosx
      • x=kp，kÎZ
  • y=Asin(wx+j)
• 三角函数的图像变换 y=sinxÞy=Asin(wx+j)+C
  • A：值域，[-1,1]Þ[-A,A]
  • w：周期，2pÞ
  • j：左右平移（在x的基础上），左加右减
  • C：上下平移，上加下减
• 如果给的函数不是标准函数，要化为y=Asin(wx+j)
• 会和其他函数混合着考
• 已知角a终边上任一点P(x,y)(非原点O)，则P到原点O的距离r=
  • sina=y/r
  • cosa=x/r
  • tana=y/x