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高数题型总结
这是一篇关于高数题型总结的思维导图，结构清晰，内容全面，通过对高数题型的分类总结以及易错点、计算错误和思维要点的提示，有助于学习者系统地复习和掌握高等数学知识，提高解题能力和准确性。
编辑于2025-11-05 11:21:23- 易错点整理
- 高数题型
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高数题型总结
易错点
拉格朗日余项的泰勒展开式，他的余项表示误差， 没有拉格朗日余项的泰勒展开式通过o( )表示误差
常微分方程中，未知常数要特别说明为任意常数，但是这里的R代表的是实数集
计算错误
导数计算到后面链式不彻底（自变量是y，没有乘上y'）
对数求导先尝试化简，把指数放下来
极限不要轻易求出来要看后面还有没有复合函数
思维
拉格朗日
对数如果内部有根号，第一时间要提取出来
积分
如果上下限都一样，要考虑到合并
相似
算完特征值后用tr验算一下
高数
第一章 函数 极限 连续
函数
有界性
①定义
②在闭区间连续
③在开区间连续，左端右极限和右端左极限存在
避免出现在(a,b)连续但是两端的极限是无穷的
④函数一阶导有界，函数有界
题型一｛复合函数｝
题型二｛函数性态｝
极限
1∞ 趋向e但是∞的0次方不一定趋向e
等价无穷小替换
题型一｛极限的概念、性质及存在准则｝P12
题型二｛求极限｝P15
求极限常用方法
方法1｛利用有理运算法则求极限｝
方法2｛利用基本极限求极限｝
方法3｛利用等价无穷小代换求极限｝
该点值是无穷小才能代换
积分内的函数也可以代换
想确定一个式子等价于什么
没有方向
一步一步等价替换
有方向
相除，查看式子和自己猜的是否是等价的
方法4｛利用洛必达求极限｝
分子分母很复杂，先化简，开出极限外再洛 1.1
方法5｛利用泰勒求极限｝
已知f(x)的泰勒，求f(a(x))泰勒，如果a(x)是简单的单项式， 可以直接换元代入已知式子
泰勒展开上下同幂的具体细节 1.5
方法6｛利用夹逼求极限｝
方法7｛利用定积分的定义求极限｝
公式
方法8｛利用单调有界准则求极限｝
方法9｛利用中值定理求极限｝
两个式子相减，长得很像
凑中值定理
ln1=0
只要是两项相减等于0基本都能用
中值定理通过夹逼算出的值为非0才可以用 1.2 1.3 对数中要用ln1=0创造条件 1.6 中值定理也要遵守加减法原则 ξ可能不能夹逼获取准确值，要一整个式子去夹逼
方法10 {设置为数列，求数列是否收敛}
求极限常见的题型
函数的极限
0/0型
（1）洛必达
（2）等价无穷小代换
（3）泰勒公式
（4）抓小头：关注指数最小的项（指数大的更快接近于0，忽略）
（5）拉格朗日中值
∞/∞型
（1）洛必达
（2）分子分母同除以分子和分母中最高阶的无穷大（抓大头）
常见函数增长速度
∞-∞型
（1）通分（分式差）
不好通分，考虑分子分母同除
（2）根式有理化（凑平方差）
（3）提无穷因子
0*∞型
1∞次方型
（1）凑基本极限 e
底数和指数简单
（2）改写为指数
底数和指数比较复杂
（3）使用无穷小替换结论
∞的0次方、0的0次方
通过指数的形式转换为0*∞型
数列的极限
不定式
n项和的数列极限
直接入手
（1）夹逼原理
①利用绝对值（y绝对值等于0，y等于0）
②有界函数×0
对绝对值放缩成两项相加
①用夹逼时各项分母值要一致，如果分母值不一样一般用求和公式 ②夹逼的左右符号是≥或者≤
（2）定积分定义
先放缩再用定积分
可以把求和式子展开为为n项相加
分母中不变项能不能抓大头？（1）：（2）
全部消掉
（3）一加一减全部消掉留头尾
（4）数列求和
分子分母都在变
分子是等比、等差
一般用夹逼
分子分母同除后有规律
其他
选一个变化用夹逼，另一个用定积分
n项连乘的数列极限
（1）夹逼原理
（2）取对数化为n项和
（3）全部消掉
ln
函数极限转化为数列极限
递推关系定义的数列
有些题目没有给出递推式，要自己求出来
如果题目要求递推式，需要算出的是an和an-1这种附近项的关系，而且要算出首项的式子。 如果是要算出an的值，那就是要算出an的与n相关的式子
（1）先证数列｛xn｝收敛（单调有界准则），等式两边取极限
（2）先两边取极限求出极限A，再证明极限等于A（证明lim(xn-A)=0）
单调用（1）不单调用（2）
Xn+1-Xn
Xn=1/Xn
根据数列递推式的单调性判断
解法
套娃的题目，一般是可以用归纳法写出函数表达式或者递推关系
递推式通过不等式找上下界
不好算的，先算出极限值，根据极限值反向去凑有界、单调
前后项相减/除后找不到规律，可以设为函数，对函数求导
结论
求极限步骤
（1）查看是什么类型
（2）无穷小等价代换或中值定理
⭐注意等价代换后正负号
（3）洛必达
（4）泰勒
泰勒一般用于加减法不能等价无穷小代换的情况，如果发现泰勒开出来后还是同样情况，要考虑中值定理
（5）泰勒不行回头简化式子重新来一遍（通常是平方差）
题型三｛确定极限式中的参数｝P37
先求出一个参数，再代入求其他的
题目与泰勒有关，提及泰勒的几阶无穷小
题型四｛无穷小量阶的比较｝P39
（1）洛必达法则（求导定阶）
（2）等价无穷小代换
（3）泰勒公式
（4）结论
题型
无穷小量阶代入x结果非0才正确 1.7
两个相似式子相加的量阶以小的为准 1.8
（1）提取最小次数的x，化为x n次方(1+a(x))形式
（2）代入x=0得到x的n次方，求出阶为n
连续
题型一｛讨论连续性及间断点类型｝P44
①分母为0
②指数的正负无穷
③绝对值导致的间断
④求出分段函数
题型二｛介值定理、最值定理及零点定理的证明题｝P47
特例
函数连续性
1/x
不是导数值无穷就是无界
√x
无界函数相乘可有界
第二章 一元函数微分学
概念
给出曲率圆，可以直接在该点对圆方程求导得出一阶二阶导
微分定义
导数与微分
题型一 ｛导数与微分的概念｝
（1）导数定义求极限
（2）导数定义求导数
（3）导数定义判断可导性
导数定义可以求一个区间内可导
分母不符合要求，凑出来 2.1 求导要看分母，代表链表法的终点 2.2 两种特殊情况2.3
题型二｛导数的几何意义｝
题型三｛导数与微分的计算｝
（1）复合函数求导法
（2）隐函数求导法
xy带回式子简化方程 2.4
（3）参数方程求导法
题目只求二阶导的值，且方程式复杂，直接用这个公式，代入值算出
复杂参数方程使用公式法 2.5
（4）反函数求导法
（5）对数求导法
（6）高阶导数
（1）代公式
（2）归纳法
（3）泰勒（求具体点导数）
泰勒展开代入原则
线性复合可代入（如 eˣ→e²ˣ）
非多项式复合需重展开再代入（如 e^sinx）
（4）0点处导数特别注意函数奇偶性
导数计算方法
①求某个点的导数一般直接求导比隐函数求导方便
②有三个及以上式子相乘的求导，把x带入值为0的部分看为一个整体，用求导的乘法准则
③xy带回式子简化方程
导数应用
题型一｛函数的单调性、极值与最值｝
极值点和拐点看在该点左右领域是异号，不一定要在这点为0，也可以是这点无定义
题型二｛曲线的凹向、拐点、渐近线及曲率｝
渐近线
x->∞，函数是上图形式可以直接确定斜渐近线(要求是多项式相加的形式)
极值点
问到最值的时候要对比极值和两个端点值（求最大值，也要去对比极大值）
拐点
题型三｛方程根的存在性及个数｝
存在性
（1）零点定理
（2）罗尔定理
找到题中函数的原函数
个数
（1）单调性
如果要讨论参数范围，一般是把参数放到一侧，看函数和参数的交点
（2）罗尔定理推论
题型四｛证明函数不等式｝
单调性
自变量不是x的时候，要凑出来换元
最大最小值
拉格朗日中值定理
泰勒公式
凹凸性
常见不等式
题型五｛微分中值定理相关证明题｝
含有一个未知数
有fx高阶导
使用拉格朗日余项泰勒公式，xo选取函数，导数值最多的点（一样多选导数信息多的）
只有fx一阶导
函数简单，直接反推
含有二阶导和fx，加一项减一项
找到原函数，全部可以化为这个形式
含有两个未知数
不要求两者不相等
选择参数多的那个来柯西，参数出现少的那个拉格朗日 一般先拉格朗日再柯西
刚开始拉格朗日选择错误函数展开会影响后面的计算
柯西的那个函数全部未知数不一定都在分母当导函数，也可以部分参数在分子来当导函数
要求两者不相等
先设一个中间点，在两个区间两次拉格朗日展开，带入式子中反推出该中间点应该满足的一个函数表达式，最后就是求证这个函数表达式的零点存在性
特例
函数可导，导函数未必连续
第三章 一元函数积分学
不定积分
把C写在式子第一项
题型一 {计算不定积分}
有理函数
第一类换元
①套公式，可能要换元
②凑微分
③表达式的一部分可以代表另一部分
分母是几项相乘
裂项（标准裂项）
分母的几项分别乘上系数后相加，大概是可以得出分子->用标准裂项 不可以->用高级裂项
2项以上裂项，见部分分式法
分子加一项减一项凑分母的某个括号（高级裂项）
如果相乘几项未知数同次，可以一起凑
第二类换元
设x+1为tant，目的是为了把两个平方和合并为一个平方
部分分式法
几次换元后得到原式
换元的时候加上常数，凑定积分计算为0
换元后的积分可以直接计算
多次换元后积分部分可以互相消去
换元选择
分式优先把分母凑进去
三角函数
特殊代换，把影响的那一项凑进去
把影响的那一项凑进去
分式
分母为三角，分子为1
分子通过公式凑最高次
凑分母中sinx或cosx的最高次
特别的，分母是为2次，全部展开通过tan和sec求积分
分母分子都有三角函数
一阶：使用三角函数凑微分方法
高阶：通过万能代换转化为有理函数的方式，再看看需不需要使用部分分式法
多项式
含有sec²x和tan²x的式子，tan²x全部化为sec²x
平方可以转化为一次
子主题
万能代换
不同类型的函数式混合
分部积分法
好求导的凑进去
可以通过两次分部把原式看为一个整体求
题型二 {不定积分杂项}
定积分
题型一 {定积分的概念、性质、几何意义}
题型二 {定积分计算}
第一步一定是先找出瑕点拆分定积分
①利用奇偶性、周期性、对称性
对称性
连续且明确对称的区间奇函数积分才为0
sinx在（负无穷，正无穷）不行
sin1/x在（-1，1）
周期性
函数不关于x=0对称也可以用
积分的上下限含有除了变量的未知数
函数周期性把他提出来
f(x)是周期函数，且周期 T=2，对 f(x)积分，且积分区间长度为 2。 积分值一定相同。
二次函数
三角函数
②几何意义
设y等于被积函数，去求出圆的函数表达式
③牛顿莱布尼茨公式
通过不定积分方法求出来原函数
④换元积分法
换元后上下限也要换
⑤分部积分法
分部出来尽量凑0
⑥利用公式
区间再现
积分区间是函数的周期或者与函数次数有关，使用区间再现原理
反常积分的区间再现是设t=1/x
题型三 ｛变上限积分函数及其应用｝
不定积分和变上限积分的区别
连续性
所有的变上限积分都是连续的
可导性
求导方法
x在上下限
直接求导
x好分开（拆项）
拆项后按照两项相乘的求导来算
x不好分开
换元不会引入新变量：换元
换元会引入新变量：直接求出这个积分再求导
求导格式
奇偶性
题型四 ｛积分不等式｝
差一阶
积分和函数间比较
变上限积分
3.3 通过变上限联系导数，使用放缩构造不等式
积分和具体的数值比较
构建fx的关系式
积分中值定理->去掉积分
通过变上限积分->凑出积分
设函数F(x)，通过单调性求
积分中的上下限相同
先求出fx的关系，再加上积分
柯西积分不等式
反常积分
瑕点
代入a值，函数值为无穷
题型一 ｛反常积分的敛散性｝
通过瑕点分段
两端和中部有瑕点都要分段 整段可积也要分段
该段的瑕点处的极限存在
该段收敛
瑕点极限为无穷
该段积分涉及无穷区间
使用常用结论
无穷区间处
瑕点处
比较判别法
整个函数都大于或者小于
比较法的极限形式
题型二 ｛反常积分计算｝
瑕点和无穷点要分开算
反常积分使用分部算出无解要改变方法
3.6
常见解法
根号
分母：平方差
第一类换元
arcsinx
ln|x+|
第二类换元
几何意义
部分分式法
几次换元后得到原式
换元的时候加上常数，凑定积分计算为0
换元后的积分可以直接计算
三角类型
多次换元后积分部分可以互相消去 （两种函数明显是不能完全消去或者直接算出）
换元选择
分式优先把分母凑进去
公式
定积分应用
题型一 ｛几何应用｝
点到线距离公式
曲线弧长
直角坐标系
参数方程
这里后面是dt不是dx
极坐标
旋转体侧面积
这里是ds，而体积公式中是dxdy
题型二 ｛物理应用｝
变力沿直线做功
液体的压力
引力
第四章 常微分方程
题型一 ｛微分方程求解｝
求微分方程
可以用公式，反带4.1
不能用公式，求关系，消未知数4.2
题型二 ｛综合题｝
题型三 ｛应用题｝
解题步骤
求出来可以是含y式子，不一定要求出y准确式子
（1）高阶方程
不可降阶
齐次线性方程求出通解
通解代入特殊点的值算出未知常数
非齐次线性方程求出特解
特解代入原式中求出未知常数
通解为齐次通解+求出的特解
可降阶
两端直接积分
（2）低阶方程
线性方程
非线性方程
可分离变量
把y'放在一端，看看另一端能不能化简
齐次方程（换元法，不止凑y/x）4.3
仅对y换元
换元后求出来的式子属于g(y)，不是y的式子
x+y式子不能拆开
调换xy的顺序，看为x的方程
已知非齐次特解
求齐次通解
特解之间两两组合相减得到多个齐次特解，找出线性无关的部分，组合起来就是通解
求微分方程
①求出齐次特解
②查看特解关系
符合常系数的通解形式
①通过根返推出对应齐次常微分方程
②代入特解求出非齐次项
不符合->不是常系数
直接计算出对应的二阶导、一阶导，直接去找出他们之间的关系
通解、特解求常数
特解
代入常微分式子中去求出常数
特解一定需要把常数求出来，因为常数的组合里面只有一个是对的，其他的是错的
通解
代入特定值，f(0)、f'(0)、f''(0)
题目可能没有直接给出，要自己在计算的过程中代入值求出，通常是0
求非齐次的通解需要先加上特解再代值求出常数
通解求出常数是从所有的对的组合里面求出题目需要的
第五章 多元函数微分学
重极限、连续、偏导数、全微分（概念、理论）
重极限
可以使用一元极限的任何性质，不能使用0/0洛必达
求极限是否存在
用分子分母的阶数粗略判断
存在
①等价替换
②夹逼
不存在（y代入函数逼近来否认）
①y=kx
②沿着y轴 x=0
③沿着曲线（从题目中找）
偏导数
什么情况下都是先带后求 5.1
全微分
从定义出发求出对于xy的一阶偏导
凑出全微分存在的格式，直接求得xy偏导
偏导数与全微分的计算
题型一 ｛求一点处的偏导数与全微分｝
题型二 ｛求已给出具体表达式函数的偏导数与全微分｝
题型三 ｛含有抽象函数的复合函数偏导数与全微分｝
新变量看作中间一层，表示xy
新变量由xy表示，最后求出的系数和题目式子成比例，列方程算出
题型四 ｛隐函数的偏导数与全微分｝
极值与最值
题型一 ｛无条件极值｝
题型二 ｛求最大最小值｝
如果是简单的条件
拉格朗日乘数法
入的值可以为0
可代入条件，转化为一元函数问题
第六章 二重积分
解法
函数：奇偶性
区域：对称性
题型一 ｛计算二重积分｝
题型二 ｛累次积分交换次序及计算｝
题型三 ｛与二重积分有关综合题｝
二重积分求导要交换次序，对应的自变量放在一个积分中
题型四 ｛二重积分不等式｝
线代
第一章 行列式
题型一 计算具体行列式
题型二 计算抽象行列式
行列式计算
①套公式
三角矩阵
负对角线行列式
1~(n-1)共(n-1)项的求和
三对角矩阵
范德蒙行列式
第二行的所有后面项减前面项后分别相乘
②爪形
斜爪消平爪，化为三角矩阵
③行、列和相等
全部加到一行、列提取出来用全1行列化简
④加边法
假设一个题目需要求矩阵的秩也需要求矩阵的行列式，求完秩后的三角矩阵不能直接用于计算行列式
第二章 矩阵
题型一 求A^n
②幂0矩阵
③展开n次方（和幂0矩阵一起用）
⑤找规律
题型二 伴随矩阵与可逆矩阵
求伴随
可逆矩阵：先求逆再求出伴随
不可逆矩阵：用定义
二阶：主对调，负取逆
求可逆
二阶求逆：先求伴随，再求逆
三阶
便捷方法
题型三 矩阵的秩
题型四 初等矩阵
几种初等矩阵和对应的逆
题型五 分块初等矩阵
第三章 向量
题型一 线性相关性的判别
题型二 线性表示的判别
第四章 线性方程组
题型一 方程组基本题
题型二 方程组解的判别
题型三 含有参数的方程组
题型四 抽象方程组
题型五 方程组同解、公共解
第五章 相似矩阵
题型一 判别相似矩阵
题型二 秩1矩阵
题型三 抽象矩阵相似问题
A的相似对角化
充要条件
充分条件
①A是实对称矩阵
②A有n个不同的特征值
⑤r(A)=1，且tr(A)≠0
必要条件
r(A)=非零特征值的个数
A相似于B
必要条件
①|A|=|B|
有求相似矩阵中的未知数时优先使用
②r(A)=r(B)
③tr(A)=tr(B)
重要结论
④A与B同解
实对称矩阵
充要条件
可以使用正交矩阵对角化
不同特征值下的特征向量天然正交
已知两个特征向量，可以根据正交求出第三个
正交矩阵
正交化
在求的特征向量的时候直接设正交
施密特正交化
几何意义
所有的行列向量都是单位向量
特征向量相乘为0
特征值为1和-1
行列式为1或-1
第六章 二次型
配方法
存在可逆但不正交的矩阵化型
正交变换法
①正交矩阵化型
②求最值问题
求出个解
③二次型为0问题
求出全部解
合同
正负惯性指数相等
p：正惯性指数 q：负惯性指数
正定二次型
定义：除了0向量外的所有向量使得f>0
一定是实对称矩阵
充要条件
⑥A逆和A转置都都正定
必要条件
②A的逆、A的转置、A的伴随都可逆
A的伴随正定无法得出A正定，反例：(-E)的伴随是E
题型一：配方法
有平方项
没有平方项
线性变化时候前两个参数用凑出平方差，最后一个参数保证线性变化可逆
当矩阵非对角线的位置有0时，配方法比正交变换法快
题型二：平方和形式
f≥0，无负惯性系数
题型三：二次型等于0的求解
题型四：二次型化为另一个二次型
可逆矩阵使得A，B同时化为C、D矩阵题型
题型五：二次型最值问题